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1. ★★如图①，$AB// CD$，我们知道$∠ A+∠ C=∠ E$.
在$AB// CD$的前提下，探究“M”型与$n$等分线：
（1）如图②，若$∠ EAF = \frac{1}{2}∠ EAB$，$∠ ECF = \frac{1}{2}∠ ECD$，求证：$∠ AFC=\frac{1}{2}∠ AEC$.
（2）如图③，若$∠ EAF = \frac{1}{3}∠ EAB$，$∠ ECF = \frac{1}{3}∠ ECD$，求证：$∠ AFC=\frac{2}{3}∠ AEC$.
（3）①若$∠ EAF = \frac{1}{n}∠ EAB$，$∠ ECF = \frac{1}{n}∠ ECD$，求$∠ AFC$与$∠ AEC$的数量关系；（用含$n$的式子表示）
②若$AB// CD$，$∠ BAF = \frac{1}{n}∠ EAF$，$∠ DCF = \frac{1}{n}∠ ECF$，$∠ F=m°$，求$∠ E$的度数.（用含$n,m$的式子表示）
在$AB// CD$的前提下，探究“M”型与$n$等分线：
（1）如图②，若$∠ EAF = \frac{1}{2}∠ EAB$，$∠ ECF = \frac{1}{2}∠ ECD$，求证：$∠ AFC=\frac{1}{2}∠ AEC$.
（2）如图③，若$∠ EAF = \frac{1}{3}∠ EAB$，$∠ ECF = \frac{1}{3}∠ ECD$，求证：$∠ AFC=\frac{2}{3}∠ AEC$.
（3）①若$∠ EAF = \frac{1}{n}∠ EAB$，$∠ ECF = \frac{1}{n}∠ ECD$，求$∠ AFC$与$∠ AEC$的数量关系；（用含$n$的式子表示）
②若$AB// CD$，$∠ BAF = \frac{1}{n}∠ EAF$，$∠ DCF = \frac{1}{n}∠ ECF$，$∠ F=m°$，求$∠ E$的度数.（用含$n,m$的式子表示）
答案
1.(1)【证明】易得$∠ BAE+∠ DCE=∠ AEC$，$∠ BAF+∠ DCF=∠ AFC$。因为$∠ BAF=\frac{1}{2}∠ EAB$，$∠ DCF=\frac{1}{2}∠ ECD$，所以$∠ AFC=∠ BAF+∠ DCF=\frac{1}{2}∠ EAB+\frac{1}{2}∠ ECD=\frac{1}{2}∠ AEC$。
(2)【证明】易得$∠ BAE+∠ DCE=∠ AEC$，$∠ BAF+∠ DCF=∠ AFC$。
因为$∠ EAF=\frac{1}{3}∠ EAB$，$∠ ECF=\frac{1}{3}∠ ECD$，所以$∠ BAF=\frac{2}{3}∠ BAE$，$∠ DCF=\frac{2}{3}∠ DCE$。
所以$∠ AFC=∠ BAF+∠ DCF=\frac{2}{3}∠ BAE+\frac{2}{3}∠ DCE=\frac{2}{3}∠ AEC$。
(3)【解】①易得$∠ BAE+∠ DCE=∠ AEC$，$∠ BAF+∠ DCF=∠ AFC$。
因为$∠ EAF=\frac{1}{n}∠ EAB$，$∠ ECF=\frac{1}{n}∠ ECD$，所以$∠ BAF=\frac{n-1}{n}∠ BAE$，$∠ DCF=\frac{n-1}{n}∠ DCE$。
所以$∠ AFC=∠ BAF+∠ DCF=\frac{n-1}{n}∠ BAE+\frac{n-1}{n}∠ DCE=\frac{n-1}{n}∠ AEC$。
