登录
形，而雅典的帕特农神庙和达芬奇的《蒙娜丽莎》中均包含着黄金矩形的神韵（如右图所示）.
其实在数学中，很多领域都有黄金分割的身影.
人们把底与腰的长度比等于黄金比值的等腰三角形叫作黄金三角形.黄金三角形分为两种：一种是顶角为$36°$，其余两个底角均为$72°$的等腰三角形，这时这个三角形的底边与腰的长度比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，如图甲所示；另一种是顶角为$108°$，其余两个底角均为$36°$的等腰三角形，这时这个三角形的腰与底边的长度比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，如图乙所示.
那么如何制作一个黄金三角形呢？只需要折叠一条纸带就可以构建出这个神奇的比例.取一条窄窄的纸带，用它打一个结，然后非常仔细地将这个结压平，得到的中间形状像是五边形.如果你用的是较薄的半透明纸，将它举到光亮处，应该能看到一个有对角线的五边形（如图丙所示），这些对角线将该五边形分为若干个三角形，你能从中找出多少个黄金三角形？
除此之外，还有黄金矩形.黄金矩形，就是长与宽的比例等于黄金分割比的矩形.要构建一个黄金矩形，可以从一个正方形$ABEF$开始.找到边$AF$的中点$M$，并以$M$为圆心、$ME$为半径画一条圆弧，与边$AF$所在直线相交于点$D$.然后从点$D$竖直向上画一条垂线段，与边$BE$所在直线相交于点$C$.矩形$ABCD$就是一个黄金矩形.有意思的是，从这个黄金矩形中移除原来的正方形$ABEF$，余下的矩形$ECDF$也是一个黄金矩形（如图丁所示）.
这个过程可以一直持续下去，也就是说，如果我们连续不断地在黄金矩形中移除一个正方形，那么依次产生的矩形$ECDF$、矩形$JDFN$、矩形$TFNP$、矩形$HNPQ$……，全部都是黄金矩形，它们的长与宽的比例都等于$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（如图戊所示）.
在图戊的每个正方形中画上四分之一圆弧，就会得到一条接近于对数螺线的曲线，每个黄金矩形都恰有一个顶点位于这条曲线上（如图己所示），这条曲线也出现在帕特农神庙和《蒙娜丽莎》中.
关于黄金家族，还有很多知识等待着我们去挖掘，感兴趣的同学请继续查阅资料，了解黄金家族的其他成员吧！同时也请你根据以上内容，自己设计一幅包含黄金分割的漂亮图形.
其实在数学中，很多领域都有黄金分割的身影.
人们把底与腰的长度比等于黄金比值的等腰三角形叫作黄金三角形.黄金三角形分为两种：一种是顶角为$36°$，其余两个底角均为$72°$的等腰三角形，这时这个三角形的底边与腰的长度比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，如图甲所示；另一种是顶角为$108°$，其余两个底角均为$36°$的等腰三角形，这时这个三角形的腰与底边的长度比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，如图乙所示.
那么如何制作一个黄金三角形呢？只需要折叠一条纸带就可以构建出这个神奇的比例.取一条窄窄的纸带，用它打一个结，然后非常仔细地将这个结压平，得到的中间形状像是五边形.如果你用的是较薄的半透明纸，将它举到光亮处，应该能看到一个有对角线的五边形（如图丙所示），这些对角线将该五边形分为若干个三角形，你能从中找出多少个黄金三角形？
除此之外，还有黄金矩形.黄金矩形，就是长与宽的比例等于黄金分割比的矩形.要构建一个黄金矩形，可以从一个正方形$ABEF$开始.找到边$AF$的中点$M$，并以$M$为圆心、$ME$为半径画一条圆弧，与边$AF$所在直线相交于点$D$.然后从点$D$竖直向上画一条垂线段，与边$BE$所在直线相交于点$C$.矩形$ABCD$就是一个黄金矩形.有意思的是，从这个黄金矩形中移除原来的正方形$ABEF$，余下的矩形$ECDF$也是一个黄金矩形（如图丁所示）.
这个过程可以一直持续下去，也就是说，如果我们连续不断地在黄金矩形中移除一个正方形，那么依次产生的矩形$ECDF$、矩形$JDFN$、矩形$TFNP$、矩形$HNPQ$……，全部都是黄金矩形，它们的长与宽的比例都等于$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（如图戊所示）.
在图戊的每个正方形中画上四分之一圆弧，就会得到一条接近于对数螺线的曲线，每个黄金矩形都恰有一个顶点位于这条曲线上（如图己所示），这条曲线也出现在帕特农神庙和《蒙娜丽莎》中.
关于黄金家族，还有很多知识等待着我们去挖掘，感兴趣的同学请继续查阅资料，了解黄金家族的其他成员吧！同时也请你根据以上内容，自己设计一幅包含黄金分割的漂亮图形.
