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8. 如图,从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为$90°$的扇形,将剪下来的扇形围成一个圆锥.那么这个圆锥的底面圆的半径是 (
A.$\frac{π}{4}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
C.$\frac{1}{2}$
D.1
B
)A.$\frac{π}{4}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
C.$\frac{1}{2}$
D.1
答案
8. B
解析
【分析】
解题的核心等量关系是：圆锥底面圆的周长等于围成它的扇形的弧长。首先结合圆形铁片的直径和扇形90°圆心角的特征，利用圆周角定理和勾股定理求出扇形的半径；再用弧长公式计算扇形的弧长；最后根据弧长等于圆锥底面周长列方程，求解得到底面圆的半径。
【解析】
已知圆形铁片的直径为2，则该圆的直径$BC=2$，半径为1。
因为扇形的圆心角$∠ BAC=90°$，所以$△ ABC$为等腰直角三角形，$AB=AC$。
由勾股定理得：$AB^2+AC^2=BC^2$，代入$BC=2$，$AB=AC$，得$2AB^2=4$，解得$AB=\sqrt{2}$，即扇形的半径$R=\sqrt{2}$。
根据扇形弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（$n$为圆心角度数），代入$n=90°$，$R=\sqrt{2}$，得弧长：
$l=\frac{90×π×\sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}π}{2}$
设圆锥底面圆的半径为$r$，圆锥底面周长等于扇形弧长，即$2π r=l$，代入弧长得：
$2π r=\frac{\sqrt{2}π}{2}$
两边同时除以$π$，解得$r=\frac{\sqrt{2}}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
圆锥的计算；弧长的计算；勾股定理
【点评】
本题属于扇形与圆锥转化的基础应用题，解题的关键是掌握扇形弧长和圆锥底面周长的对应关系，易错点是误将圆形铁片的半径当作扇形的半径计算。
【难度系数】
0.7
解题的核心等量关系是：圆锥底面圆的周长等于围成它的扇形的弧长。首先结合圆形铁片的直径和扇形90°圆心角的特征，利用圆周角定理和勾股定理求出扇形的半径；再用弧长公式计算扇形的弧长；最后根据弧长等于圆锥底面周长列方程，求解得到底面圆的半径。
【解析】
已知圆形铁片的直径为2，则该圆的直径$BC=2$，半径为1。
因为扇形的圆心角$∠ BAC=90°$，所以$△ ABC$为等腰直角三角形，$AB=AC$。
由勾股定理得：$AB^2+AC^2=BC^2$，代入$BC=2$，$AB=AC$，得$2AB^2=4$，解得$AB=\sqrt{2}$，即扇形的半径$R=\sqrt{2}$。
根据扇形弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（$n$为圆心角度数），代入$n=90°$，$R=\sqrt{2}$，得弧长：
$l=\frac{90×π×\sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}π}{2}$
设圆锥底面圆的半径为$r$，圆锥底面周长等于扇形弧长，即$2π r=l$，代入弧长得：
$2π r=\frac{\sqrt{2}π}{2}$
两边同时除以$π$，解得$r=\frac{\sqrt{2}}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
圆锥的计算；弧长的计算；勾股定理
【点评】
本题属于扇形与圆锥转化的基础应用题，解题的关键是掌握扇形弧长和圆锥底面周长的对应关系，易错点是误将圆形铁片的半径当作扇形的半径计算。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在矩形纸片$ABCD$中,$AD=6\ \mathrm{cm}$,把它分割成正方形纸片$ABFE$和矩形纸片$EFCD$后,分别裁出扇形$ABF$和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的侧面和底面,则$AB$的长为（
A.$3.5\ \mathrm{cm}$
B.$4\ \mathrm{cm}$