②因为$∠ AFC=∠ BAF+∠ DCF=\frac{1}{n+1}∠ BAE+\frac{1}{n+1}∠ DCE=\frac{1}{n+1}∠ AEC$，所以$∠ AEC=(n+1)m°$。
(2)【证明】易得$∠ BAE+∠ DCE=∠ AEC$，$∠ BAF+∠ DCF=∠ AFC$。
因为$∠ EAF=\frac{1}{3}∠ EAB$，$∠ ECF=\frac{1}{3}∠ ECD$，所以$∠ BAF=\frac{2}{3}∠ BAE$，$∠ DCF=\frac{2}{3}∠ DCE$。
所以$∠ AFC=∠ BAF+∠ DCF=\frac{2}{3}∠ BAE+\frac{2}{3}∠ DCE=\frac{2}{3}∠ AEC$。
(3)【解】①易得$∠ BAE+∠ DCE=∠ AEC$，$∠ BAF+∠ DCF=∠ AFC$。
因为$∠ EAF=\frac{1}{n}∠ EAB$，$∠ ECF=\frac{1}{n}∠ ECD$，所以$∠ BAF=\frac{n-1}{n}∠ BAE$，$∠ DCF=\frac{n-1}{n}∠ DCE$。
所以$∠ AFC=∠ BAF+∠ DCF=\frac{n-1}{n}∠ BAE+\frac{n-1}{n}∠ DCE=\frac{n-1}{n}∠ AEC$。
②因为$∠ AFC=∠ BAF+∠ DCF=\frac{1}{n+1}∠ BAE+\frac{1}{n+1}∠ DCE=\frac{1}{n+1}∠ AEC$，所以$∠ AEC=(n+1)m°$。
解析
【分析】
本题是平行线“M型”（拐点）问题的拓展，解题核心是运用题干给出的“M型”角的结论：当$AB// CD$时，夹在$AB$、$CD$之间的凹角等于以$A$、$C$为顶点的两个内错角的和，即$∠ AEC=∠ EAB+∠ ECD$，$∠ AFC=∠ FAB+∠ FCD$。解题时先根据已知的角的比例关系，用$∠ EAB$、$∠ ECD$表示出$∠ FAB$、$∠ FCD$，再代入两个角的和的表达式，即可推导出$∠ AFC$和$∠ AEC$的数量关系。
【解析】
(1) 证明：由平行线“M型”角的规律可得，$∠ AEC = ∠ BAE + ∠ DCE$，$∠ AFC = ∠ BAF + ∠ DCF$。
$\because ∠ EAF = \frac{1}{2}∠ EAB$，$∠ ECF = \frac{1}{2}∠ ECD$，
$\therefore ∠ BAF = \frac{1}{2}∠ EAB$，$∠ DCF = \frac{1}{2}∠ ECD$，
$\therefore ∠ AFC = \frac{1}{2}∠ EAB + \frac{1}{2}∠ ECD = \frac{1}{2}(∠ EAB + ∠ ECD) = \frac{1}{2}∠ AEC$，得证。
(2) 证明：同理可得$∠ AEC = ∠ BAE + ∠ DCE$，$∠ AFC = ∠ BAF + ∠ DCF$。
$\because ∠ EAF = \frac{1}{3}∠ EAB$，$∠ ECF = \frac{1}{3}∠ ECD$，
$\therefore ∠ BAF = ∠ EAB - ∠ EAF = \frac{2}{3}∠ BAE$，$∠ DCF = ∠ ECD - ∠ ECF = \frac{2}{3}∠ DCE$，
$\therefore ∠ AFC = \frac{2}{3}∠ BAE + \frac{2}{3}∠ DCE = \frac{2}{3}(∠ BAE + ∠ DCE) = \frac{2}{3}∠ AEC$，得证。
