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6.如图,已知$△ ABC ∽ △ BDC$,E,F分别为AC,BC的中点,且$AC=6$,$BC=4$,$BE=3$,求DF的长.
答案
6. 解:$\because △ABC ∽ △BDC$,E,F分别为AC,BC的中点,
$\therefore \frac{BE}{DF}=\frac{AC}{BC}$,即$\frac{3}{DF}=\frac{6}{4}$,$\therefore DF=2$.
$\therefore \frac{BE}{DF}=\frac{AC}{BC}$,即$\frac{3}{DF}=\frac{6}{4}$,$\therefore DF=2$.
解析
【分析】
解题时首先梳理已知条件：题目给出△ABC∽△BDC，E、F分别是AC、BC的中点，可知BE是△ABC中AC边上的中线，DF是△BDC中BC边上的中线。回忆相似三角形的性质：相似三角形对应中线的比等于相似比，先确定两个三角形的相似比为AC:BC，再结合已知的BE、AC、BC的长度，列出比例式即可求解DF的长度。
【解析】
解：
∵△ABC∽△BDC，E、F分别为AC、BC的中点，
∴BE是△ABC的AC边上的中线，DF是△BDC的BC边上的中线，
根据相似三角形对应中线的比等于相似比，可得：
$\frac{BE}{DF}=\frac{AC}{BC}$
将$BE=3$，$AC=6$，$BC=4$代入得：
$\frac{3}{DF}=\frac{6}{4}$
交叉相乘得：$6DF=3×4$
解得$DF=2$
【答案】
$DF=2$
【知识点】
相似三角形性质，比例计算，中线定义
【点评】
本题属于基础的相似三角形应用类题目，解题核心是准确识别相似三角形的对应中线，利用相似三角形对应线段的比等于相似比建立比例式，代入数值计算即可得到结果，重点考查对相似三角形性质的理解和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先梳理已知条件：题目给出△ABC∽△BDC，E、F分别是AC、BC的中点，可知BE是△ABC中AC边上的中线，DF是△BDC中BC边上的中线。回忆相似三角形的性质：相似三角形对应中线的比等于相似比，先确定两个三角形的相似比为AC:BC，再结合已知的BE、AC、BC的长度，列出比例式即可求解DF的长度。
【解析】
解：
∵△ABC∽△BDC，E、F分别为AC、BC的中点，
∴BE是△ABC的AC边上的中线，DF是△BDC的BC边上的中线，
根据相似三角形对应中线的比等于相似比，可得：
$\frac{BE}{DF}=\frac{AC}{BC}$
将$BE=3$，$AC=6$，$BC=4$代入得：
$\frac{3}{DF}=\frac{6}{4}$
交叉相乘得：$6DF=3×4$
解得$DF=2$
【答案】
$DF=2$
【知识点】
相似三角形性质，比例计算，中线定义
【点评】
本题属于基础的相似三角形应用类题目，解题核心是准确识别相似三角形的对应中线，利用相似三角形对应线段的比等于相似比建立比例式，代入数值计算即可得到结果，重点考查对相似三角形性质的理解和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
7.如图,在△ABC中,BC=120,高AD=60,正方形EFGH的边HG在BC上,点E,F分别在AB,AC上,AD交EF于点N,则AN的长为（
A.15
B.20
C.25
D.30
B
）A.15
B.20
C.25
D.30
答案
7. B
解析
【分析】
遇到三角形中内接平行于底边的线段的问题，首先考虑利用相似三角形求解。本题中正方形EFGH的边EF平行于BC，可推出△AEF与△ABC相似，相似三角形的对应高的比等于相似比。我们可以设AN的长度为x，用含x的式子表示出正方形的边长（即EF的长度），再根据相似比列方程求解即可。
【解析】
设AN的长为$ x $。
∵ 四边形EFGH是正方形，
∴ $ EF// BC $，$ EF = ND $，
∵ AD是△ABC的高，
∴ $ ND = AD - AN = 60 - x $，即$ EF = 60 - x $。
又
∵ $ EF// BC $，
∴ $ △ AEF ∽ △ ABC $。
根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$ \frac{AN}{AD} = \frac{EF}{BC} $
代入$ BC=120 $，$ AD=60 $，$ AN=x $，$ EF=60 - x $得：
$ \frac{x}{60} = \frac{60 - x}{120} $
解方程：
两边同乘120得：$ 2x = 60 - x $
移项合并得：$ 3x = 60 $
解得：$ x = 20 $
即AN的长为20。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定与性质；正方形的性质
【点评】
本题是三角形内接正方形的典型题型，解题核心是通过平行线得到相似三角形，再利用相似三角形的性质建立等量关系列方程求解，掌握相似三角形对应线段的比等于相似比是解题的关键。
【难度系数】
0.7
遇到三角形中内接平行于底边的线段的问题，首先考虑利用相似三角形求解。本题中正方形EFGH的边EF平行于BC，可推出△AEF与△ABC相似，相似三角形的对应高的比等于相似比。我们可以设AN的长度为x，用含x的式子表示出正方形的边长（即EF的长度），再根据相似比列方程求解即可。
【解析】
设AN的长为$ x $。
∵ 四边形EFGH是正方形，
∴ $ EF// BC $，$ EF = ND $，
