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相似三角形的性质定理2
相似三角形的面积比等于
相似三角形的面积比等于
相似比的平方
.答案
相似比的平方
解析
【分析】
解题时可从相似三角形的对应线段比例关系结合三角形面积公式推导：首先明确相似三角形对应边的比、对应边上高的比都等于相似比，再结合三角形面积等于底与高乘积的一半，计算两个相似三角形的面积比即可推导出结论；也可直接回忆相似三角形的性质定理内容直接作答。
【解析】
设两个相似三角形的相似比为$k$，根据相似三角形的性质可知：两个三角形的对应边的比为$k$，对应边上的高的比也为$k$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2} × 底 × 高$，可得两个相似三角形的面积比为：
$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{1}{2} × a_1 × h_1}{\frac{1}{2} × a_2 × h_2}=\frac{a_1}{a_2} × \frac{h_1}{h_2}=k × k=k^2$
因此相似三角形的面积比等于相似比的平方。
【答案】
相似比的平方
【知识点】
1. 相似三角形的性质
2. 三角形面积计算
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对相似三角形性质的识记与理解，是解决相似相关几何计算、证明题的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
解题时可从相似三角形的对应线段比例关系结合三角形面积公式推导：首先明确相似三角形对应边的比、对应边上高的比都等于相似比，再结合三角形面积等于底与高乘积的一半，计算两个相似三角形的面积比即可推导出结论；也可直接回忆相似三角形的性质定理内容直接作答。
【解析】
设两个相似三角形的相似比为$k$，根据相似三角形的性质可知：两个三角形的对应边的比为$k$，对应边上的高的比也为$k$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2} × 底 × 高$，可得两个相似三角形的面积比为：
$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{1}{2} × a_1 × h_1}{\frac{1}{2} × a_2 × h_2}=\frac{a_1}{a_2} × \frac{h_1}{h_2}=k × k=k^2$
因此相似三角形的面积比等于相似比的平方。
【答案】
相似比的平方
【知识点】
1. 相似三角形的性质
2. 三角形面积计算
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对相似三角形性质的识记与理解，是解决相似相关几何计算、证明题的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
【例】如图,在$△ ABC$中,点$D,E$分别在边$AB,AC$上,若$DE// BC,DE=2,BC=3,AE=3.$
(1)求$AC$的值.
(2)若$△ ADE$的面积为20,求$△ ABC$的面积.
(1)求$AC$的值.
(2)若$△ ADE$的面积为20,求$△ ABC$的面积.
答案
解:(1)$\because DE// BC$,
$\therefore △ ADE∽ △ ABC$,
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$,即$\frac{3}{AC}=\frac{2}{3}$,
$\therefore AC=\frac{9}{2}$.
(2)$\because △ ADE∽ △ ABC$,
$\therefore \frac{S_{△ ABC}}{S_{△ ADE}}=(\frac{BC}{DE})^2=\frac{9}{4}$,
$\because △ ADE$的面积为20,
$\therefore S_{△ ABC}=20× \frac{9}{4}=45$.
$\therefore △ ADE∽ △ ABC$,
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$,即$\frac{3}{AC}=\frac{2}{3}$,
$\therefore AC=\frac{9}{2}$.
(2)$\because △ ADE∽ △ ABC$,
$\therefore \frac{S_{△ ABC}}{S_{△ ADE}}=(\frac{BC}{DE})^2=\frac{9}{4}$,
$\because △ ADE$的面积为20,
$\therefore S_{△ ABC}=20× \frac{9}{4}=45$.