(3) ① 解：同理得$∠ AEC = ∠ BAE + ∠ DCE$，$∠ AFC = ∠ BAF + ∠ DCF$。
$\because ∠ EAF = \frac{1}{n}∠ EAB$，$∠ ECF = \frac{1}{n}∠ ECD$，
$\therefore ∠ BAF = ∠ EAB - \frac{1}{n}∠ EAB = \frac{n-1}{n}∠ BAE$，$∠ DCF = ∠ ECD - \frac{1}{n}∠ ECD = \frac{n-1}{n}∠ DCE$，
$\therefore ∠ AFC = \frac{n-1}{n}∠ BAE + \frac{n-1}{n}∠ DCE = \frac{n-1}{n}(∠ BAE + ∠ DCE) = \frac{n-1}{n}∠ AEC$。
② 解：$\because ∠ BAF = \frac{1}{n}∠ EAF$，即$∠ EAF = n∠ BAF$，
$\therefore ∠ BAE = ∠ BAF + ∠ EAF = (n+1)∠ BAF$，即$∠ BAF = \frac{1}{n+1}∠ BAE$，
同理可得$∠ DCF = \frac{1}{n+1}∠ DCE$，
$\therefore ∠ AFC = ∠ BAF + ∠ DCF = \frac{1}{n+1}∠ BAE + \frac{1}{n+1}∠ DCE = \frac{1}{n+1}(∠ BAE + ∠ DCE) = \frac{1}{n+1}∠ AEC$，
已知$∠ AFC = m°$，
$\therefore ∠ AEC = (n+1)m°$，即$∠ E = (n+1)m°$。
【答案】
(1) 证明成立，$∠ AFC=\frac{1}{2}∠ AEC$；
(2) 证明成立，$∠ AFC=\frac{2}{3}∠ AEC$；
(3) ① $\boldsymbol{∠AFC=\frac{n-1}{n}∠AEC}$；② $\boldsymbol{∠E=(n+1)m°}$。
【知识点】
平行线的性质；拐点角的规律；角的和差计算
【点评】
本题以平行线基础的“M型”拐点问题为载体，从特殊等分情况逐步推导到一般$n$等分的情况，注重考查对基础结论的迁移运用能力和归纳推理能力，解题的关键是牢牢抓住“M型”角的等量关系，结合角的比例关系代换即可求解。
【难度系数】
0.7
本题是平行线“M型”（拐点）问题的拓展，解题核心是运用题干给出的“M型”角的结论：当$AB// CD$时，夹在$AB$、$CD$之间的凹角等于以$A$、$C$为顶点的两个内错角的和，即$∠ AEC=∠ EAB+∠ ECD$，$∠ AFC=∠ FAB+∠ FCD$。解题时先根据已知的角的比例关系，用$∠ EAB$、$∠ ECD$表示出$∠ FAB$、$∠ FCD$，再代入两个角的和的表达式，即可推导出$∠ AFC$和$∠ AEC$的数量关系。
【解析】
(1) 证明：由平行线“M型”角的规律可得，$∠ AEC = ∠ BAE + ∠ DCE$，$∠ AFC = ∠ BAF + ∠ DCF$。
$\because ∠ EAF = \frac{1}{2}∠ EAB$，$∠ ECF = \frac{1}{2}∠ ECD$，
$\therefore ∠ BAF = \frac{1}{2}∠ EAB$，$∠ DCF = \frac{1}{2}∠ ECD$，
$\therefore ∠ AFC = \frac{1}{2}∠ EAB + \frac{1}{2}∠ ECD = \frac{1}{2}(∠ EAB + ∠ ECD) = \frac{1}{2}∠ AEC$，得证。