C.$4.5\ \mathrm{cm}$
D.$5\ \mathrm{cm}$
B
）A.$3.5\ \mathrm{cm}$
B.$4\ \mathrm{cm}$
C.$4.5\ \mathrm{cm}$
D.$5\ \mathrm{cm}$
答案
9. B
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确圆锥侧面展开图（扇形）的弧长等于圆锥底面圆的周长这一核心等量关系。首先设AB的长为x cm，结合ABFE是正方形，可得到扇形ABF的半径为x、圆心角为90°，进而表示出扇形的弧长；再根据右侧矩形EFCD的边长关系，得到裁出的最大圆的直径，进而表示出底面圆的周长；最后根据弧长等于底面周长列方程求解即可。
【解析】
设$AB=x\ \mathrm{cm}$，
∵ 四边形$ABFE$是正方形，
∴ $AB=BF=x\ \mathrm{cm}$，$∠ B=90°$，
∴ 扇形$ABF$的弧长为：$\frac{90π x}{180}=\frac{π x}{2}\ \mathrm{cm}$。
∵ $AD=6\ \mathrm{cm}$，
∴ 矩形$EFCD$的边$FC=AD-BF=(6-x)\ \mathrm{cm}$，
要在矩形$EFCD$中裁出半径最大的圆，则该圆的直径等于$FC$的长，即圆的直径为$(6-x)\ \mathrm{cm}$，
∴ 该圆的周长为：$π(6-x)\ \mathrm{cm}$。
∵ 扇形和圆恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，
∴ 扇形弧长 = 底面圆周长，即$\frac{π x}{2}=π(6-x)$，
两边同时除以$π$得：$\frac{x}{2}=6-x$，
解得：$x=4$，即$AB$的长为$4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
1.圆锥展开图性质 2.弧长计算 3.圆的周长计算
【点评】
本题是几何与方程结合的典型题型，解题的关键是理解圆锥侧面展开图与底面圆的对应关系，准确找到等量关系列方程求解，能有效考查对图形性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需明确圆锥侧面展开图（扇形）的弧长等于圆锥底面圆的周长这一核心等量关系。首先设AB的长为x cm，结合ABFE是正方形，可得到扇形ABF的半径为x、圆心角为90°，进而表示出扇形的弧长；再根据右侧矩形EFCD的边长关系，得到裁出的最大圆的直径，进而表示出底面圆的周长；最后根据弧长等于底面周长列方程求解即可。
【解析】
设$AB=x\ \mathrm{cm}$，
∵ 四边形$ABFE$是正方形，
∴ $AB=BF=x\ \mathrm{cm}$，$∠ B=90°$，
∴ 扇形$ABF$的弧长为：$\frac{90π x}{180}=\frac{π x}{2}\ \mathrm{cm}$。
∵ $AD=6\ \mathrm{cm}$，
∴ 矩形$EFCD$的边$FC=AD-BF=(6-x)\ \mathrm{cm}$，
要在矩形$EFCD$中裁出半径最大的圆，则该圆的直径等于$FC$的长，即圆的直径为$(6-x)\ \mathrm{cm}$，
∴ 该圆的周长为：$π(6-x)\ \mathrm{cm}$。
∵ 扇形和圆恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，
∴ 扇形弧长 = 底面圆周长，即$\frac{π x}{2}=π(6-x)$，
两边同时除以$π$得：$\frac{x}{2}=6-x$，
解得：$x=4$，即$AB$的长为$4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
1.圆锥展开图性质 2.弧长计算 3.圆的周长计算
【点评】
本题是几何与方程结合的典型题型，解题的关键是理解圆锥侧面展开图与底面圆的对应关系，准确找到等量关系列方程求解，能有效考查对图形性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
10. 如图，将弧长为$6π$，圆心角为$120°$的扇形纸片$AOB$围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径$OA$与$OB$重合（接缝粘连部分忽略不计），则圆锥形纸帽的高是
$6\sqrt{2}$
。答案
10. $6\sqrt{2}$
解析
【分析】