∵ AD是△ABC的高，
∴ $ ND = AD - AN = 60 - x $，即$ EF = 60 - x $。
又
∵ $ EF// BC $，
∴ $ △ AEF ∽ △ ABC $。
根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$ \frac{AN}{AD} = \frac{EF}{BC} $
代入$ BC=120 $，$ AD=60 $，$ AN=x $，$ EF=60 - x $得：
$ \frac{x}{60} = \frac{60 - x}{120} $
解方程：
两边同乘120得：$ 2x = 60 - x $
移项合并得：$ 3x = 60 $
解得：$ x = 20 $
即AN的长为20。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定与性质；正方形的性质
【点评】
本题是三角形内接正方形的典型题型，解题核心是通过平行线得到相似三角形，再利用相似三角形的性质建立等量关系列方程求解，掌握相似三角形对应线段的比等于相似比是解题的关键。
【难度系数】
0.7
8. 如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,∠ABC=∠ACD=90°,BM⊥AC于点M,CN⊥AD于点N,且BC=12,BM=8,CD=18.求CN的长.
答案
8. 解:$\because AC$平分$∠ BAD$,$\therefore ∠ BAC=∠ CAD$.
又$\because ∠ ABC=∠ ACD=90°$,$\therefore △ ABC ∽ △ ACD$.
$\because BM⊥ AC$,$CN⊥ AD$,$\therefore \frac{CN}{BM}=\frac{CD}{BC}$,
即$\frac{CN}{8}=\frac{18}{12}$,$\therefore CN=12$.
又$\because ∠ ABC=∠ ACD=90°$,$\therefore △ ABC ∽ △ ACD$.
$\because BM⊥ AC$,$CN⊥ AD$,$\therefore \frac{CN}{BM}=\frac{CD}{BC}$,
即$\frac{CN}{8}=\frac{18}{12}$,$\therefore CN=12$.
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：①AC平分∠BAD，可得一组相等的角∠BAC=∠CAD；②已知∠ABC=∠ACD=90°，根据“两角分别相等的两个三角形相似”可判定△ABC∽△ACD。接下来观察待求量CN和已知量BM、BC、CD的关系：BM是△ABC中AC边上的高，CN是△ACD中AD边上的高，根据相似三角形的性质，相似三角形对应高的比等于相似比，即可列出比例式求解CN的长度。
【解析】
解：
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD。
又
∵∠ABC=∠ACD=90°，
∴△ABC∽△ACD（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵BM⊥AC，CN⊥AD，BM、CN分别是两个相似三角形对应边上的高，
∴$\frac{CN}{BM}=\frac{CD}{BC}$，
将BM=8，CD=18，BC=12代入得：$\frac{CN}{8}=\frac{18}{12}$，
解得$CN=12$。
【答案】
$CN=12$
【知识点】
角平分线的定义；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题，解题的核心是先通过角的关系判定三角形相似，再利用相似三角形对应高的比等于相似比建立比例关系计算未知线段长度，解题时要注意找准相似三角形的对应边和对应高。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件入手：①AC平分∠BAD，可得一组相等的角∠BAC=∠CAD；②已知∠ABC=∠ACD=90°，根据“两角分别相等的两个三角形相似”可判定△ABC∽△ACD。接下来观察待求量CN和已知量BM、BC、CD的关系：BM是△ABC中AC边上的高，CN是△ACD中AD边上的高，根据相似三角形的性质，相似三角形对应高的比等于相似比，即可列出比例式求解CN的长度。
【解析】
解：
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD。
又
∵∠ABC=∠ACD=90°，
∴△ABC∽△ACD（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵BM⊥AC，CN⊥AD，BM、CN分别是两个相似三角形对应边上的高，
∴$\frac{CN}{BM}=\frac{CD}{BC}$，
将BM=8，CD=18，BC=12代入得：$\frac{CN}{8}=\frac{18}{12}$，
解得$CN=12$。
【答案】
$CN=12$
【知识点】
角平分线的定义；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题，解题的核心是先通过角的关系判定三角形相似，再利用相似三角形对应高的比等于相似比建立比例关系计算未知线段长度，解题时要注意找准相似三角形的对应边和对应高。
【难度系数】
0.7
9. 如图,已知 AD 是△ABC 的边 BC 上的中线,G是三角形的重心,EF过点G且平行于BC,分别交AB,AC于点E,F.求AF:FC和EF:BC的值.