答案
解：
1. 纸带打结压平得到正五边形，其所有对角线将图形分割后，一共可以找出10个黄金三角形：其中5个是顶角为36°、底角为72°的第一种黄金三角形，剩余5个是顶角为108°、底角为36°的第二种黄金三角形。
2. 包含黄金分割的图形设计示例：
① 绘制边长为2的正方形ABEF，取AF的中点M，以M为圆心、ME长为半径画圆弧，交AF所在直线于点D，过D作DC⊥AD，交BE所在直线于点C，得到黄金矩形ABCD；
② 从黄金矩形ABCD中移除正方形ABEF，得到余下的黄金矩形ECDF，重复该操作，依次在新生成的黄金矩形中移除对应大小的正方形，得到一系列边长递减的正方形；
③ 在每个正方形内，以正方形的一个顶点为圆心、对应边长为半径，向同一旋转方向绘制四分之一圆弧，将所有圆弧首尾相连，得到黄金对数螺线；
④ 在螺线外侧添加一个由5个顶角为36°的黄金三角形组成的正五角星，搭配协调的渐变配色，即可得到一幅美观的包含黄金分割的图形。
答：一共可以从中找出10个黄金三角形。
1. 纸带打结压平得到正五边形，其所有对角线将图形分割后，一共可以找出10个黄金三角形：其中5个是顶角为36°、底角为72°的第一种黄金三角形，剩余5个是顶角为108°、底角为36°的第二种黄金三角形。
2. 包含黄金分割的图形设计示例：
① 绘制边长为2的正方形ABEF，取AF的中点M，以M为圆心、ME长为半径画圆弧，交AF所在直线于点D，过D作DC⊥AD，交BE所在直线于点C，得到黄金矩形ABCD；
② 从黄金矩形ABCD中移除正方形ABEF，得到余下的黄金矩形ECDF，重复该操作，依次在新生成的黄金矩形中移除对应大小的正方形，得到一系列边长递减的正方形；
③ 在每个正方形内，以正方形的一个顶点为圆心、对应边长为半径，向同一旋转方向绘制四分之一圆弧，将所有圆弧首尾相连，得到黄金对数螺线；
④ 在螺线外侧添加一个由5个顶角为36°的黄金三角形组成的正五角星，搭配协调的渐变配色，即可得到一幅美观的包含黄金分割的图形。
答：一共可以从中找出10个黄金三角形。
解析
【分析】首先，题目中纸带打结压平得到的是正五边形，需结合黄金三角形的两种定义（顶角36°、底角72°的等腰三角形，以及顶角108°、底角36°的等腰三角形），分析正五边形对角线分割后的三角形类型，统计黄金三角形数量；其次，设计包含黄金分割的图形需利用黄金矩形、黄金螺线等元素，按步骤构造即可。
【解析】1. 统计黄金三角形数量：纸带打结压平得到正五边形，正五边形的所有对角线相交后，分割出的三角形中，符合“顶角为36°、底角为72°”的第一种黄金三角形有5个，符合“顶角为108°、底角为36°”的第二种黄金三角形也有5个，合计10个。2. 设计包含黄金分割的图形：① 构造黄金矩形：先画边长为2的正方形ABEF，取AF中点M，以M为圆心、ME为半径画弧交AF所在直线于D，过D作DC⊥AD交BE所在直线于C，得到黄金矩形ABCD；② 重复操作：移除正方形ABEF得黄金矩形ECDF，再在ECDF中移除对应正方形，依次得到多个递减的黄金矩形和正方形；③ 绘制黄金螺线：在每个正方形内，以正方形顶点为圆心、边长为半径，向同一方向画四分之一圆弧，连接各圆弧形成黄金螺线；④ 搭配元素：在螺线外侧添加由5个顶角36°的黄金三角形组成的正五角星，调整配色得到美观图形。
【答案】一共可以从中找出10个黄金三角形；包含黄金分割的图形设计示例：按上述步骤构造黄金矩形、黄金螺线及正五角星，搭配协调配色即可。
【知识点】黄金分割、黄金三角形、黄金矩形
【点评】本题将黄金分割的数学概念与实际操作、艺术设计结合，既考察对黄金三角形、黄金矩形定义的理解，又锻炼几何构造和创新设计能力，体现了数学在美学中的应用价值。
【难度系数】0.4
【解析】1. 统计黄金三角形数量：纸带打结压平得到正五边形，正五边形的所有对角线相交后，分割出的三角形中，符合“顶角为36°、底角为72°”的第一种黄金三角形有5个，符合“顶角为108°、底角为36°”的第二种黄金三角形也有5个，合计10个。2. 设计包含黄金分割的图形：① 构造黄金矩形：先画边长为2的正方形ABEF，取AF中点M，以M为圆心、ME为半径画弧交AF所在直线于D，过D作DC⊥AD交BE所在直线于C，得到黄金矩形ABCD；② 重复操作：移除正方形ABEF得黄金矩形ECDF，再在ECDF中移除对应正方形，依次得到多个递减的黄金矩形和正方形；③ 绘制黄金螺线：在每个正方形内，以正方形顶点为圆心、边长为半径，向同一方向画四分之一圆弧，连接各圆弧形成黄金螺线；④ 搭配元素：在螺线外侧添加由5个顶角36°的黄金三角形组成的正五角星，调整配色得到美观图形。
【答案】一共可以从中找出10个黄金三角形；包含黄金分割的图形设计示例：按上述步骤构造黄金矩形、黄金螺线及正五角星，搭配协调配色即可。
【知识点】黄金分割、黄金三角形、黄金矩形
【点评】本题将黄金分割的数学概念与实际操作、艺术设计结合，既考察对黄金三角形、黄金矩形定义的理解，又锻炼几何构造和创新设计能力，体现了数学在美学中的应用价值。
【难度系数】0.4