(2) 证明：同理可得$∠ AEC = ∠ BAE + ∠ DCE$，$∠ AFC = ∠ BAF + ∠ DCF$。
$\because ∠ EAF = \frac{1}{3}∠ EAB$，$∠ ECF = \frac{1}{3}∠ ECD$，
$\therefore ∠ BAF = ∠ EAB - ∠ EAF = \frac{2}{3}∠ BAE$，$∠ DCF = ∠ ECD - ∠ ECF = \frac{2}{3}∠ DCE$，
$\therefore ∠ AFC = \frac{2}{3}∠ BAE + \frac{2}{3}∠ DCE = \frac{2}{3}(∠ BAE + ∠ DCE) = \frac{2}{3}∠ AEC$，得证。
(3) ① 解：同理得$∠ AEC = ∠ BAE + ∠ DCE$，$∠ AFC = ∠ BAF + ∠ DCF$。
$\because ∠ EAF = \frac{1}{n}∠ EAB$，$∠ ECF = \frac{1}{n}∠ ECD$，
$\therefore ∠ BAF = ∠ EAB - \frac{1}{n}∠ EAB = \frac{n-1}{n}∠ BAE$，$∠ DCF = ∠ ECD - \frac{1}{n}∠ ECD = \frac{n-1}{n}∠ DCE$，
$\therefore ∠ AFC = \frac{n-1}{n}∠ BAE + \frac{n-1}{n}∠ DCE = \frac{n-1}{n}(∠ BAE + ∠ DCE) = \frac{n-1}{n}∠ AEC$。
② 解：$\because ∠ BAF = \frac{1}{n}∠ EAF$，即$∠ EAF = n∠ BAF$，
$\therefore ∠ BAE = ∠ BAF + ∠ EAF = (n+1)∠ BAF$，即$∠ BAF = \frac{1}{n+1}∠ BAE$，
同理可得$∠ DCF = \frac{1}{n+1}∠ DCE$，
$\therefore ∠ AFC = ∠ BAF + ∠ DCF = \frac{1}{n+1}∠ BAE + \frac{1}{n+1}∠ DCE = \frac{1}{n+1}(∠ BAE + ∠ DCE) = \frac{1}{n+1}∠ AEC$，
已知$∠ AFC = m°$，
$\therefore ∠ AEC = (n+1)m°$，即$∠ E = (n+1)m°$。
【答案】
(1) 证明成立，$∠ AFC=\frac{1}{2}∠ AEC$；
(2) 证明成立，$∠ AFC=\frac{2}{3}∠ AEC$；
(3) ① $\boldsymbol{∠AFC=\frac{n-1}{n}∠AEC}$；② $\boldsymbol{∠E=(n+1)m°}$。
【知识点】
平行线的性质；拐点角的规律；角的和差计算
【点评】
本题以平行线基础的“M型”拐点问题为载体，从特殊等分情况逐步推导到一般$n$等分的情况，注重考查对基础结论的迁移运用能力和归纳推理能力，解题的关键是牢牢抓住“M型”角的等量关系，结合角的比例关系代换即可求解。
【难度系数】
0.7
2. ★★ (1)如图①，$AB// CD$，则$∠ E+∠ G$与$∠ B+∠ F+∠ D$有何关系？请说明理由.
(2)在图②中，若$AB// CD$，又能得到什么结论？直接写出.
(2)在图②中，若$AB// CD$，又能得到什么结论？直接写出.