要解决这道题，需明确扇形围成圆锥时的核心对应关系：①扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长；②扇形的半径等于圆锥的母线长。解题思路分三步：第一步，利用弧长公式求出扇形的半径，也就是圆锥的母线长；第二步，根据弧长等于底面周长，求出圆锥底面半径；第三步，圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，结合勾股定理即可算出圆锥的高。
【解析】
解：设扇形AOB的半径为R（即圆锥的母线长为R），圆锥底面圆的半径为r。
1. 求母线长R：
根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，已知弧长$l=6π$，圆心角$n=120°$，代入得：
$6π=\frac{120π R}{180}$
两边同时除以$π$后化简得$6=\frac{2R}{3}$，解得$R=9$。
2. 求底面半径r：
因为扇形弧长等于圆锥底面周长，所以$2π r=6π$，解得$r=3$。
3. 求圆锥的高：
圆锥的高h、底面半径r、母线长R满足勾股定理$h=\sqrt{R^2 - r^2}$，代入数值：
$h=\sqrt{9^2 - 3^2}=\sqrt{81-9}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$
【答案】
$6\sqrt{2}$
【知识点】
弧长公式、圆锥展开图性质、勾股定理
【点评】
本题是扇形与圆锥结合的典型基础题，解题核心是理清扇形和圆锥各量之间的对应关系，熟练掌握相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需明确扇形围成圆锥时的核心对应关系：①扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长；②扇形的半径等于圆锥的母线长。解题思路分三步：第一步，利用弧长公式求出扇形的半径，也就是圆锥的母线长；第二步，根据弧长等于底面周长，求出圆锥底面半径；第三步，圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，结合勾股定理即可算出圆锥的高。
【解析】
解：设扇形AOB的半径为R（即圆锥的母线长为R），圆锥底面圆的半径为r。
1. 求母线长R：
根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，已知弧长$l=6π$，圆心角$n=120°$，代入得：
$6π=\frac{120π R}{180}$
两边同时除以$π$后化简得$6=\frac{2R}{3}$，解得$R=9$。
2. 求底面半径r：
因为扇形弧长等于圆锥底面周长，所以$2π r=6π$，解得$r=3$。
3. 求圆锥的高：
圆锥的高h、底面半径r、母线长R满足勾股定理$h=\sqrt{R^2 - r^2}$，代入数值：
$h=\sqrt{9^2 - 3^2}=\sqrt{81-9}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$
【答案】
$6\sqrt{2}$
【知识点】
弧长公式、圆锥展开图性质、勾股定理
【点评】
本题是扇形与圆锥结合的典型基础题，解题核心是理清扇形和圆锥各量之间的对应关系，熟练掌握相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
11. 如图，将一个含 $ 30° $ 的三角尺绕着斜边旋转一周，得到一个由两个底面重合的圆锥组成的几何体，如果三角尺的斜边长为 16 cm，那么这个几何体的表面积是
$(32\sqrt{3} π+96π)$
$\mathrm{cm}^2$（结果保留π）。答案
11. $(32\sqrt{3} π+96π)$
解析
【分析】
该几何体是两个底面重合的圆锥组合体，表面积为两个圆锥的侧面积之和，解题思路如下：1. 先根据含30°角的直角三角形的性质，求出两条直角边的长度，即两个圆锥的母线长；2. 用等面积法求出直角三角形斜边上的高，也就是两个圆锥公共底面的半径；3. 分别代入圆锥侧面积公式计算两个侧面积，相加即可得到最终结果。
【解析】
已知直角三角尺斜边长为16cm，含30°角：
1. 求两条直角边（即圆锥母线长）：
30°角对应的直角边长$ l_1 = 16 × \frac{1}{2} = 8\ \mathrm{cm}$，
另一条直角边长$ l_2 = 16 × \cos30° = 8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
2. 求公共底面半径r：
直角三角形面积可表示为$\frac{1}{2}l_1l_2$，也可表示为$\frac{1}{2} × $斜边 × r，因此：