解析
【分析】
解题思路：(1)首先看到$DE// BC$的条件，可利用相似三角形的判定定理得到$△ ADE$和$△ ABC$相似，再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的边长列出比例式，即可求解$AC$的长度；(2)利用相似三角形的面积比等于相似比的平方这一性质，结合已知的$△ ADE$的面积，就能求出$△ ABC$的面积。
【解析】
(1) $\because DE// BC$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，将$DE=2,BC=3,AE=3$代入得$\frac{3}{AC}=\frac{2}{3}$，
$\therefore AC=\frac{9}{2}$。
(2) $\because △ ADE ∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{S_{△ ABC}}{S_{△ ADE}}=(\frac{BC}{DE})^2=\frac{9}{4}$，
$\because △ ADE$的面积为20，
$\therefore S_{△ ABC}=20× \frac{9}{4}=45$。
【答案】
(1) $AC=\frac{9}{2}$；(2) $△ ABC$的面积为$45$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形对应边成比例；相似三角形面积比性质
【点评】
本题属于相似三角形应用的基础题，解题关键是先由平行线判定三角形相似，再结合相似三角形的边、面积相关性质代入计算即可。
【难度系数】
0.8
解题思路：(1)首先看到$DE// BC$的条件，可利用相似三角形的判定定理得到$△ ADE$和$△ ABC$相似，再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的边长列出比例式，即可求解$AC$的长度；(2)利用相似三角形的面积比等于相似比的平方这一性质，结合已知的$△ ADE$的面积，就能求出$△ ABC$的面积。
【解析】
(1) $\because DE// BC$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，将$DE=2,BC=3,AE=3$代入得$\frac{3}{AC}=\frac{2}{3}$，
$\therefore AC=\frac{9}{2}$。
(2) $\because △ ADE ∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{S_{△ ABC}}{S_{△ ADE}}=(\frac{BC}{DE})^2=\frac{9}{4}$，
$\because △ ADE$的面积为20，
$\therefore S_{△ ABC}=20× \frac{9}{4}=45$。
【答案】
(1) $AC=\frac{9}{2}$；(2) $△ ABC$的面积为$45$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形对应边成比例；相似三角形面积比性质
【点评】
本题属于相似三角形应用的基础题，解题关键是先由平行线判定三角形相似，再结合相似三角形的边、面积相关性质代入计算即可。
【难度系数】
0.8
【变式1】(2025沧州期末)若$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，且相似比为$2:3$，则$△ ABC$与$△ A'B'C'$的面积比为（
A.$2:3$
B.$3:2$
C.$4:9$
D.$9:4$
C
）A.$2:3$
B.$3:2$
C.$4:9$
D.$9:4$
答案
C
解析
【分析】
本题考查相似三角形的性质应用，解题思路如下：首先回忆相似三角形的核心性质，明确相似三角形的面积比等于相似比的平方这一规律；其次确认题干中相似比的前后对应关系，本题是△ABC与△A'B'C'的相似比为2:3，无需调换比例顺序；最后将相似比做平方运算即可得到面积比，对照选项选出答案即可，解题时注意不要混淆周长比（等于相似比）和面积比的规律，也不要写反比例前后项。
【解析】
解：已知$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，二者的相似比为$2:3$，
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，
可得$△ ABC$与$△ A'B'C'$的面积比为$(2:3)^2=2^2:3^2=4:9$。
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
1.相似三角形的性质
2.面积比与相似比的关系
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查相似三角形面积比和相似比的对应关系，解题时需注意区分周长比、面积比与相似比的关系，同时看清两个三角形的先后顺序，避免因粗心选错答案。
【难度系数】
0.8
本题考查相似三角形的性质应用，解题思路如下：首先回忆相似三角形的核心性质，明确相似三角形的面积比等于相似比的平方这一规律；其次确认题干中相似比的前后对应关系，本题是△ABC与△A'B'C'的相似比为2:3，无需调换比例顺序；最后将相似比做平方运算即可得到面积比，对照选项选出答案即可，解题时注意不要混淆周长比（等于相似比）和面积比的规律，也不要写反比例前后项。
【解析】
解：已知$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，二者的相似比为$2:3$，