答案
2.【解】(1)$∠ E+∠ G=∠ B+∠ F+∠ D$。
理由:如图，过$E,F,G$分别作$EM// AB$，$FN// AB$，$GH// AB$。
因为$AB// CD$，所以$AB// EM// FN// GH// CD$。
所以$∠ 1=∠ B$，$∠ 2=∠ 3$，$∠ 4=∠ 5$，$∠ 6=∠ D$。
所以$∠ BEF+∠ FGD=∠ 1+∠ 2+∠ 5+∠ 6=∠ B+∠ 3+∠ 4+∠ D=∠ B+∠ EFG+∠ D$。
(2)$∠ E_1+∠ E_2+∠ E_3+\dots+∠ E_n=∠ B+∠ F_1+∠ F_2+\dots+∠ F_{n-1}+∠ D$。
点方法 两条平行线间存在拐点时，通常过拐点作已知直线的平行线，构造出位置角，为应用平行线的性质创造条件。
解析
【分析】
这是平行线间的拐点问题，解题核心是过拐点作已知平行线的平行线，利用平行线的性质转化角的关系。对于(1)，我们过E、F、G三个拐点分别作AB的平行线，根据平行公理的推论，这些辅助线均与AB、CD平行，再通过内错角相等将各角拆分，对比左右两边角的和即可得到关系；对于(2)，可根据(1)的规律归纳推广，得到多个拐点时的通用角的和的关系。
【解析】
(1) 结论：$∠ E+∠ G=∠ B+∠ F+∠ D$，理由如下：
如图，过$E,F,G$分别作$EM// AB$，$FN// AB$，$GH// AB$。
$\because AB// CD$，$\therefore AB// EM// FN// GH// CD$。
根据平行线内错角相等的性质，可得：$∠ 1=∠ B$，$∠ 2=∠ 3$，$∠ 4=∠ 5$，$∠ 6=∠ D$。
$\therefore ∠ BEF+∠ FGD=∠ 1+∠ 2+∠ 5+∠ 6=∠ B+∠ 3+∠ 4+∠ D=∠ B+∠ EFG+∠ D$，即$∠ E+∠ G=∠ B+∠ F+∠ D$。
(2) 根据(1)的规律可归纳得到：所有开口朝向左侧的角的和等于所有开口朝向右侧的角的和。
【答案】
(1) $∠ E+∠ G=∠ B+∠ F+∠ D$，理由见解析；
(2) $∠ E_1+∠ E_2+∠ E_3+\dots+∠ E_n=∠ B+∠ F_1+∠ F_2+\dots+∠ F_{n-1}+∠ D$
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；拐点辅助线构造
【点评】
本题是平行线中的典型拐点问题，核心解题方法为过拐点作平行线构造内错角，实现角的等量转化，同时第二问考查了从特殊到一般的归纳推理能力，掌握辅助线的构造方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
这是平行线间的拐点问题，解题核心是过拐点作已知平行线的平行线，利用平行线的性质转化角的关系。对于(1)，我们过E、F、G三个拐点分别作AB的平行线，根据平行公理的推论，这些辅助线均与AB、CD平行，再通过内错角相等将各角拆分，对比左右两边角的和即可得到关系；对于(2)，可根据(1)的规律归纳推广，得到多个拐点时的通用角的和的关系。
【解析】
(1) 结论：$∠ E+∠ G=∠ B+∠ F+∠ D$，理由如下：
如图，过$E,F,G$分别作$EM// AB$，$FN// AB$，$GH// AB$。
$\because AB// CD$，$\therefore AB// EM// FN// GH// CD$。
根据平行线内错角相等的性质，可得：$∠ 1=∠ B$，$∠ 2=∠ 3$，$∠ 4=∠ 5$，$∠ 6=∠ D$。
$\therefore ∠ BEF+∠ FGD=∠ 1+∠ 2+∠ 5+∠ 6=∠ B+∠ 3+∠ 4+∠ D=∠ B+∠ EFG+∠ D$，即$∠ E+∠ G=∠ B+∠ F+∠ D$。
(2) 根据(1)的规律可归纳得到：所有开口朝向左侧的角的和等于所有开口朝向右侧的角的和。
【答案】
(1) $∠ E+∠ G=∠ B+∠ F+∠ D$，理由见解析；
(2) $∠ E_1+∠ E_2+∠ E_3+\dots+∠ E_n=∠ B+∠ F_1+∠ F_2+\dots+∠ F_{n-1}+∠ D$
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；拐点辅助线构造
【点评】
本题是平行线中的典型拐点问题，核心解题方法为过拐点作平行线构造内错角，实现角的等量转化，同时第二问考查了从特殊到一般的归纳推理能力，掌握辅助线的构造方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
3. 已知：$AB// CD$，$CF$平分$∠ ECD$.
(1)如图①，若$∠ DCF=25°$，$∠ E=20°$，求$∠ ABE$的度数；
(2)如图②，连接$BF$，若$∠ EBF=2∠ ABF$，$∠ CFB$的2倍与$∠ CEB$的补角的和为$190°$，求$∠ ABE$的度数.
