8.（山东中考）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征.如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是 （）

A.$π$
B.$2π$
C.$3π$
D.$4π$

8. D

【分析】
本题求阴影部分（圆环）的面积，核心思路是利用圆环面积公式$S=π R^2-π r^2$计算，其中$r$为内圆（正方形内切圆）半径，已知为2，只需先求出外圆（正方形外接圆）半径$R$即可。首先根据正方形内切圆直径等于正方形边长，算出正方形边长；再结合正方形外接圆直径等于正方形对角线长，用勾股定理求出对角线长度，进而得到外圆半径，最后代入公式计算。
【解析】
1. 求正方形边长：已知正方形内切圆半径$r=2$，则内切圆直径为$2r=4$，即正方形的边长为4。
2. 求外接圆半径$R$：正方形的对角线是其外接圆的直径，由勾股定理可得正方形对角线长为$\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，因此外接圆半径$R=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$。
3. 计算阴影面积：阴影为圆环，面积等于外圆面积减内圆面积，即
$S_{阴影}=π R^2-π r^2=π×(2\sqrt{2})^2-π×2^2=8π-4π=4π$。
【答案】
D
【知识点】
圆环面积计算，正方形与圆的位置关系，勾股定理
【点评】
本题结合传统文化背景出题，考查圆与正方形的综合应用，解题的关键是明确正方形内切圆、外接圆分别与正方形边长、对角线的对应关系，属于基础的几何综合题型。
【难度系数】
0.7

9. 如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，AD，BC相交于点E，若$AB=4\sqrt{3}$，则$\overset{\frown}{CD}$，CE，DE围成的图形的面积为 （）

A.$π-\sqrt{3}$
B.$2π-\sqrt{3}$
C.$2π-2\sqrt{3}$
D.$4π-2\sqrt{3}$

9. C

【分析】
解题时首先利用等弧对应的圆心角相等，结合半圆的圆心角为180°，求出每段弧对应的圆心角为60°，确定半圆的半径。对于不规则的阴影部分面积，采用割补法转化为规则图形的面积和差计算：阴影面积等于扇形OCD的面积减去△OCD的面积，再加上△CDE的面积，依次计算各规则图形的面积即可得到结果。
【解析】
解：连接OC、OD、CD
∵AB是半圆O的直径，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$
∴$∠ AOC=∠ COD=∠ DOB=\frac{180°}{3}=60°$
已知$AB=4\sqrt{3}$，则半圆半径$r=OA=OC=OD=OB=2\sqrt{3}$
1. 计算扇形OCD的面积：
$S_{\mathrm{扇形}OCD}=\frac{nπ r^2}{360°}=\frac{60°×π×(2\sqrt{3})^2}{360°}=2π$
2. 计算$△ OCD$的面积：
∵OC=OD，$∠ COD=60°$，
∴$△ OCD$是等边三角形，$CD=OC=2\sqrt{3}$
$S_{△ OCD}=\frac{\sqrt{3}}{4}× CD^2=\frac{\sqrt{3}}{4}×(2\sqrt{3})^2=3\sqrt{3}$
3. 计算$△ CDE$的面积：
$∠ DCE$是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角，故$∠ DCE=\frac{1}{2}∠ DOB=30°$，同理$∠ CDE=30°$，$△ CDE$为等腰三角形
过E作$EF⊥ CD$于F，则$CF=FD=\sqrt{3}$
在$Rt△ CEF$中，$EF=CF×\tan30°=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=1$
$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}× CD× EF=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1=\sqrt{3}$
4. 计算阴影面积：
阴影面积 = 弓形CD面积 + $S_{△ CDE}$ = ($S_{\mathrm{扇形}OCD}-S_{△ OCD}$) + $S_{△ CDE}$ = $2π - 3\sqrt{3} + \sqrt{3}=2π-2\sqrt{3}$
【答案】C
【知识点】
扇形面积计算、圆周角定理、等边三角形的性质
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，核心是通过割补法将不规则图形转化为扇形、三角形等规则图形的面积和差，解题的关键是利用等弧推导出相等的圆心角和圆周角，确定各规则图形的参数。
【难度系数】
0.6

10.如图,在$□ ABCD$中,$AB＜AD$,$∠ A=150°$,$CD=4$,以$CD$为直径的$\odot O$交$AD$于点$E$,则图中阴影部分的面积为.

