11. [2026金华期末] 如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，$∠ FMA = ∠ FGC$，$∠ FEN = 2∠ NEB$，$∠ FGH = 2∠ HGC$. 下列四个结论：
①$AB // CD$；
②$∠ FEN + ∠ FGH = 2∠ EHG$；
③$∠ EHG + ∠ EFM = 90°$；
④$3∠ EHG - ∠ EFM = 180°$.
其中正确的结论是 （）

A.①②③
B.②④
C.①②④
D.①④
（第11题） （第12题）

11. C 【点拨】因为$∠FMA=∠FGC$,所以$AB// CD$,所以①正确;如图①,过点 H 作$HQ// AB$,因为$AB// CD$,所以$AB// HQ// CD$,所以$∠NEB=∠EHQ$,$∠QHG=∠HGC$,所以$∠EHQ+∠QHG=∠NEB+∠HGC$,即$∠EHG=∠NEB+∠HGC$. 因为$∠FEN=2∠NEB$,$∠FGH=2∠HGC$,所以$∠EHG=\frac{1}{2}∠FEN+\frac{1}{2}∠FGH$,即$∠FEN+∠FGH=2∠EHG$,所以②正确.

设$∠NEB=x,∠HGC=y$,则$∠FEN=2x,∠FGH=2y$,由②知$∠EHG=∠NEB+∠HGC=x+y$. 如图②,作$FP// AB$,所以$∠PFE=∠FEM$,$∠PFM=180°-∠FME$,所以$∠EFM=∠PFM-∠PFE=(180°-∠FME)-(180°-∠FEB)=180°-∠FME-180°+∠FEB=∠BEF-∠FME=∠BEF-∠AMG=∠BEF-(180°-∠FGC)=x+2x-(180°-2y-y)=3x+3y-180°$,所以$∠EHG+∠EFM=x+y+3x+3y-180°=4x+4y-180°$,无法判断是否为$90°$.
$3∠EHG-∠EFM=3(x+y)-(3x+3y-180°)=180°$,所以③错误,④正确.综上所述,正确的结论为①②④,故选 C.

【分析】
首先从已知的等角∠FMA=∠FGC出发，利用同位角相等判定AB//CD，验证结论①；对于折线处的角度关系，采用过拐点作平行线的常用辅助线方法，将待求角拆分为与已知倍角相关的小角，验证结论②；再通过设参数表示各已知角，结合平行线性质和三角形外角性质推导∠EFM的表达式，分别代入结论③、④判断是否成立即可。
【解析】
1. 验证结论①：
已知∠FMA=∠FGC，二者是同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可得$AB// CD$，故①正确。
2. 验证结论②：

如图①，过点H作$HQ// AB$，因为$AB// CD$，根据平行线的传递性可得$AB// HQ// CD$。
由“两直线平行，内错角相等”得：$∠ NEB=∠ EHQ$，$∠ QHG=∠ HGC$，因此$∠ EHG=∠ EHQ+∠ QHG=∠ NEB+∠ HGC$。
已知$∠ FEN=2∠ NEB$，$∠ FGH=2∠ HGC$，代入得$∠ EHG=\frac{1}{2}∠ FEN+\frac{1}{2}∠ FGH$，整理得$∠ FEN+∠ FGH=2∠ EHG$，故②正确。
3. 验证结论③、④：
设$∠ NEB=x$，$∠ HGC=y$，则$∠ FEN=2x$，$∠ FGH=2y$，由②的结论得$∠ EHG=x+y$。
如图②，过点F作$FP// AB$，因为$AB// CD$，所以$FP// AB// CD$。
根据三角形外角性质，$∠ BEF$是$△ FME$的外角，因此$∠ BEF=∠ EFM+∠ FME$，即$∠ EFM=∠ BEF-∠ FME$。
其中$∠ BEF=∠ FEN+∠ NEB=3x$，$∠ FME=∠ AMG=180°-∠ FGC=180°-(∠ FGH+∠ HGC)=180°-3y$，代入得：
$∠ EFM=3x-(180°-3y)=3x+3y-180°$。
代入结论③：$∠ EHG+∠ EFM=(x+y)+(3x+3y-180°)=4(x+y)-180°$，由于x、y的取值不确定，无法判断该式是否等于$90°$，故③错误。
代入结论④：$3∠ EHG-∠ EFM=3(x+y)-(3x+3y-180°)=180°$，故④正确。
综上，正确的结论为①②④，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的判定，平行线的性质，角度运算
【点评】
本题综合考查平行线相关的判定和性质，解题的关键是掌握拐点处作平行线的辅助线作法，通过设参数表示角度可以简化多角数量关系的推导，是平行线应用的典型综合题。
【难度系数】
0.6

12. 如图，AB//CD，E，F分别是AB，CD上的点，EH，FH分别是∠AEG和∠CFG的平分线.若∠EGF=112°,则∠EHF=°.