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，
可得$△ ABC$与$△ A'B'C'$的面积比为$(2:3)^2=2^2:3^2=4:9$。
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
1.相似三角形的性质
2.面积比与相似比的关系
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查相似三角形面积比和相似比的对应关系，解题时需注意区分周长比、面积比与相似比的关系，同时看清两个三角形的先后顺序，避免因粗心选错答案。
【难度系数】
0.8
【变式2】如果$△ ABC ∽ △ DEF$，$△ ABC$与$△ DEF$的面积分别是25和36，其中$△ ABC$的最短边的长度是5，那么$△ DEF$的最短边的长度是（
A.16
B.25
C.5
D.6
D
）A.16
B.25
C.5
D.6
答案
D
解析
【分析】
本题考查相似三角形性质的应用，解题思路如下：首先明确相似三角形的面积比等于相似比的平方，而相似三角形对应边的比等于相似比；第一步先计算两个三角形的面积比，第二步由面积比求出相似比，第三步结合已知的△ABC最短边长度，利用对应边成比例即可求出△DEF的最短边长度，注意相似比的前后对应顺序要和三角形的对应顺序一致。
【解析】
解：
∵ △ABC ∽ △DEF，且$S_{△ABC}=25$，$S_{△DEF}=36$
∴ 两个三角形的面积比为 $S_{△ABC}:S_{△DEF}=25:36$
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方
∴ △ABC与△DEF的相似比$k=\sqrt{\frac{25}{36}}=\frac{5}{6}$
又
∵ 相似三角形对应边的比等于相似比，设△DEF的最短边长度为x
∴ △ABC的最短边 : △DEF的最短边$=k=5:6$
代入已知△ABC最短边为5，得：$5:x=5:6$
解得$x=6$
【答案】
D
【知识点】
1. 相似三角形面积比与相似比的关系
2. 相似三角形对应边成比例
【点评】
本题属于基础题型，核心考查相似三角形基本性质的应用，解题的关键是牢记相似三角形面积比和相似比的关系，同时注意对应边的比例顺序不要颠倒，熟练掌握性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题考查相似三角形性质的应用，解题思路如下：首先明确相似三角形的面积比等于相似比的平方，而相似三角形对应边的比等于相似比；第一步先计算两个三角形的面积比，第二步由面积比求出相似比，第三步结合已知的△ABC最短边长度，利用对应边成比例即可求出△DEF的最短边长度，注意相似比的前后对应顺序要和三角形的对应顺序一致。
【解析】
解：
∵ △ABC ∽ △DEF，且$S_{△ABC}=25$，$S_{△DEF}=36$
∴ 两个三角形的面积比为 $S_{△ABC}:S_{△DEF}=25:36$
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方
∴ △ABC与△DEF的相似比$k=\sqrt{\frac{25}{36}}=\frac{5}{6}$
又
∵ 相似三角形对应边的比等于相似比，设△DEF的最短边长度为x
∴ △ABC的最短边 : △DEF的最短边$=k=5:6$
代入已知△ABC最短边为5，得：$5:x=5:6$
解得$x=6$
【答案】
D
【知识点】
1. 相似三角形面积比与相似比的关系
2. 相似三角形对应边成比例
【点评】
本题属于基础题型，核心考查相似三角形基本性质的应用，解题的关键是牢记相似三角形面积比和相似比的关系，同时注意对应边的比例顺序不要颠倒，熟练掌握性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
1. (2025 无锡期末)已知$△ ABC ∽ △ DEF$，且相似比为$1:2$，则$△ ABC$与$△ DEF$的面积比为（
A.$1:2$
B.$1:3$
C.$1:4$
D.$4:1$
C
）A.$1:2$
B.$1:3$
C.$1:4$
D.$4:1$
答案
C
解析
【分析】
拿到题目首先提取已知条件：△ABC与△DEF相似，相似比为1:2，要求两者的面积比。此时需要回忆相似三角形的相关性质，注意区分不同比值的规律：相似三角形的周长比、对应线段比等于相似比，而面积比等于相似比的平方，不要混淆两个规律。接下来直接套用面积比的规律计算即可得到答案。
【解析】
解：
∵△ABC ∽ △DEF，且相似比为1:2，
又
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴△ABC与△DEF的面积比为$(1:2)^2=1:4$，
故选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查相似三角形面积比与相似比的关系，解题的关键是熟记相关性质，避免将面积比的规律和周长比的规律混淆。
【难度系数】
0.9
拿到题目首先提取已知条件：△ABC与△DEF相似，相似比为1:2，要求两者的面积比。此时需要回忆相似三角形的相关性质，注意区分不同比值的规律：相似三角形的周长比、对应线段比等于相似比，而面积比等于相似比的平方，不要混淆两个规律。接下来直接套用面积比的规律计算即可得到答案。
【解析】
解：
∵△ABC ∽ △DEF，且相似比为1:2，
又
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴△ABC与△DEF的面积比为$(1:2)^2=1:4$，