(1)如图①，若$∠ DCF=25°$，$∠ E=20°$，求$∠ ABE$的度数；
(2)如图②，连接$BF$，若$∠ EBF=2∠ ABF$，$∠ CFB$的2倍与$∠ CEB$的补角的和为$190°$，求$∠ ABE$的度数.
答案
3.【解】(1)设$CE$交$AB$于点$G$，如图①。
因为$CF$平分$∠ ECD$，$∠ DCF=25°$，所以$∠ DCE=50°$。
因为$AB// CD$，所以$∠ AGE=∠ DCE=50°$。
所以$∠ BGE=180°-∠ AGE=130°$。
又因为$∠ E=20°$，
所以$∠ ABE=180°-∠ BGE-∠ E=30°$。
(2)分别过点$E,F$作$AB$的平行线$ET,FL$，如图②。
设$∠ ABF=α$，则$∠ EBF=2α$。所以$∠ ABE=3α$。
因为$ET// AB$，所以$∠ BET=∠ ABE=3α$。
因为$ET// AB$，$AB// CD$，所以$ET// CD$。
设$∠ CEB=β$，则$∠ DCE=∠ CET=∠ CEB+∠ BET=3α+β$。
因为$CF$平分$∠ ECD$，所以$∠ DCF=\frac{3α+β}{2}$。
因为$FL// AB$，$AB// CD$，所以$FL// CD$。
所以$∠ CFL=∠ DCF=\frac{3α+β}{2}$。
因为$AB// FL$，所以$∠ BFL=∠ ABF=α$。
所以$∠ CFB=∠ CFL-∠ BFL=\frac{α+β}{2}$。
因为$∠ CFB$的2倍与$∠ CEB$的补角的和为$190°$，
所以$2×\frac{α+β}{2}+180°-β=190°$，解得$α=10°$。
所以$∠ ABE=30°$。
解析
【分析】
(1) 要求∠ABE的度数，首先利用角平分线定义求出∠ECD的度数，再结合AB//CD的性质得到CE与AB相交形成的同位角∠AGE的度数，进而求出其邻补角∠BGE，最后在△BEG中利用三角形内角和为180°，结合已知∠E的度数即可算出结果。
(2) 图中有E、F两个拐点，可过拐点作AB的平行线，利用平行线的传递性得到与CD也平行，建立各个角之间的联系。设∠ABF=α、∠CEB=β，用α和β表示出∠CFB和∠CEB的补角，再根据题目给出的等量关系列方程，消去β后求出α的值，即可得到∠ABE的度数。
【解析】
(1) 设$CE$交$AB$于点$G$，如图①。
∵$CF$平分$∠ECD$，$∠DCF=25°$，
∴$∠DCE=2∠DCF=50°$。
∵$AB// CD$，根据两直线平行，同位角相等，
∴$∠AGE=∠DCE=50°$，
∴$∠BGE=180°-∠AGE=130°$。
在$△ BEG$中，内角和为$180°$，已知$∠E=20°$，
∴$∠ABE=180°-∠BGE-∠E=180°-130°-20°=30°$。
(2) 分别过点$E$、$F$作$AB$的平行线$ET$、$FL$，如图②。
设$∠ABF=α$，
∵$∠EBF=2∠ABF$，
∴$∠EBF=2α$，$∠ABE=∠ABF+∠EBF=3α$。
∵$ET// AB$，根据两直线平行，内错角相等，
∴$∠BET=∠ABE=3α$。
∵$ET// AB$，$AB// CD$，
∴$ET// CD$，
∴$∠DCE=∠CET=∠CEB+∠BET$。
设$∠CEB=β$，则$∠DCE=3α+β$。
∵$CF$平分$∠ECD$，
∴$∠DCF=\frac{1}{2}∠DCE=\frac{3α+β}{2}$。
∵$FL// AB$，$AB// CD$，
∴$FL// CD$，
∴$∠CFL=∠DCF=\frac{3α+β}{2}$。
又
∵$FL// AB$，
∴$∠BFL=∠ABF=α$，
∴$∠CFB=∠CFL-∠BFL=\frac{3α+β}{2}-α=\frac{α+β}{2}$。
