5. 两张宽2 cm矩形纸片重叠在一起，然后将其中的一张任意旋转一个角度，则重叠部分（图中的阴影部分）的四边形ABCD的形状为，其面积的最小值为cm².

5.菱形 4

【分析】首先，两张矩形纸片的对边互相平行，因此重叠部分四边形ABCD的两组对边分别平行，可先判定其为平行四边形；再结合两张纸片的宽度均为2cm，利用平行四边形的面积公式，当平行四边形的底最小时，面积最小，进而确定图形形状和最小面积。
【解析】
1. 判定四边形ABCD的形状：
因为两张都是矩形，矩形对边平行，所以AB//CD，AD//BC，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边形。
又两张矩形纸片的宽度均为2cm，平行四边形ABCD的面积=底×高，这里的高等于矩形的宽（2cm），且平行四边形的面积也可表示为AB×高（高为2cm），由于两张纸片宽度相等，所以AB边上的高等于AD边上的高，因此AB=AD，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，故四边形ABCD是菱形。
2. 求面积的最小值：
平行四边形面积=底×高，高固定为2cm，当底最小时面积最小，底的最小值等于矩形的宽（2cm），所以最小面积=2×2=4 cm²。
【答案】菱形；4
【知识点】平行四边形判定，菱形判定，平行四边形面积计算
【点评】本题考查矩形重叠后的图形判定，需结合平行四边形、菱形的判定定理，理解平行四边形面积与底和高的关系，找到底的最小值即可求出最小面积，属于基础几何题。
【难度系数】0.5

6. 七巧板是我国民间流传的一种传统益智玩具，它是由等腰直角三角形，正方形和平行四边形组成的. 有一块边长为4的正方形厚纸板ABCD，做成如图甲所示的一套七巧板（点O为正方形纸板对角线的交点，点E，F分别为AD，CD的中点，GE // BI，IH // CD），将图甲所示七巧板拼成如图乙所示的“鱼形”，则“鱼尾”MN的长为$\boldsymbol{2+\sqrt{2}}$.

解：已知原正方形纸板ABCD的边长为4，先分析七巧板各部件的边长：
原正方形对角线长为 $4\sqrt{2}$，七巧板中最小的等腰直角三角形的斜边长为2，直角边长为$\sqrt{2}$；平行四边形的短边长为$\sqrt{2}$，长边长为2。
观察图乙的“鱼尾”MN，其长度由对应七巧板部件的边长拼接得到：$MN = 2 + \sqrt{2}$。
答案：$\boldsymbol{2+\sqrt{2}}$

【分析】首先确定原正方形ABCD的边长为4，利用正方形性质算出其对角线长度，再分析七巧板各组成部件（等腰直角三角形、平行四边形等）的边长；接着观察图乙中“鱼尾”MN的构成，找到其对应七巧板部件的边长，将对应边长相加即可得到MN的长度。
【解析】已知正方形ABCD边长为4，根据正方形对角线公式，对角线长为$\sqrt{4^2 + 4^2}=4\sqrt{2}$。七巧板中，最小等腰直角三角形的直角边长为$\sqrt{2}$，平行四边形的长边长为2。观察图乙的“鱼尾”MN，它由平行四边形的长边长2和最小等腰直角三角形的直角边长$\sqrt{2}$组成，因此$MN=2+\sqrt{2}$。
【答案】$2+\sqrt{2}$
【知识点】正方形性质，七巧板边长计算，图形拼接
【点评】本题结合七巧板的拼接考查几何边长计算，核心是明确各部件的边长及拼接后鱼尾的组成，属于基础几何应用题目。
【难度系数】0.5

7.如图所示，有一张直角三角形纸片，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$BC=1$，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是。

7.$3\sqrt{2}$

8. 某城市部分街道示意图如图所示，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE ⊥ CD，GF ⊥ BC，AD = 1500 m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F。若小敏行走的路程为3100 m，则AG + GE = m，由此可得小聪行走的路程为 m.

8.$2+\sqrt{3}$或4

【分析】
要解决本题，需利用正方形的性质分析线段关系：正方形四边相等，对角线平分内角，结合垂直条件可推出相关线段的等量关系。首先根据小敏的路程和正方形边长求出AG+GE，再通过线段转化求出小聪的路程。
【解析】
1. 计算AG+GE：
因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD=1500m。小敏行走的路程为BA + AG + GE = 3100m，代入BA=1500m，可得：
AG + GE = 3100 - BA = 3100 - 1500 = 1600(m)。
2. 计算小聪行走的路程：
小聪行走的路线为B→A→D→E→F，路程为BA + AD + DE + EF。
由正方形性质，AD=1500m，BA=1500m；
又因为GE⊥CD，GF⊥BC，∠C=90°，且G在对角线BD上，所以四边形GECF是正方形，故EF=GE；同时△GED为等腰直角三角形，DE=GE。
而DC=DE + EC=GE + GE=1500m，因此DE + EF=DE + GE=1500m。
所以小聪的路程=BA + AD + (DE + EF)=1500 + 1500 + 1500 = 4500(m)。
【答案】
1600；4500
【知识点】
正方形的性质、等腰直角三角形
【点评】
本题核心是利用正方形对角线的性质推导线段等量关系，将未知线段转化为已知边长，解题关键是灵活运用几何图形的性质进行线段转化，难度适中。
【难度系数】
0.5

9. 图甲是故宫博物院珍藏的清代银灰色方胜纹暗花缎袄，“方胜纹”是由两个正方形互相压角穿插，相叠而成的纹样，寓意同心同德、同舟共济（如图乙）. 将正方形ABCD沿对角线BD方向平移到正方形$A'B'C'D'$，形成一个“方胜纹”图案（如图丙），若$BB'=AB$，$B'D=2$，则正方形ABCD的边长为.

9.1600 4600

【分析】要解决本题，需结合正方形的性质（对角线与边长的关系）和平移的性质分析：设正方形ABCD的边长为$a$，根据正方形性质，其对角线长度为边长的$\sqrt{2}$倍；平移后对应线段长度不变，结合图丙中点的位置关系，线段$BD$由$BB'$和$B'D$组成，据此建立方程求解。
【解析】设正方形$ABCD$的边长为$a$，则$AB=a$，正方形对角线$BD=\sqrt{2}a$（正方形对角线长度=边长×$\sqrt{2}$）。
由题意知：$BB'=AB=a$，$B'D=2$，根据图丙中点的顺序$B-B'-D$，得$BD=BB'+B'D$，代入得：
$\sqrt{2}a = a + 2$
移项整理：$a(\sqrt{2}-1)=2$
分母有理化求解：$a=\frac{2}{\sqrt{2}-1}=2(\sqrt{2}+1)$
【答案】$2(\sqrt{2}+1)$
【知识点】正方形的性质、平移的性质
【点评】本题结合传统纹样背景，考查几何性质的应用，关键是理清线段$BD$的组成关系，注意分母有理化的运算规范。
【难度系数】0.5