故选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查相似三角形面积比与相似比的关系，解题的关键是熟记相关性质，避免将面积比的规律和周长比的规律混淆。
【难度系数】
0.9
2.若两个相似三角形的面积之比为$4:9$，则它们的对应的角平分线之比为（
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{\sqrt{6}}{3}$
D.$\frac{\sqrt{6}}{2}$
A
）A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{\sqrt{6}}{3}$
D.$\frac{\sqrt{6}}{2}$
答案
A
解析
【分析】
解题时先回忆相似三角形的相关性质：首先相似三角形的面积比等于相似比的平方，我们可以先通过已知的面积比求出两个三角形的相似比；其次相似三角形的对应角平分线属于对应线段，对应线段的比等于相似比，即可求出对应角平分线的比值。
【解析】
设这两个相似三角形的相似比为$k$，
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$k^2=\frac{4}{9}$
因为相似比为正数，所以解得$k=\frac{2}{3}$
又因为相似三角形对应角平分线的比等于相似比，因此它们对应的角平分线之比为$\frac{2}{3}$。
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1.相似三角形面积比性质
2.相似三角形对应线段比性质
【点评】
本题是对相似三角形基本性质的直接考察，属于基础题型，解题的关键是熟记相似比与面积比、对应线段比的关系，避免混淆面积比和相似比的平方对应关系。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆相似三角形的相关性质：首先相似三角形的面积比等于相似比的平方，我们可以先通过已知的面积比求出两个三角形的相似比；其次相似三角形的对应角平分线属于对应线段，对应线段的比等于相似比，即可求出对应角平分线的比值。
【解析】
设这两个相似三角形的相似比为$k$，
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$k^2=\frac{4}{9}$
因为相似比为正数，所以解得$k=\frac{2}{3}$
又因为相似三角形对应角平分线的比等于相似比，因此它们对应的角平分线之比为$\frac{2}{3}$。
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1.相似三角形面积比性质
2.相似三角形对应线段比性质
【点评】
本题是对相似三角形基本性质的直接考察，属于基础题型，解题的关键是熟记相似比与面积比、对应线段比的关系，避免混淆面积比和相似比的平方对应关系。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC上的点,DE//BC,若AD:DB=2:1,S表示面积,C表示周长.则下列结论正确的是（
A.$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$
B.$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$
C.$\frac{S_{△ ADE}}{S_{四边形DECB}}=\frac{4}{9}$
D.$\frac{C_{△ ADE}}{C_{△ ABC}}=\frac{2}{3}$
D
）A.$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$
B.$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$
C.$\frac{S_{△ ADE}}{S_{四边形DECB}}=\frac{4}{9}$
D.$\frac{C_{△ ADE}}{C_{△ ABC}}=\frac{2}{3}$
答案
D
解析
【分析】
由DE//BC可判定△ADE与△ABC相似，首先根据AD:DB=2:1求出两个三角形的相似比，再结合相似三角形的性质：对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，逐一分析每个选项即可选出正确答案。
【解析】
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC
已知AD:DB=2:1，即AD占2份，DB占1份，
∴AB=AD+DB=3份，可得相似比$k=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$
选项A：相似三角形对应边成比例，$\frac{AE}{AC}=k=\frac{2}{3}≠\frac{1}{2}$，A错误；
选项B：相似三角形对应边成比例，$\frac{DE}{BC}=k=\frac{2}{3}≠\frac{1}{2}$，B错误；
选项C：相似三角形面积比等于相似比的平方，因此$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=k^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，设$S_{△ADE}=4a$，则$S_{△ABC}=9a$，$S_{四边形DECB}=9a-4a=5a$，因此$\frac{S_{△ADE}}{S_{四边形DECB}}=\frac{4a}{5a}=\frac{4}{5}≠\frac{4}{9}$，C错误；