由题意得：$2∠CFB+(180°-∠CEB)=190°$，
代入得$2×\frac{α+β}{2}+180°-β=190°$，
化简得$α=10°$，
∴$∠ABE=3α=3×10°=30°$。
【答案】
(1) $\boxed{30°}$；(2) $\boxed{30°}$
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 角平分线的定义
3. 角度和差计算
【点评】
本题是平行线拐点类的典型习题，第一问难度较低，直接运用平行线、角平分线和三角形内角和的相关性质即可求解；第二问需要通过作辅助线构造平行线，结合设参数、找等量关系列方程的方法求解，能够很好地考查对平行线性质的灵活运用能力和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要求∠ABE的度数，首先利用角平分线定义求出∠ECD的度数，再结合AB//CD的性质得到CE与AB相交形成的同位角∠AGE的度数，进而求出其邻补角∠BGE，最后在△BEG中利用三角形内角和为180°，结合已知∠E的度数即可算出结果。
(2) 图中有E、F两个拐点，可过拐点作AB的平行线，利用平行线的传递性得到与CD也平行，建立各个角之间的联系。设∠ABF=α、∠CEB=β，用α和β表示出∠CFB和∠CEB的补角，再根据题目给出的等量关系列方程，消去β后求出α的值，即可得到∠ABE的度数。
【解析】
(1) 设$CE$交$AB$于点$G$，如图①。
∵$CF$平分$∠ECD$，$∠DCF=25°$，
∴$∠DCE=2∠DCF=50°$。
∵$AB// CD$，根据两直线平行，同位角相等，
∴$∠AGE=∠DCE=50°$，
∴$∠BGE=180°-∠AGE=130°$。
在$△ BEG$中，内角和为$180°$，已知$∠E=20°$，
∴$∠ABE=180°-∠BGE-∠E=180°-130°-20°=30°$。
(2) 分别过点$E$、$F$作$AB$的平行线$ET$、$FL$，如图②。
设$∠ABF=α$，
∵$∠EBF=2∠ABF$，
∴$∠EBF=2α$，$∠ABE=∠ABF+∠EBF=3α$。
∵$ET// AB$，根据两直线平行，内错角相等，
∴$∠BET=∠ABE=3α$。
∵$ET// AB$，$AB// CD$，
∴$ET// CD$，
∴$∠DCE=∠CET=∠CEB+∠BET$。
设$∠CEB=β$，则$∠DCE=3α+β$。
∵$CF$平分$∠ECD$，
∴$∠DCF=\frac{1}{2}∠DCE=\frac{3α+β}{2}$。
∵$FL// AB$，$AB// CD$，
∴$FL// CD$，
∴$∠CFL=∠DCF=\frac{3α+β}{2}$。
又
∵$FL// AB$，
∴$∠BFL=∠ABF=α$，
∴$∠CFB=∠CFL-∠BFL=\frac{3α+β}{2}-α=\frac{α+β}{2}$。
由题意得：$2∠CFB+(180°-∠CEB)=190°$，
代入得$2×\frac{α+β}{2}+180°-β=190°$，
化简得$α=10°$，
∴$∠ABE=3α=3×10°=30°$。
【答案】
(1) $\boxed{30°}$；(2) $\boxed{30°}$
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 角平分线的定义
3. 角度和差计算
【点评】
本题是平行线拐点类的典型习题，第一问难度较低，直接运用平行线、角平分线和三角形内角和的相关性质即可求解；第二问需要通过作辅助线构造平行线，结合设参数、找等量关系列方程的方法求解，能够很好地考查对平行线性质的灵活运用能力和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