答案
9. 解:$\because G$是$△ ABC$的重心,且AD是BC边上的中线,
$\therefore AG:GD=2:1$,$AG:AD=2:3$.
$\because EF// BC$,$\therefore △ AEF ∽ △ ABC$,
$\therefore AF:FC=AG:GD=2:1$,$EF:BC=AF:AC=AG:AD=2:3$.
$\therefore AG:GD=2:1$,$AG:AD=2:3$.
$\because EF// BC$,$\therefore △ AEF ∽ △ ABC$,
$\therefore AF:FC=AG:GD=2:1$,$EF:BC=AF:AC=AG:AD=2:3$.
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：①已知G是△ABC的重心，AD是BC边上的中线，先回忆三角形重心的核心性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1，由此可先得出AG与GD、AG与AD的比例关系；②已知EF平行于BC，可结合平行线分线段成比例定理直接得到AF与FC的比值；同时EF平行BC可判定△AEF与△ABC相似，相似比等于对应高的比即AG与AD的比值，进而求出EF与BC的比值。
【解析】
解：$\because G$是$△ ABC$的重心，且AD是BC边上的中线，
$\therefore AG:GD=2:1$，由此可得$AG:AD=AG:(AG+GD)=2:3$。
$\because EF// BC$，
根据平行线分线段成比例定理，可得$AF:FC=AG:GD=2:1$；
同时可得$△ AEF ∽ △ ABC$，相似比为$AG:AD=2:3$，
根据相似三角形对应边成比例，可得$EF:BC=AG:AD=2:3$。
【答案】
$AF:FC=2:1$，$EF:BC=2:3$
【知识点】
三角形重心的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何比例计算的基础题型，解题核心是先利用三角形重心的性质得到线段的比例关系，再结合平行线的性质和相似三角形的性质即可求出对应比值，熟练掌握基础几何性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件入手：①已知G是△ABC的重心，AD是BC边上的中线，先回忆三角形重心的核心性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1，由此可先得出AG与GD、AG与AD的比例关系；②已知EF平行于BC，可结合平行线分线段成比例定理直接得到AF与FC的比值；同时EF平行BC可判定△AEF与△ABC相似，相似比等于对应高的比即AG与AD的比值，进而求出EF与BC的比值。
【解析】
解：$\because G$是$△ ABC$的重心，且AD是BC边上的中线，
$\therefore AG:GD=2:1$，由此可得$AG:AD=AG:(AG+GD)=2:3$。
$\because EF// BC$，
根据平行线分线段成比例定理，可得$AF:FC=AG:GD=2:1$；
同时可得$△ AEF ∽ △ ABC$，相似比为$AG:AD=2:3$，
根据相似三角形对应边成比例，可得$EF:BC=AG:AD=2:3$。
【答案】
$AF:FC=2:1$，$EF:BC=2:3$
【知识点】
三角形重心的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何比例计算的基础题型，解题核心是先利用三角形重心的性质得到线段的比例关系，再结合平行线的性质和相似三角形的性质即可求出对应比值，熟练掌握基础几何性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