10. $\frac{2}{3}π+\sqrt{3}$

【分析】
要计算阴影部分的面积，阴影为不规则图形，需通过割补法转化为规则图形的面积和求解：①首先根据平行四边形邻角互补的性质，求出∠D的度数；②连接圆心O与点E，利用同圆半径相等得到等腰△ODE，结合∠D的度数可求出扇形对应的圆心角∠EOC的度数，再过O作AD的垂线，利用直角三角形的性质求出△ODE的高和底边长，即可计算△ODE的面积；③分别计算扇形OCE的面积和△ODE的面积，二者相加即为阴影部分的总面积。
【解析】
解：连接OE，过点O作OF⊥AD于点F。
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=150°，
∴∠ADC=180°-∠A=30°，CD=AB=4。
∵CD是⊙O的直径，
∴⊙O的半径OC=OD=OE=2。
∵OE=OD，
∴∠OED=∠D=30°，
∴∠EOD=180°-30°×2=120°，
∴∠EOC=180°-∠EOD=60°。
在Rt△ODF中，∠D=30°，OD=2，
∴OF=$\frac{1}{2}$OD=1，由勾股定理得DF=$\sqrt{OD^2-OF^2}$=$\sqrt{2^2-1^2}$=$\sqrt{3}$。
∵OF⊥ED，OE=OD，由等腰三角形三线合一得ED=2DF=2$\sqrt{3}$。
∴$S_{△ ODE}=\frac{1}{2}× ED × OF=\frac{1}{2}× 2\sqrt{3}× 1=\sqrt{3}$。
$S_{扇形OCE}=\frac{60°}{360°}×π× 2^2=\frac{1}{6}×4π=\frac{2}{3}π$。
∴$S_{阴影}=S_{扇形OCE}+S_{△ ODE}=\frac{2}{3}π+\sqrt{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}π+\sqrt{3}$
【知识点】
平行四边形的性质；扇形面积计算；圆的基本性质
【点评】
本题主要考查不规则图形面积的计算，解题时需将不规则图形割补为规则的扇形和三角形，再结合平行四边形、圆的性质求解，正确作出辅助线是解题的关键。
【难度系数】
0.6

11. 如图,在扇形OAB中,$∠ AOB=90°$,C是$\overset{\frown}{AB}$上的一个动点(不与点A,B重合),$OD⊥ BC$,$OE⊥ AC$,垂足分别为D,E.若$DE=1$,则扇形OAB的面积为.

11. $\frac{π}{2}$

【分析】
首先观察图形，已知OD⊥BC、OE⊥AC，可联想到垂径定理，得出D、E分别是BC、AC的中点，由此判断DE是△ABC的中位线，根据中位线性质可求出AB的长度；再结合△AOB是等腰直角三角形，利用勾股定理求出扇形半径的平方，最后代入扇形面积公式即可计算结果。
【解析】
解：
∵OD⊥BC，OE⊥AC，且O是圆心，
根据垂径定理，得D是BC的中点，E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE = $\frac{1}{2}$AB，
∵DE=1，
∴AB=2DE=2。
设扇形OAB的半径为r，即OA=OB=r，
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，由勾股定理得：
OA² + OB² = AB²，
即$r^2 + r^2 = 2^2$，
解得$r^2=2$。
∴扇形OAB的面积$S=\frac{90°}{360°}·π r^2=\frac{1}{4}×π×2=\frac{π}{2}$。
【答案】
$\frac{π}{2}$
【知识点】
垂径定理，三角形中位线定理，扇形面积计算
【点评】
本题属于圆与三角形的综合题，解题的突破口是通过垂径定理得到线段中点，进而利用中位线的性质沟通已知线段DE和AB的关系，再结合勾股定理求出半径平方即可计算扇形面积，需要熟练掌握各基础定理的灵活应用。
【难度系数】
0.6

12. 如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,AD为直径,过点C作$CE⊥AB$于点E,$OC⊥CE$,连接AC.
(1) 求证:AC平分$∠EAD$;
(2) 若$∠EAD=60°$,$AC=2\sqrt{3}$,求AD,AC与$\overset{\frown}{CD}$围成阴影部分的面积.

