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1. 从图乙中选择一块拼图板可与图甲中的图形拼成一个正方形，正确的选择为（
A.①
B.②
C.③
D.④
D
）.A.①
B.②
C.③
D.④
答案
1.D
解析
【分析】要选出能与图甲拼成正方形的拼图，需先明确图甲空缺部分的凹凸特征，再将图乙各拼图的凹凸形状与之对比，找到完全契合的选项。
【解析】图甲的空缺处有特定的凹凸结构，逐一对比图乙的①②③④：①的凹凸位置不匹配；②的凹凸数量和位置不符；③的凹凸也不对应；只有④的凹凸形状和位置与图甲的空缺处完全吻合，可拼接成正方形。
【答案】D
【知识点】图形拼接
【点评】本题通过图形凹凸匹配考查拼接能力，需仔细观察特征，难度较低。
【难度系数】0.3
【解析】图甲的空缺处有特定的凹凸结构，逐一对比图乙的①②③④：①的凹凸位置不匹配；②的凹凸数量和位置不符；③的凹凸也不对应；只有④的凹凸形状和位置与图甲的空缺处完全吻合，可拼接成正方形。
【答案】D
【知识点】图形拼接
【点评】本题通过图形凹凸匹配考查拼接能力，需仔细观察特征，难度较低。
【难度系数】0.3
2. 课外活动上，王老师让同学们做一个对角线互相垂直的矩形形状的风筝，其面积为$450\ \mathrm{cm}^2$，则两条对角线所用的竹条至少需要（
A.$30\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
B.$30\ \mathrm{cm}$
C.$60\ \mathrm{cm}$
D.$60\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
C
）。A.$30\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
B.$30\ \mathrm{cm}$
C.$60\ \mathrm{cm}$
D.$60\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
答案
2.C
解析
【分析】首先，矩形的对角线相等，结合题目中“对角线互相垂直”的条件，可确定该矩形为正方形；其次，对角线互相垂直的四边形面积公式为$S=\frac{1}{2}d_1d_2$（$d_1、d_2$为两条对角线的长度），本题中矩形对角线相等，故$d_1=d_2$，代入面积公式可求出单条对角线长度，进而计算两条对角线的总长度，选出对应选项。
【解析】设两条对角线的长度均为$d\ \mathrm{cm}$，因为矩形对角线相等且互相垂直，根据对角线垂直的四边形面积公式：
$\frac{1}{2}d · d = 450$
化简得：$\frac{1}{2}d^2 = 450$，即$d^2 = 900$，解得$d = 30$（长度为正，舍去负根）。
两条对角线的总长度为$2d = 2×30 = 60\ \mathrm{cm}$，故答案选C。
【答案】C
【知识点】矩形性质、对角线垂直四边形面积、二次根式计算
【点评】本题结合矩形性质与特殊四边形面积公式，通过代数运算求解，需牢记对角线垂直四边形的面积公式，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】设两条对角线的长度均为$d\ \mathrm{cm}$，因为矩形对角线相等且互相垂直，根据对角线垂直的四边形面积公式：
$\frac{1}{2}d · d = 450$
化简得：$\frac{1}{2}d^2 = 450$，即$d^2 = 900$，解得$d = 30$（长度为正，舍去负根）。
两条对角线的总长度为$2d = 2×30 = 60\ \mathrm{cm}$，故答案选C。
【答案】C
【知识点】矩形性质、对角线垂直四边形面积、二次根式计算
【点评】本题结合矩形性质与特殊四边形面积公式，通过代数运算求解，需牢记对角线垂直四边形的面积公式，难度适中。
【难度系数】0.6
3. 数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明. 嘉嘉和淇淇各自作了不同的辅助线，如图甲、图乙所示. 能够用来证明三角形中位线定理的是（
嘉嘉的辅助线作法：延长DE到点F，使EF=DE，连接DC，AF，FC.
淇淇的辅助线作法：过点E作GE // AB，过点A作AF // BC，GE与AF交于点F.
A.嘉嘉的辅助线作法不可以，淇淇的可以
B.嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以
C.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以
D.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以
D
）.嘉嘉的辅助线作法：延长DE到点F，使EF=DE，连接DC，AF，FC.