12. 124 【点拨】如图,过点 G 作$GM// AB$. 因为$AB// CD$,所以$CD// MG// AB$,所以$∠AEG+∠EGM=180°$,$∠CFG+∠FGM=180°$. 因为$∠EGF=∠MGF+∠MGE=112°$,所以$∠AEG+∠CFG=360°-112°=248°$. 因为 EH,FH 分别是$∠AEG$和$∠CFG$的平分线,所以$∠HEA+∠HFC=\frac{1}{2}(∠AEG+∠CFG)=124°$.
过点 H 作$HN// AB$. 因为$AB// CD$,所以$HN// AB// CD$,所以$∠HEA=∠EHN$,$∠HFC=∠FHN$,所以$∠EHF=∠EHN+∠FHN=∠HEA+∠HFC=124°$. 故答案为 124.

【分析】
当题目中两条平行线之间存在折线、拐角时，通常采用过拐点作平行线的方法，利用平行线的传递性建立已知角和未知角的关系。本题有G、H两个拐点，解题思路如下：第一步过点G作GM//AB，结合AB//CD可得GM//AB//CD，根据两直线平行、同旁内角互补，结合已知∠EGF的度数，求出∠AEG与∠CFG的和；第二步根据角平分线的定义，计算出∠HEA和∠HFC的和；第三步过点H作HN//AB，同理利用平行线内错角相等的性质，将∠EHF转化为∠HEA与∠HFC的和，即可求出结果。
【解析】
解：如图，过点G作$GM// AB$。
∵$AB// CD$，
∴$CD// MG// AB$，
∴$∠AEG+∠EGM=180°$，$∠CFG+∠FGM=180°$。
∵$∠EGF=∠MGF+∠MGE=112°$，
∴$∠AEG+∠CFG=360°-(∠MGF+∠MGE)=360°-112°=248°$。
∵EH，FH分别是$∠AEG$和$∠CFG$的平分线，
∴$∠HEA=\frac{1}{2}∠AEG$，$∠HFC=\frac{1}{2}∠CFG$，
∴$∠HEA+∠HFC=\frac{1}{2}(∠AEG+∠CFG)=\frac{1}{2}×248°=124°$。
过点H作$HN// AB$。
∵$AB// CD$，
∴$HN// AB// CD$，
∴$∠HEA=∠EHN$，$∠HFC=∠FHN$，
∴$∠EHF=∠EHN+∠FHN=∠HEA+∠HFC=124°$。

【答案】
124
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，平行公理推论
【点评】
本题是平行线性质应用的典型题型，核心解题技巧是过平行线间的拐点作辅助平行线，将拐角角度关系转化为平行线的内错角或同旁内角关系，结合角平分线性质即可求解，熟练掌握该辅助线作法可快速解决同类折线角度问题。
【难度系数】
0.6

13. 如图①为北斗七星的位置图，如图②，将北斗七星分别标为A,B,C,D,E,F,G，并首尾顺次连接，延长FG，恰好经过点A，且B,G,C在一条直线上，若AF//DE，∠B=∠C+9°，∠CDE=∠E=105°.
(1)求∠F的度数.
(2)∠B−∠CGF的度数是.
(3)连接AD，当∠ADE与∠CGF满足怎样的数量关系时，BC//AD？请说明理由.

13. 【解】(1)因为$AF// DE$,所以$∠F+∠E=180°$.
所以$∠F=180°-105°=75°$.
(2)114°
(3)当$∠ADE+∠CGF=180°$时,$BC// AD$. 理由：
因为$AF// DE$,所以$∠GAD+∠ADE=180°$.
因为$∠ADE+∠CGF=180°$,
所以$∠GAD=∠CGF$. 所以$BC// AD$.