$ \frac{1}{2} × 8 × 8\sqrt{3} = \frac{1}{2} × 16 × r $解得$ r = 4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。3. 计算两个圆锥的侧面积之和： 圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π r l$， 第一个圆锥侧面积$ S_1 = π × 4\sqrt{3} × 8 = 32\sqrt{3}π\ \mathrm{cm^2}$， 第二个圆锥侧面积$ S_2 = π × 4\sqrt{3} × 8\sqrt{3} = 96π\ \mathrm{cm^2}$， 总表面积$ S = S_1 + S_2 = 32\sqrt{3}π + 96π\ \mathrm{cm^2}$。【答案$】(32\sqrt{3} π+96π)$
【知识点】
1. 圆锥侧面积计算
2. 直角三角形性质
3. 等面积法求高
【点评】
本题考查旋转组合体的表面积计算，解题的关键是明确几何体的构成，准确求出圆锥的母线长和底面半径，计算时注意不要把内部重合的底面积计入总表面积，只需要计算两个圆锥的侧面积之和即可。
【难度系数】
0.6
该几何体是两个底面重合的圆锥组合体，表面积为两个圆锥的侧面积之和，解题思路如下：1. 先根据含30°角的直角三角形的性质，求出两条直角边的长度，即两个圆锥的母线长；2. 用等面积法求出直角三角形斜边上的高，也就是两个圆锥公共底面的半径；3. 分别代入圆锥侧面积公式计算两个侧面积，相加即可得到最终结果。
【解析】
已知直角三角尺斜边长为16cm，含30°角：
1. 求两条直角边（即圆锥母线长）：
30°角对应的直角边长$ l_1 = 16 × \frac{1}{2} = 8\ \mathrm{cm}$，
另一条直角边长$ l_2 = 16 × \cos30° = 8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
2. 求公共底面半径r：
直角三角形面积可表示为$\frac{1}{2}l_1l_2$，也可表示为$\frac{1}{2} × $斜边 × r，因此：
$ \frac{1}{2} × 8 × 8\sqrt{3} = \frac{1}{2} × 16 × r $解得$ r = 4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。3. 计算两个圆锥的侧面积之和： 圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π r l$， 第一个圆锥侧面积$ S_1 = π × 4\sqrt{3} × 8 = 32\sqrt{3}π\ \mathrm{cm^2}$， 第二个圆锥侧面积$ S_2 = π × 4\sqrt{3} × 8\sqrt{3} = 96π\ \mathrm{cm^2}$， 总表面积$ S = S_1 + S_2 = 32\sqrt{3}π + 96π\ \mathrm{cm^2}$。【答案$】(32\sqrt{3} π+96π)$
【知识点】
1. 圆锥侧面积计算
2. 直角三角形性质
3. 等面积法求高
【点评】
本题考查旋转组合体的表面积计算，解题的关键是明确几何体的构成，准确求出圆锥的母线长和底面半径，计算时注意不要把内部重合的底面积计入总表面积，只需要计算两个圆锥的侧面积之和即可。
【难度系数】
0.6
12. 如图,圆柱形玻璃杯的高为12 cm,底面周长为18 cm,在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为
15
cm. 答案
12. 15
解析
【分析】
本题属于立体图形表面最短路径问题，解题核心是将曲面转化为平面求解：①首先将圆柱侧面展开为长方形，把立体问题转化为平面几何问题；②根据“两点之间线段最短”，蚂蚁到蜂蜜的最短路径就是展开图中对应两点连线段的长度；③先确定展开图中两点的水平、竖直方向距离，再用勾股定理计算线段长即可。
【解析】
解：将圆柱形玻璃杯的侧面沿过点A的母线展开，得到长为18cm（等于底面周长）、宽为12cm（等于圆柱高）的长方形。
1. 水平方向距离：因为A和C是相对的点，所以两点的水平距离为底面半周长：$18÷2=9\ \mathrm{cm}$。
2. 竖直方向距离：A离杯上沿4cm，C离杯底4cm，蚂蚁在杯外壁、蜂蜜在杯内壁，所以两点竖直方向的总距离为：$4+(12-4)=12\ \mathrm{cm}$。
3. 由勾股定理，最短路径长为直角三角形的斜边长：