淇淇的辅助线作法：过点E作GE // AB，过点A作AF // BC，GE与AF交于点F.
A.嘉嘉的辅助线作法不可以，淇淇的可以
B.嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以
C.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以
D.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以
答案
3.D
解析
【分析】
要判断两种辅助线能否证明三角形中位线定理，需明确定理内容：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。嘉嘉的作法通过延长中位线构造平行四边形推导关系，淇淇的作法通过作平行线构造平行四边形推导关系，需分别验证两种作法是否能得出中位线定理的结论。
【解析】
三角形中位线定理为：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
1. 嘉嘉的辅助线作法验证：
在△ABC中，D是AB中点，E是AC中点，DE为中位线。延长DE到F，使EF=DE，连接DC、AF、FC。
∵ AE=EC，DE=EF，
∴ 四边形ADCF是平行四边形，得AD//CF且AD=CF。
又
∵ AD=DB，
∴ DB//CF且DB=CF，故四边形DBCF是平行四边形，得DF//BC且DF=BC。
∵ DE=½DF，
∴ DE//BC且DE=½BC，符合中位线定理，因此嘉嘉的作法可以证明。
2. 淇淇的辅助线作法验证：
过E作GE//AB，过A作AF//BC，GE与AF交于点F。
∵ AF//BC，GE//AB，
∴ 四边形ABGF是平行四边形，得AF=BG，AB//GF。
∵ GE//AB，E是AC中点，可证△AEF≌△CEG，得AF=CG，故BG=CG，即G是BC中点，且EF=EG。
此时DE是△ABG的中位线，因此DE//BG且DE=½BG，即DE//BC且DE=½BC，符合中位线定理，因此淇淇的作法也可以证明。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定
【点评】
本题通过两种不同的辅助线构造方式证明三角形中位线定理，体现了几何证明中辅助线的灵活运用，需要学生掌握平行四边形和全等三角形的性质，理解构造法推导定理的思路，是对几何知识综合应用的考查。
【难度系数】
0.5
要判断两种辅助线能否证明三角形中位线定理，需明确定理内容：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。嘉嘉的作法通过延长中位线构造平行四边形推导关系，淇淇的作法通过作平行线构造平行四边形推导关系，需分别验证两种作法是否能得出中位线定理的结论。
【解析】
三角形中位线定理为：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
1. 嘉嘉的辅助线作法验证：
在△ABC中，D是AB中点，E是AC中点，DE为中位线。延长DE到F，使EF=DE，连接DC、AF、FC。
∵ AE=EC，DE=EF，
∴ 四边形ADCF是平行四边形，得AD//CF且AD=CF。
又
∵ AD=DB，
∴ DB//CF且DB=CF，故四边形DBCF是平行四边形，得DF//BC且DF=BC。
∵ DE=½DF，
∴ DE//BC且DE=½BC，符合中位线定理，因此嘉嘉的作法可以证明。
2. 淇淇的辅助线作法验证：
过E作GE//AB，过A作AF//BC，GE与AF交于点F。
∵ AF//BC，GE//AB，
∴ 四边形ABGF是平行四边形，得AF=BG，AB//GF。
∵ GE//AB，E是AC中点，可证△AEF≌△CEG，得AF=CG，故BG=CG，即G是BC中点，且EF=EG。
此时DE是△ABG的中位线，因此DE//BG且DE=½BG，即DE//BC且DE=½BC，符合中位线定理，因此淇淇的作法也可以证明。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定
【点评】
本题通过两种不同的辅助线构造方式证明三角形中位线定理，体现了几何证明中辅助线的灵活运用，需要学生掌握平行四边形和全等三角形的性质，理解构造法推导定理的思路，是对几何知识综合应用的考查。
【难度系数】
0.5
4. 如图所示，已知在正方形ABCD中，E是BC上一点，将正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于点G，连接DG.现有如下4个结论：①$AG=GF$；②$AG$与$EC$一定不相等；③$∠ GDE=45°$；④$△ BGE$的周长是一个定值.其中正确的个数为（