【分析】
(1) 第一问已知AF//DE，要求∠F的度数，根据平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质，∠F与∠E互补，已知∠E=105°，代入计算即可求解。
(2) 第二问求∠B−∠CGF的度数，可结合平行线的性质，通过角的等量转化，结合已知∠B=∠C+9°、∠CDE=105°，消去中间量即可得到结果。
(3) 第三问探究BC//AD的条件，结合平行线的判定定理，利用已知AF//DE的性质推导角的关系，即可得到∠ADE与∠CGF需要满足的数量关系。
【解析】
(1) 解：
∵ $AF// DE$（已知），
∴ $∠F+∠E=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∵ $∠E=105°$，
∴ $∠F=180°-105°=75°$。
(2) 114°
(3) 当$∠ADE+∠CGF=180°$时，$BC// AD$，理由如下：
∵ $AF// DE$（已知），
∴ $∠GAD+∠ADE=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∵ $∠ADE+∠CGF=180°$（已知），
∴ $∠GAD=∠CGF$（同角的补角相等），
∴ $BC// AD$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{75°}$；(2) $\boldsymbol{114°}$；(3) 当$\boldsymbol{∠ADE+∠CGF=180°}$时，$BC// AD$，理由见解析。
【知识点】
平行线的性质，平行线的判定，角度计算
【点评】
本题结合北斗七星的情境考查平行线性质与判定的综合应用，解题时需要灵活转化平行线对应的角的数量关系，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65

14. ★★★ (1)已知直线$AB// CD$，点$P$为平行线$AB$，$CD$之间的一点，如图①，若$∠ ABP = 50°$，$∠ CDP=70°$，$BE$平分$∠ ABP$，$DE$平分$∠ CDP$，求$∠ BED$的度数；
(2)如图②，当点$P$在直线$AB$的上方时，若$∠ ABP = α$，$∠ CDP=β$，$∠ ABP$和$∠ CDP$的平分线交于点$E_1$，求$∠ E_1$的度数；若$∠ ABE_1$与$∠ CDE_1$的平分线交于点$E_2$，$∠ ABE_2$与$∠ CDE_2$的平分线交于点$E_3$……以此类推，求$∠ E_n$的度数；
(3)如图③，$∠ ABP$的平分线的反向延长线和$∠ CDP$的补角的平分线交于点$E$，请直接写出$∠ P$与$∠ E$的数量关系。

14. 【解】(1)如图①,过 E 作$EF// AB$,因为$AB// CD$,所以$AB// CD// EF$,所以$∠ABE=∠FEB$,$∠CDE=∠FED$,所以$∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠CDE$,因为$∠ABP=50°$,$∠CDP=70°$,BE 平分$∠ABP$,DE 平分$∠CDP$,所以$∠ABE=\frac{1}{2}∠ABP=25°$,$∠CDE=\frac{1}{2}∠CDP=35°$,所以$∠BED=25°+35°=60°$.

(2)如图②,因为$∠ABP$和$∠CDP$的平分线交于点$E_1$,所以$∠ABE_1=\frac{1}{2}∠ABP=\frac{1}{2}α$,$∠CDE_1=\frac{1}{2}∠CDP=\frac{1}{2}β$,因为$AB// CD$,所以$∠CDF=∠AFE_1=\frac{1}{2}β$,所以$∠E_1=180°-∠ABE_1-∠E_1FB=180°-∠ABE_1-(180°-∠AFE_1)=∠AFE_1-∠ABE_1=\frac{1}{2}β-\frac{1}{2}α=\frac{1}{2}(β-α)$. 因为$∠ABE_1$与$∠CDE_1$的平分线交于点$E_2$,所以$∠ABE_2=\frac{1}{2}∠ABE_1=\frac{1}{4}α$,$∠CDE_2=\frac{1}{2}∠CDE_1=\frac{1}{4}β$, 因为$AB// CD$,所以$∠CDG=∠AGE_2=\frac{1}{4}β$,所以$∠E_2=180°-∠ABE_2-∠E_2GB=180°-∠ABE_2-(180°-∠AGE_2)=∠AGE_2-∠ABE_2=\frac{1}{4}(β-α)$,同理可得,$∠E_3=\frac{1}{8}(β-α)$. 以此类推,$∠E_n$的度数为$\frac{1}{2^n}(β-α)$.
(3)$∠DEB=90°-\frac{1}{2}∠P$. 【点拨】如图③,过 E 作$EG// AB$,因为$AB// CD$,所以$AB// CD// EG$,所以$∠MBE=∠BEG$,$∠FDE=∠GED$,所以$∠DEB=∠BEG+∠DEG=∠MBE+∠FDE=∠ABQ+∠FDE$,因为$∠ABP$的平分线的反向延长线和$∠CDP$的补角的平分线交于点 E,所以$∠FDE=\frac{1}{2}∠PDF=\frac{1}{2}(180°-∠CDP)$,$∠ABQ=\frac{1}{2}∠ABP$,所以$∠DEB=\frac{1}{2}∠ABP+\frac{1}{2}(180°-∠CDP)=90°-\frac{1}{2}(∠CDP-∠ABP)$,因为$AB// CD$,所以$∠CDP=∠AHP$,易知$∠P=∠AHP-∠ABP$,所以$∠DEB=90°-\frac{1}{2}(∠CDP-∠ABP)=90°-\frac{1}{2}(∠AHP-∠ABP)=90°-\frac{1}{2}∠P$.