$\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\ \mathrm{cm}$。
【答案】
15
【知识点】
圆柱侧面展开图，勾股定理，最短路径问题
【点评】
本题是曲面最短路径的典型考题，解题关键是掌握“化曲为平”的转化思想，要注意两点分别在内外壁时竖直距离的计算，避免直接计算两点竖直差导致出错。
【难度系数】
0.6
本题属于立体图形表面最短路径问题，解题核心是将曲面转化为平面求解：①首先将圆柱侧面展开为长方形，把立体问题转化为平面几何问题；②根据“两点之间线段最短”，蚂蚁到蜂蜜的最短路径就是展开图中对应两点连线段的长度；③先确定展开图中两点的水平、竖直方向距离，再用勾股定理计算线段长即可。
【解析】
解：将圆柱形玻璃杯的侧面沿过点A的母线展开，得到长为18cm（等于底面周长）、宽为12cm（等于圆柱高）的长方形。
1. 水平方向距离：因为A和C是相对的点，所以两点的水平距离为底面半周长：$18÷2=9\ \mathrm{cm}$。
2. 竖直方向距离：A离杯上沿4cm，C离杯底4cm，蚂蚁在杯外壁、蜂蜜在杯内壁，所以两点竖直方向的总距离为：$4+(12-4)=12\ \mathrm{cm}$。
3. 由勾股定理，最短路径长为直角三角形的斜边长：
$\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\ \mathrm{cm}$。
【答案】
15
【知识点】
圆柱侧面展开图，勾股定理，最短路径问题
【点评】
本题是曲面最短路径的典型考题，解题关键是掌握“化曲为平”的转化思想，要注意两点分别在内外壁时竖直距离的计算，避免直接计算两点竖直差导致出错。
【难度系数】
0.6
13. 如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过正方形网格的格点A,B,C.
（1）用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心M的位置（不用写作法，保留作图痕迹）；
（2）若点A的坐标为$(0,4)$，点D的坐标为$(7,0)$，直线CD与$\odot M$的位置关系为________，再连接MA,MC，将扇形AMC卷成一个圆锥，求此圆锥的侧面积.
（1）用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心M的位置（不用写作法，保留作图痕迹）；
（2）若点A的坐标为$(0,4)$，点D的坐标为$(7,0)$，直线CD与$\odot M$的位置关系为________，再连接MA,MC，将扇形AMC卷成一个圆锥，求此圆锥的侧面积.
答案
13. 解:(1) 图略,点 M 的坐标为$(2,0)$;
(2) 相切. 作 $CE⊥ x$ 轴于点 $E$,$\because OA=ME=4$,$OM=CE=2$,$∠ AOM=∠ MEC=90°$,$\therefore △ AOM≌ △ MEC$. $\therefore ∠ AMO=∠ MCE$. 又$\because ∠ CME+∠ MCE=90°$,$\therefore ∠ AMO+∠ CME=90°$. $\therefore ∠ AMC=90°$. $\therefore AM⊥ MC$. 又$\because MA=MC=2\sqrt{5}$,
$\therefore \overset{\frown}{AC}$ 的长为$\frac{90°}{180°}× 2\sqrt{5}π=\sqrt{5}π$. $\therefore$ 扇形 $AMC$ 卷成的圆锥的侧面积为$\frac{1}{2}× \sqrt{5}π× 2\sqrt{5}=5π$.
(2) 相切. 作 $CE⊥ x$ 轴于点 $E$,$\because OA=ME=4$,$OM=CE=2$,$∠ AOM=∠ MEC=90°$,$\therefore △ AOM≌ △ MEC$. $\therefore ∠ AMO=∠ MCE$. 又$\because ∠ CME+∠ MCE=90°$,$\therefore ∠ AMO+∠ CME=90°$. $\therefore ∠ AMC=90°$. $\therefore AM⊥ MC$. 又$\because MA=MC=2\sqrt{5}$,
$\therefore \overset{\frown}{AC}$ 的长为$\frac{90°}{180°}× 2\sqrt{5}π=\sqrt{5}π$. $\therefore$ 扇形 $AMC$ 卷成的圆锥的侧面积为$\frac{1}{2}× \sqrt{5}π× 2\sqrt{5}=5π$.