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）.A.1
B.2
C.3
D.4
答案
4.C
解析
【分析】
要判断四个结论是否正确，需结合正方形的性质和折叠的性质，利用全等三角形、代数推导等方法逐一分析：
1. 对于结论①，折叠后CD=DF，结合正方形AD=CD，得AD=DF，且∠A=∠DFG=90°，可证Rt△ADG≌Rt△FDG，从而得AG=GF；
2. 对于结论②，通过设未知数结合勾股定理推导，可发现存在AG=EC的情况，故该结论错误；
3. 对于结论③，利用折叠的角相等，结合正方形∠ADC=90°，可推导出∠GDE=45°；
4. 对于结论④，将△BGE的周长转化为AB+BC，结合正方形边长固定，可知周长为定值。
【解析】
设正方形ABCD的边长为a，由折叠性质得：CD=DF=AD，∠DFE=∠C=90°，故∠DFG=∠A=90°。
在Rt△ADG和Rt△FDG中，$\{\begin{array}{l}AD=DF \\ DG=DG\end{array} $，所以Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），因此AG=GF，∠ADG=∠FDG，故①正确。
设AG=GF=x，EC=y，则BE=a-y，BG=a-x，GE=x+y。在Rt△BGE中，由勾股定理得：
$(a-x)^2 + (a-y)^2 = (x+y)^2$，展开化简得：$a^2 -ax -ay = xy$，当x=y时等式成立，故AG与EC可以相等，②错误。
由折叠得∠CDE=∠FDE，又∠ADG=∠FDG，且∠ADG+∠FDG+∠FDE+∠CDE=90°，所以2(∠FDG+∠FDE)=90°，即∠GDE=∠FDG+∠FDE=45°，故③正确。
△BGE的周长=BG+BE+GE=BG+BE+GF+FE=BG+BE+AG+EC=(BG+AG)+(BE+EC)=AB+BC=2a，是定值，故④正确。
综上，正确的结论为①③④，共3个，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正方形性质、折叠性质、全等三角形判定
【点评】
本题综合考查正方形的性质、折叠的性质，需熟练运用全等三角形和勾股定理推导，关键是通过折叠转化线段和角的关系，判断各结论的正确性。
【难度系数】
0.4
要判断四个结论是否正确，需结合正方形的性质和折叠的性质，利用全等三角形、代数推导等方法逐一分析：
1. 对于结论①，折叠后CD=DF，结合正方形AD=CD，得AD=DF，且∠A=∠DFG=90°，可证Rt△ADG≌Rt△FDG，从而得AG=GF；
2. 对于结论②，通过设未知数结合勾股定理推导，可发现存在AG=EC的情况，故该结论错误；
3. 对于结论③，利用折叠的角相等，结合正方形∠ADC=90°，可推导出∠GDE=45°；
4. 对于结论④，将△BGE的周长转化为AB+BC，结合正方形边长固定，可知周长为定值。
【解析】
设正方形ABCD的边长为a，由折叠性质得：CD=DF=AD，∠DFE=∠C=90°，故∠DFG=∠A=90°。
在Rt△ADG和Rt△FDG中，$\{\begin{array}{l}AD=DF \\ DG=DG\end{array} $，所以Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），因此AG=GF，∠ADG=∠FDG，故①正确。
设AG=GF=x，EC=y，则BE=a-y，BG=a-x，GE=x+y。在Rt△BGE中，由勾股定理得：
$(a-x)^2 + (a-y)^2 = (x+y)^2$，展开化简得：$a^2 -ax -ay = xy$，当x=y时等式成立，故AG与EC可以相等，②错误。
由折叠得∠CDE=∠FDE，又∠ADG=∠FDG，且∠ADG+∠FDG+∠FDE+∠CDE=90°，所以2(∠FDG+∠FDE)=90°，即∠GDE=∠FDG+∠FDE=45°，故③正确。
△BGE的周长=BG+BE+GE=BG+BE+GF+FE=BG+BE+AG+EC=(BG+AG)+(BE+EC)=AB+BC=2a，是定值，故④正确。
综上，正确的结论为①③④，共3个，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正方形性质、折叠性质、全等三角形判定
【点评】
本题综合考查正方形的性质、折叠的性质，需熟练运用全等三角形和勾股定理推导，关键是通过折叠转化线段和角的关系，判断各结论的正确性。
【难度系数】
0.4