选项D：相似三角形周长比等于相似比，因此$\frac{C_{△ADE}}{C_{△ABC}}=k=\frac{2}{3}$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题核心是先准确求出相似比，注意区分周长比和面积比的规律，同时计算四边形面积占比时不要错把三角形总面积当成四边形面积计算。
【难度系数】
0.7
由DE//BC可判定△ADE与△ABC相似，首先根据AD:DB=2:1求出两个三角形的相似比，再结合相似三角形的性质：对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，逐一分析每个选项即可选出正确答案。
【解析】
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC
已知AD:DB=2:1，即AD占2份，DB占1份，
∴AB=AD+DB=3份，可得相似比$k=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$
选项A：相似三角形对应边成比例，$\frac{AE}{AC}=k=\frac{2}{3}≠\frac{1}{2}$，A错误；
选项B：相似三角形对应边成比例，$\frac{DE}{BC}=k=\frac{2}{3}≠\frac{1}{2}$，B错误；
选项C：相似三角形面积比等于相似比的平方，因此$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=k^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，设$S_{△ADE}=4a$，则$S_{△ABC}=9a$，$S_{四边形DECB}=9a-4a=5a$，因此$\frac{S_{△ADE}}{S_{四边形DECB}}=\frac{4a}{5a}=\frac{4}{5}≠\frac{4}{9}$，C错误；
选项D：相似三角形周长比等于相似比，因此$\frac{C_{△ADE}}{C_{△ABC}}=k=\frac{2}{3}$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题核心是先准确求出相似比，注意区分周长比和面积比的规律，同时计算四边形面积占比时不要错把三角形总面积当成四边形面积计算。
【难度系数】
0.7
4. (2025山东月考)如图，四边形ABCD为平行四边形，CE:EF:FD=1:2:1，AE,BF相交于点G.设△EFG和△ABG的面积分别为$S_{△ EFG},S_{△ ABG}$，则$S_{△ EFG}:S_{△ ABG}=$（
A.$1:2$
B.$1:3$
C.$4:9$
D.$1:4$
D
）A.$1:2$
B.$1:3$
C.$4:9$
D.$1:4$
答案
D
解析
【分析】
首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合给出的线段比例关系求出EF与AB的长度比；再根据平行线的内错角相等证明△EFG和△ABG相似，最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，即可求出两个三角形的面积比。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB=CD$。
设$CE=k$，由$CE:EF:FD=1:2:1$可得：$EF=2k$，$FD=k$，
∴$CD=CE+EF+FD=k+2k+k=4k$，
∴$AB=CD=4k$，则$\frac{EF}{AB}=\frac{2k}{4k}=\frac{1}{2}$。
∵$AB// CD$，
∴$∠ FEG=∠ BAG$，$∠ EFG=∠ ABG$，
∴$△ EFG ∽ △ ABG$，
∴$\frac{S_{△ EFG}}{S_{△ ABG}}=(\frac{EF}{AB})^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，
即$S_{△ EFG}:S_{△ ABG}=1:4$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础题，解题的核心是找到两个三角形的相似比，熟练掌握平行四边形和相似三角形的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合给出的线段比例关系求出EF与AB的长度比；再根据平行线的内错角相等证明△EFG和△ABG相似，最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，即可求出两个三角形的面积比。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB=CD$。
设$CE=k$，由$CE:EF:FD=1:2:1$可得：$EF=2k$，$FD=k$，
∴$CD=CE+EF+FD=k+2k+k=4k$，
∴$AB=CD=4k$，则$\frac{EF}{AB}=\frac{2k}{4k}=\frac{1}{2}$。
∵$AB// CD$，
∴$∠ FEG=∠ BAG$，$∠ EFG=∠ ABG$，
∴$△ EFG ∽ △ ABG$，
∴$\frac{S_{△ EFG}}{S_{△ ABG}}=(\frac{EF}{AB})^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，
即$S_{△ EFG}:S_{△ ABG}=1:4$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础题，解题的核心是找到两个三角形的相似比，熟练掌握平行四边形和相似三角形的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
