10.(1)操作与探究: 矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，折痕的一端G点在边BC上，BG=10.
①第一次折叠: 当折痕的另一端点F在AB边上时，如图甲所示，求折痕GF的长；
②第二次折叠: 当折痕的另一端点F在AD边上时，如图乙所示，证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长.
(2)拓展延伸: 通过操作探究发现在矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=13. 如图丙所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A'处，折痕为PQ. 当点A'在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动. 若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，则点A'在BC边上可移动的最大距离是.

10.(1) ①$5\sqrt{5}$ ②证明略 $4\sqrt{5}$ (2)4

【分析】
本题为矩形折叠的几何综合题，需利用折叠的对应边/角相等性质、矩形的性质，结合勾股定理、菱形判定定理求解。(1)①中，通过折叠得EG=BG，构造直角三角形求线段长度，再用勾股定理列方程求FB，进而算GF；(1)②中，由平行线和折叠性质证邻边相等，结合平行关系证菱形，再用勾股定理求GF；(2)中，分P在AB、Q在AD的极端情况确定A'的最远/最近位置，计算差值得最大移动距离。
【解析】
(1)① 由折叠性质得：EG=BG=10，过E作EH⊥BC于H，矩形中EH=AB=8，在Rt△EGH中，GH=√(EG²-EH²)=√(10²-8²)=6，故AE=BH=BG-GH=10-6=4。设AF=x，则FB=8-x，折叠后EF=FB=8-x，在Rt△AEF中，由勾股定理：4²+x²=(8-x)²，解得x=3，FB=5。在Rt△FBG中，GF=√(FB²+BG²)=√(5²+10²)=5√5。
② 由折叠得BF=EF，∠BFG=∠EFG，因AD//BC，故∠EFG=∠BGF，得∠BFG=∠BGF，所以BF=BG，即BG=BF=EF，又EF//BG，故四边形BGEF是平行四边形，结合BF=BG，得四边形BGEF为菱形。菱形边长为10，在Rt△ABF中，AF=√(10²-8²)=6，FG的水平距离为10-6=4，垂直距离为8，故GF=√(4²+8²)=4√5。
(2) 当P在AB上时，A'离B最近，P与B重合时，BA'=AB=5；当Q在AD上时，A'离B最远，QA'=13，在Rt△ABA'中，BA'=√(13²-5²)=12，故A'移动的最大距离为12-5=4。
【答案】
(1)①$5\sqrt{5}$；②证明略，$4\sqrt{5}$；(2)4
【知识点】
矩形性质、折叠性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形折叠问题，核心是利用折叠的不变性，结合勾股定理和特殊四边形判定，第(2)问需分类讨论极端位置，体现几何分析的严谨性，是中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5