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1. 圆柱问题
如图1所示，一个圆柱体高为20 cm，底面半径为6.7 cm，在圆柱体下底面的A点有一只蚂蚁，想吃到与A点相对的上底面B点的一只已被粘住的苍蝇，这只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬到B点，最短路线约为多长？（π取3.14）
思路点拨:首先要明确在底面圆周上点A到点C的长度是底面圆周长的一半，将圆柱侧面展开后，B，C是展开后长方形的两边的中点，如图2所示，利用“两点之间线段最短”，构造直角三角形，然后利用勾股定理来解决问题。
请你计算最短路线长是否约为29 cm。
如图1所示，一个圆柱体高为20 cm，底面半径为6.7 cm，在圆柱体下底面的A点有一只蚂蚁，想吃到与A点相对的上底面B点的一只已被粘住的苍蝇，这只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬到B点，最短路线约为多长？（π取3.14）
思路点拨:首先要明确在底面圆周上点A到点C的长度是底面圆周长的一半，将圆柱侧面展开后，B，C是展开后长方形的两边的中点，如图2所示，利用“两点之间线段最短”，构造直角三角形，然后利用勾股定理来解决问题。
请你计算最短路线长是否约为29 cm。
答案
解：
将圆柱侧面沿过点A的母线展开，连接AB，线段AB即为蚂蚁爬行的最短路径。
由题意得：
BC的长度等于圆柱的高，即$BC=20\ \mathrm{cm}$，
AC的长度为底面圆周长的一半：
$AC=\frac{1}{2}×2π r=π r\approx3.14×6.7\approx21.04\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2\approx21.04^2+20^2\approx442.7+400=842.7$
因此$AB\approx\sqrt{842.7}\approx29\ \mathrm{cm}$。
答：最短路线长约为29 cm，计算结果符合判断。
将圆柱侧面沿过点A的母线展开，连接AB，线段AB即为蚂蚁爬行的最短路径。
由题意得：
BC的长度等于圆柱的高，即$BC=20\ \mathrm{cm}$，
AC的长度为底面圆周长的一半：
$AC=\frac{1}{2}×2π r=π r\approx3.14×6.7\approx21.04\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2\approx21.04^2+20^2\approx442.7+400=842.7$
因此$AB\approx\sqrt{842.7}\approx29\ \mathrm{cm}$。
答：最短路线长约为29 cm，计算结果符合判断。
解析
【分析】
要解决圆柱表面蚂蚁爬行的最短路径问题，需先将曲面问题转化为平面问题，利用“两点之间线段最短”确定最短路径。首先将圆柱侧面沿过A点的母线展开得到长方形，连接A、B两点，所得线段就是最短路径；再明确展开后直角三角形的两条直角边长度：竖直边BC等于圆柱的高，水平边AC等于底面圆周长的一半；最后在直角三角形中用勾股定理计算AB的长度，验证是否约为29cm即可。
【解析】
解：将圆柱侧面沿过点A的母线展开，连接AB，根据“两点之间线段最短”，线段AB即为蚂蚁爬行的最短路径。
由题意得：
BC的长度等于圆柱的高，即$BC=20\ \mathrm{cm}$，
AC的长度为底面圆周长的一半：
$AC=\frac{1}{2}×2π r=π r\approx3.14×6.7\approx21.04\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2\approx21.04^2+20^2\approx442.7+400=842.7$
因此$AB\approx\sqrt{842.7}\approx29\ \mathrm{cm}$。
【答案】
最短路线长约为29 cm，计算结果符合判断。
【知识点】
圆柱侧面展开图；勾股定理；最短路径问题
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的典型题型，核心是通过侧面展开将曲面问题转化为平面几何问题，结合勾股定理求解，体现了转化的数学思想，能有效锻炼空间想象能力。
【难度系数】
0.7
要解决圆柱表面蚂蚁爬行的最短路径问题，需先将曲面问题转化为平面问题，利用“两点之间线段最短”确定最短路径。首先将圆柱侧面沿过A点的母线展开得到长方形，连接A、B两点，所得线段就是最短路径；再明确展开后直角三角形的两条直角边长度：竖直边BC等于圆柱的高，水平边AC等于底面圆周长的一半；最后在直角三角形中用勾股定理计算AB的长度，验证是否约为29cm即可。
【解析】
解：将圆柱侧面沿过点A的母线展开，连接AB，根据“两点之间线段最短”，线段AB即为蚂蚁爬行的最短路径。
由题意得：
BC的长度等于圆柱的高，即$BC=20\ \mathrm{cm}$，
AC的长度为底面圆周长的一半：
$AC=\frac{1}{2}×2π r=π r\approx3.14×6.7\approx21.04\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2\approx21.04^2+20^2\approx442.7+400=842.7$
因此$AB\approx\sqrt{842.7}\approx29\ \mathrm{cm}$。
【答案】
最短路线长约为29 cm，计算结果符合判断。
【知识点】
圆柱侧面展开图；勾股定理；最短路径问题
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的典型题型，核心是通过侧面展开将曲面问题转化为平面几何问题，结合勾股定理求解，体现了转化的数学思想，能有效锻炼空间想象能力。
【难度系数】
0.7
2.台阶问题