【分析】
(1) 第一问属于平行线间的拐点问题，过拐点E作AB的平行线，利用平行线内错角相等的性质，可将∠BED拆分为两个角的和，再结合角平分线的定义计算两个小角的度数，求和即可得到结果。
(2) 第二问点P在AB上方，先利用平行线同位角相等的性质，将∠CDP的一半转化为AB上方的同位角，再结合三角形内角和的性质推导得到∠E₁为∠CDP与∠ABP差的一半；每次作角平分线都会将两个对应角的度数缩小为原来的$\frac{1}{2}$，因此两角的差也会缩小为原来的$\frac{1}{2}$，以此类推可归纳出∠Eₙ的通用表达式。
(3) 第三问仍过E作AB的平行线，将∠E拆分为两个角的和，结合角平分线、补角的定义表示出这两个角，再利用平行线性质和三角形外角性质推导∠P与∠CDP、∠ABP的差的关系，代入整理即可得到∠P与∠E的数量关系。
【解析】
(1) 如图①，过E作$EF// AB$，因为$AB// CD$，所以$AB// CD// EF$，根据平行线内错角相等，可得$∠ABE=∠FEB$，$∠CDE=∠FED$，因此$∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠CDE$。
已知$∠ABP=50°$，$∠CDP=70°$，BE平分$∠ABP$，DE平分$∠CDP$，所以$∠ABE=\frac{1}{2}∠ABP=25°$，$∠CDE=\frac{1}{2}∠CDP=35°$，代入得$∠BED=25°+35°=60°$。

(2) 如图②，因为$∠ABP$和$∠CDP$的平分线交于点$E_1$，所以$∠ABE_1=\frac{1}{2}∠ABP=\frac{1}{2}α$，$∠CDE_1=\frac{1}{2}∠CDP=\frac{1}{2}β$。
因为$AB// CD$，根据平行线同位角相等，可得$∠CDF=∠AFE_1=\frac{1}{2}β$。在$△ E_1FB$中，$∠E_1=180°-∠ABE_1-∠E_1FB$，而$∠E_1FB=180°-∠AFE_1$，代入得$∠E_1=180°-∠ABE_1-(180°-∠AFE_1)=∠AFE_1-∠ABE_1=\frac{1}{2}β-\frac{1}{2}α=\frac{1}{2}(β-α)$。
因为$∠ABE_1$与$∠CDE_1$的平分线交于点$E_2$，所以$∠ABE_2=\frac{1}{2}∠ABE_1=\frac{1}{4}α$，$∠CDE_2=\frac{1}{2}∠CDE_1=\frac{1}{4}β$，同理可得$∠E_2=\frac{1}{4}(β-α)$，$∠E_3=\frac{1}{8}(β-α)$，以此类推，$∠E_n=\frac{1}{2^n}(β-α)$。
(3) 如图③，过E作$EG// AB$，因为$AB// CD$，所以$AB// CD// EG$，根据平行线内错角相等，可得$∠MBE=∠BEG$，$∠FDE=∠GED$，因此$∠DEB=∠BEG+∠DEG=∠MBE+∠FDE=∠ABQ+∠FDE$。
因为$∠ABP$的平分线的反向延长线和$∠CDP$的补角的平分线交于点E，所以$∠FDE=\frac{1}{2}∠PDF=\frac{1}{2}(180°-∠CDP)$，$∠ABQ=\frac{1}{2}∠ABP$，代入得$∠DEB=\frac{1}{2}∠ABP+\frac{1}{2}(180°-∠CDP)=90°-\frac{1}{2}(∠CDP-∠ABP)$。
因为$AB// CD$，所以$∠CDP=∠AHP$，根据三角形外角性质，$∠P=∠AHP-∠ABP=∠CDP-∠ABP$，代入上式得$∠DEB=90°-\frac{1}{2}∠P$。
【答案】
(1) $\boxed{60°}$
(2) $∠E_1=\boxed{\frac{1}{2}(β-α)}$，$∠E_n=\boxed{\frac{1}{2^n}(β-α)}$
(3) $\boxed{∠E=90°-\frac{1}{2}∠P}$

【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，规律探究
【点评】
本题是平行线性质与角平分线、规律探究结合的综合题，核心解题方法是过拐点作平行线实现角的转化，第二问需要从特殊到一般归纳规律，第三问需要结合补角、三角形外角的性质推导角的关系，能有效训练几何逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.5