解析
【分析】
(1) 根据圆的性质，圆弧所在圆的圆心是任意两条不平行弦的垂直平分线的交点，因此只需作出弦AB和弦BC的垂直平分线，两条线的交点即为圆心M；
(2) 判断直线与圆的位置关系，可通过证明半径与直线垂直完成判定；求圆锥侧面积实质是求扇形AMC的面积，先确定扇形的半径和圆心角，再代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 分别作弦AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心M，结合点A坐标(0,4)与网格特征，可得M点坐标为$\boldsymbol{(2,0)}$，作图略；
(2) ①判断直线CD与$\odot M$的位置关系：
由网格得点C坐标为$(6,2)$，已知$M(2,0)$，$D(7,0)$，
计算线段长度：
$MC=\sqrt{(6-2)^2+(2-0)^2}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$，
$CD=\sqrt{(7-6)^2+(0-2)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$，
$MD=7-2=5$，
$\because MC^2+CD^2=(2\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2=25=MD^2$，
$\therefore ∠ MCD=90°$，即$MC⊥ CD$，
又$\because MC$是$\odot M$的半径，$\therefore$直线CD与$\odot M$相切。
②计算圆锥侧面积：
先计算$MA=\sqrt{(0-2)^2+(4-0)^2}=2\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{(6-0)^2+(2-4)^2}=2\sqrt{10}$，
$\because MA^2+MC^2=(2\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=40=AC^2$，
$\therefore ∠ AMC=90°$，
圆锥的侧面积等于扇形AMC的面积：
$S_{侧}=\frac{nπ R^2}{360}=\frac{90π×(2\sqrt{5})^2}{360}=5π$。
【答案】
(1) 作图略，$M(2,0)$；(2) 相切，圆锥侧面积为$\boldsymbol{5π}$
【知识点】
垂径定理应用；切线的判定；扇形面积计算
【点评】
本题结合网格考查圆的综合知识，解题核心是利用网格确定点坐标，借助勾股定理及逆定理完成推导，侧重对基础概念和公式的应用考查。
【难度系数】
0.6
(1) 根据圆的性质，圆弧所在圆的圆心是任意两条不平行弦的垂直平分线的交点，因此只需作出弦AB和弦BC的垂直平分线，两条线的交点即为圆心M；
(2) 判断直线与圆的位置关系，可通过证明半径与直线垂直完成判定；求圆锥侧面积实质是求扇形AMC的面积，先确定扇形的半径和圆心角，再代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 分别作弦AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心M，结合点A坐标(0,4)与网格特征，可得M点坐标为$\boldsymbol{(2,0)}$，作图略；
(2) ①判断直线CD与$\odot M$的位置关系：
由网格得点C坐标为$(6,2)$，已知$M(2,0)$，$D(7,0)$，
计算线段长度：
$MC=\sqrt{(6-2)^2+(2-0)^2}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$，
$CD=\sqrt{(7-6)^2+(0-2)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$，
$MD=7-2=5$，
$\because MC^2+CD^2=(2\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2=25=MD^2$，
$\therefore ∠ MCD=90°$，即$MC⊥ CD$，
又$\because MC$是$\odot M$的半径，$\therefore$直线CD与$\odot M$相切。
②计算圆锥侧面积：
先计算$MA=\sqrt{(0-2)^2+(4-0)^2}=2\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{(6-0)^2+(2-4)^2}=2\sqrt{10}$，
$\because MA^2+MC^2=(2\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=40=AC^2$，
$\therefore ∠ AMC=90°$，
圆锥的侧面积等于扇形AMC的面积：
$S_{侧}=\frac{nπ R^2}{360}=\frac{90π×(2\sqrt{5})^2}{360}=5π$。
【答案】
(1) 作图略，$M(2,0)$；(2) 相切，圆锥侧面积为$\boldsymbol{5π}$
【知识点】
垂径定理应用；切线的判定；扇形面积计算
【点评】
本题结合网格考查圆的综合知识，解题核心是利用网格确定点坐标，借助勾股定理及逆定理完成推导，侧重对基础概念和公式的应用考查。
【难度系数】
0.6
14. 如图，这是一个由圆柱形材料加工而成的零件，它是以圆柱的上底面为底面，在其内部“掏取”一个与圆柱等高的圆锥而得到的，其底面直径AB=12 cm，高BC=8 cm，求这个零件的表面积(结果保留π)。
答案
14. 解:这个零件的底面积$=π · (\frac{12}{2})^2=36π(\mathrm{cm}^2)$;这个零件的外侧圆柱的侧面积$=12π× 8=96π(\mathrm{cm}^2)$;圆锥母线长为 10 cm,这个零件的内侧面积$=\frac{1}{2}× 12π× 10=60π(\mathrm{cm}^2)$. $\therefore$ 这个零件的表面积为 $36π+96π+60π=192π(\mathrm{cm}^2)$.