12.（1）证明：$\because CE ⊥ AB$，$OC ⊥ CE$，$\therefore OC // AB$。$\therefore ∠BAC = ∠ACO$。$\because OA = OC$，$\therefore ∠CAD = ∠OCA$。$\therefore ∠BAC=∠CAD$。$\therefore AC$平分$∠EAD$；
（2）解：由(1)可知$AC$平分$∠EAD$，$\because ∠EAD=60°$，$\therefore ∠CAD=30°$。$\because AD$为$\odot O$的直径，$\therefore ∠ACD=90°$。$\because AC=2\sqrt{3}$，$\therefore AD=4$，点$C$到$AD$的距离为$\sqrt{3}$。$\therefore OA = OD = 2$。$\because OC// AB$，$\therefore ∠COD=∠EAD=60°$。$\therefore AD,AC$与$\overset{\frown}{CD}$围成阴影部分的面积：$S_{△ AOC}+S_{\mathrm{扇形}COD}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}+\frac{60π×2^2}{360}=\sqrt{3}+\frac{2π}{3}$。

【分析】
(1) 要证明AC平分$∠ EAD$，即需证$∠ BAC=∠ CAD$。首先根据$CE⊥ AB$、$OC⊥ CE$可判定$OC// AB$，由平行线内错角相等得$∠ BAC=∠ ACO$；再结合圆的半径相等$OA=OC$，得$∠ CAD=∠ ACO$，等量代换即可完成证明。
(2) 阴影部分面积可拆分为$△ AOC$和扇形$COD$的面积之和。先由角平分线结论结合$∠ EAD=60°$得$∠ CAD=30°$；再利用直径所对圆周角为直角，在$Rt△ ACD$中求出AD、圆的半径以及点C到AD的距离；最后由$OC// AB$得$∠ COD=60°$，分别代入三角形、扇形面积公式求和即可。
【解析】
(1) 证明：$\because CE ⊥ AB$，$OC ⊥ CE$，$\therefore OC // AB$，$\therefore ∠ BAC = ∠ ACO$。
$\because OA=OC$（$\odot O$的半径相等），$\therefore ∠ CAD = ∠ OCA$。
$\therefore ∠ BAC = ∠ CAD$，即$AC$平分$∠ EAD$。
(2) 解：由(1)得$AC$平分$∠ EAD$，$\because ∠ EAD=60°$，$\therefore ∠ CAD=\frac{1}{2}∠ EAD=30°$。
$\because AD$为$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ACD=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
在$Rt△ ACD$中，$AC=2\sqrt{3}$，$\cos30°=\frac{AC}{AD}$，$\therefore AD=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$，即$\odot O$的半径$OA=OD=OC=2$。
过C作$CH⊥ AD$于H，在$Rt△ ACH$中，$CH=AC·\sin30°=2\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\sqrt{3}$，即点C到AD的距离为$\sqrt{3}$。
$\because OC// AB$，$\therefore ∠ COD=∠ EAD=60°$（两直线平行，同位角相等）。
阴影部分面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ AOC}+S_{\mathrm{扇形}COD}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}+\frac{60π×2^2}{360}=\sqrt{3}+\frac{2π}{3}$
【答案】
(1) $AC$平分$∠ EAD$，证明成立；
(2) 阴影部分的面积为$\sqrt{3}+\frac{2π}{3}$
【知识点】
平行线的判定与性质；圆的基本性质；扇形面积计算
【点评】
本题综合考查圆的性质、平行线的应用及几何面积计算，解题时注意将不规则阴影面积转化为规则图形的面积和差求解，同时要熟练掌握圆周角定理、扇形面积公式等基础知识点。
【难度系数】
0.7

13. 如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点A在直线l上,AD与直线l相交所得的锐角为60°.点F在直线l上,AF=8,EF⊥直线l,垂足为F,且EF=6,以EF为直径,在EF的左侧作半圆O,点M是半圆O上任一点.
发现:AM的最小值为,AM的最大值为,OB与直线l的位置关系是.
思考:矩形ABCD保持不动,半圆O沿直线l向左平移,当点E落在AD边上时,求半圆与矩形重合部分的周长和面积.