如图3是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为55 cm，10 cm，6 cm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点处有一只蚂蚁，那么这只蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是多少？
思路点拨：因为蚂蚁从点A爬到点B要经过台阶所有的平面，所以可把这个台阶展开成一个平面，如图4所示，通过构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题。
也请你算一算，蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是不是73 cm。
如图3是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为55 cm，10 cm，6 cm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点处有一只蚂蚁，那么这只蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是多少？
思路点拨：因为蚂蚁从点A爬到点B要经过台阶所有的平面，所以可把这个台阶展开成一个平面，如图4所示，通过构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题。
也请你算一算，蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是不是73 cm。
答案
解：将台阶的所有面展开为同一平面，得到直角三角形ABC。
其中竖直直角边AC的长度为：$3×(10+6)=48\ \mathrm{cm}$
水平直角边BC的长度等于台阶的长，即$BC=55\ \mathrm{cm}$
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2=48^2+55^2=2304+3025=5329$
又$73^2=5329$，因此$AB=73\ \mathrm{cm}$。
答：这只蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是73 cm，最短路程确实为73 cm。
其中竖直直角边AC的长度为：$3×(10+6)=48\ \mathrm{cm}$
水平直角边BC的长度等于台阶的长，即$BC=55\ \mathrm{cm}$
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2=48^2+55^2=2304+3025=5329$
又$73^2=5329$，因此$AB=73\ \mathrm{cm}$。
答：这只蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是73 cm，最短路程确实为73 cm。
解析
【分析】
要解决蚂蚁在台阶上爬行的最短路程问题，首先依据“两点之间，线段最短”的原理，需要将立体的台阶表面展开到同一个平面内，此时A、B两点的线段长度就是最短路径。展开后A、B可看作直角三角形的两个顶点，先分别算出直角三角形两条直角边的长度，再利用勾股定理求出斜边AB的长度，最后和73cm对比验证即可。
【解析】
解：将台阶的所有面展开为同一平面，得到直角三角形ABC。
竖直直角边AC的长度为三级台阶的高度与宽度之和，即：
$AC=3×(10+6)=48\ \mathrm{cm}$
水平直角边BC的长度等于台阶的长，即$BC=55\ \mathrm{cm}$
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2=48^2+55^2=2304+3025=5329$
又$73^2=5329$，因此$AB=73\ \mathrm{cm}$。
【答案】
蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是73 cm，最短路程确实为73 cm。
【知识点】
平面展开最短路径；勾股定理；两点之间线段最短
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型应用题，解题核心是将立体图形转化为平面图形，把路径问题转化为直角三角形的边长计算问题，计算时要准确合并展开后直角边的总长度，避免出现边长计算错误。
【难度系数】
0.7
要解决蚂蚁在台阶上爬行的最短路程问题，首先依据“两点之间，线段最短”的原理，需要将立体的台阶表面展开到同一个平面内，此时A、B两点的线段长度就是最短路径。展开后A、B可看作直角三角形的两个顶点，先分别算出直角三角形两条直角边的长度，再利用勾股定理求出斜边AB的长度，最后和73cm对比验证即可。
【解析】
解：将台阶的所有面展开为同一平面，得到直角三角形ABC。
竖直直角边AC的长度为三级台阶的高度与宽度之和，即：
$AC=3×(10+6)=48\ \mathrm{cm}$
水平直角边BC的长度等于台阶的长，即$BC=55\ \mathrm{cm}$
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2=48^2+55^2=2304+3025=5329$
又$73^2=5329$，因此$AB=73\ \mathrm{cm}$。
【答案】
蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是73 cm，最短路程确实为73 cm。
【知识点】
平面展开最短路径；勾股定理；两点之间线段最短
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型应用题，解题核心是将立体图形转化为平面图形，把路径问题转化为直角三角形的边长计算问题，计算时要准确合并展开后直角边的总长度，避免出现边长计算错误。
【难度系数】
0.7