解析
【分析】
解题首先要明确零件的表面积构成：该零件是圆柱内部掏去等高圆锥得到的，表面积由三部分组成：①圆柱完整的下底面面积；②圆柱外侧的侧面积；③掏去圆锥后新增的内侧圆锥侧面积。接下来分别计算三部分面积再求和即可，计算圆锥侧面积前需要先通过勾股定理求出圆锥的母线长，再代入对应公式计算。
【解析】
解：首先计算圆柱底面半径 $r=\frac{AB}{2}=\frac{12}{2}=6\ \mathrm{cm}$
1. 计算零件的底面积（即圆柱下底面面积）：
$S_{\mathrm{底}}=π r^2=π×6^2=36π\ (\mathrm{cm}^2)$
2. 计算圆柱外侧侧面积：
圆柱底面周长 $C=π d=12π\ \mathrm{cm}$，高 $h=8\ \mathrm{cm}$，因此
$S_{\mathrm{圆柱侧}}=C× h=12π×8=96π\ (\mathrm{cm}^2)$
3. 计算内侧圆锥的侧面积：
圆锥的高等于圆柱的高8cm，底面半径为6cm，由勾股定理得圆锥母线长 $l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}$
根据圆锥侧面积公式得：
$S_{\mathrm{圆锥侧}}=\frac{1}{2}× C× l=\frac{1}{2}×12π×10=60π\ (\mathrm{cm}^2)$
4. 计算零件总表面积：
$S_{\mathrm{总}}=36π+96π+60π=192π\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$\boxed{192π\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
圆柱侧面积计算，圆锥侧面积计算，勾股定理
【点评】
本题解题核心是准确判断组合体的表面积组成，避免多算圆柱上底面的面积或者漏算圆锥侧面积，计算圆锥侧面积时要注意先求出母线长再代入公式计算。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确零件的表面积构成：该零件是圆柱内部掏去等高圆锥得到的，表面积由三部分组成：①圆柱完整的下底面面积；②圆柱外侧的侧面积；③掏去圆锥后新增的内侧圆锥侧面积。接下来分别计算三部分面积再求和即可，计算圆锥侧面积前需要先通过勾股定理求出圆锥的母线长，再代入对应公式计算。
【解析】
解：首先计算圆柱底面半径 $r=\frac{AB}{2}=\frac{12}{2}=6\ \mathrm{cm}$
1. 计算零件的底面积（即圆柱下底面面积）：
$S_{\mathrm{底}}=π r^2=π×6^2=36π\ (\mathrm{cm}^2)$
2. 计算圆柱外侧侧面积：
圆柱底面周长 $C=π d=12π\ \mathrm{cm}$，高 $h=8\ \mathrm{cm}$，因此
$S_{\mathrm{圆柱侧}}=C× h=12π×8=96π\ (\mathrm{cm}^2)$
3. 计算内侧圆锥的侧面积：
圆锥的高等于圆柱的高8cm，底面半径为6cm，由勾股定理得圆锥母线长 $l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}$
根据圆锥侧面积公式得：
$S_{\mathrm{圆锥侧}}=\frac{1}{2}× C× l=\frac{1}{2}×12π×10=60π\ (\mathrm{cm}^2)$
4. 计算零件总表面积：
$S_{\mathrm{总}}=36π+96π+60π=192π\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$\boxed{192π\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
圆柱侧面积计算，圆锥侧面积计算，勾股定理
【点评】
本题解题核心是准确判断组合体的表面积组成，避免多算圆柱上底面的面积或者漏算圆锥侧面积，计算圆锥侧面积时要注意先求出母线长再代入公式计算。
【难度系数】
0.7