13. 发现:$\sqrt{73}-3$ 10 平行
思考:如图,连接$OG$,过点$O$作$OH ⊥ EG$。$\because ∠DAF = 60°$，$EF ⊥ AF$，$\therefore ∠AEF = 30°$。$\therefore ∠GOE=120°$。$\therefore GE=2EH=2×\frac{\sqrt{3}}{2}×3=3\sqrt{3}$。$\therefore$ 半圆与矩形重合部分的周长$=\frac{120·π×3}{180}+3\sqrt{3}=2π+3\sqrt{3}$；$S_{\mathrm{重合部分}}=S_{\mathrm{扇形}GOE}-S_{△ GOE}=\frac{120π·3^2}{360}-3\sqrt{3}×\frac{3}{2}×\frac{1}{2}=3π-\frac{9\sqrt{3}}{4}$。

【分析】
发现部分解题思路：
1. 求AM的最值：点A是定点，M是半圆O上的动点，根据点到圆上点的距离规律，最小值为点到圆心的距离减去半径；由于半圆在EF左侧，沿AO延长线远离A的点位于半圆外，因此最大值为半圆上到A最远的点E到A的距离。先计算A到圆心O的距离、A到E的距离，结合半圆半径即可求解。
2. 判断OB与直线l的位置关系：通过坐标法或角度推导，可得出OB与直线l无交点且斜率一致，故二者平行。
思考部分解题思路：
当E落在AD边上时，先根据∠DAF=60°、EF⊥l推出∠AEF=30°，进而得到弧GE对应的圆心角为120°；重合部分的周长为弧GE的长度加弦GE的长度，面积为扇形GOE的面积减去△GOE的面积，代入对应公式计算即可。
【解析】
发现：
设直线l为x轴，A为原点建立平面直角坐标系，由题意得F(8,0)，E(8,6)，半圆O的圆心O(8,3)，半径$r=3$。
1. 计算$AO=\sqrt{(8-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{73}$，因此AM的最小值为$AO-r=\sqrt{73}-3$；
半圆上距离A最远的点为E，$AE=\sqrt{8^2+6^2}=10$，即AM的最大值为10。
2. 经坐标推导，OB与直线l的斜率相同且无交点，故OB与直线l平行。
思考：
连接$OG$，过点$O$作$OH ⊥ EG$：
$\because ∠DAF = 60°$，$EF ⊥ AF$，
$\therefore Rt△AEF$中，$∠AEF = 90°-60°=30°$，
$\because OG=OE=3$，
$\therefore ∠OGE=∠OEG=30°$，故圆心角$∠GOE=180°-30°×2=120°$，
在$Rt△OEH$中，$EH=OE·\cos30°=3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore GE=2EH=3\sqrt{3}$。
重合部分周长：弧GE的长度为$\frac{120·π×3}{180}=2π$，因此周长为$2π+3\sqrt{3}$；
重合部分面积：$S_{扇形GOE}=\frac{120π·3^2}{360}=3π$，$S_{△GOE}=\frac{1}{2}×3\sqrt{3}×(3×\sin30°)=\frac{9\sqrt{3}}{4}$，因此$S_{重合部分}=3π-\frac{9\sqrt{3}}{4}$。
【答案】
发现:$\sqrt{73}-3$ 10 平行
思考:半圆与矩形重合部分的周长为$2π+3\sqrt{3}$，面积为$3π-\frac{9\sqrt{3}}{4}$。

【知识点】
点与圆的位置关系；扇形弧长与面积计算；平行线的判定
【点评】
本题结合矩形性质、动态平移问题，考查了点到圆的距离最值、扇形相关计算，解题的关键是找准平移后的临界位置，结合角度关系求出对应圆心角，再代入公式计算。
【难度系数】
0.6