登录
5. 在$△ ABC$中，点$D$，$E$分别在边$AB$，$AC$上，$△ ADE ∽ △ ABC$. 如果$AB=4$，$BC=5$，$AC=6$，$AD=3$，那么$△ ADE$的周长为
$\frac{45}{4}$
.答案
5. $\frac{45}{4}$
解析
【分析】
本题要求△ADE的周长，已知△ADE∽△ABC，可利用相似三角形的性质求解。首先先计算△ABC的周长；其次根据相似三角形的顶点对应关系，确定对应边AD与AB是对应边，求出两个三角形的相似比；最后根据“相似三角形的周长比等于相似比”，即可计算出△ADE的周长。
【解析】
第一步：计算△ABC的周长
已知AB=4，BC=5，AC=6，所以△ABC的周长为：
$C_{△ABC}=AB+BC+AC=4+5+6=15$
第二步：求相似三角形的相似比
∵$△ ADE ∽ △ ABC$，顶点对应关系为A对应A、D对应B、E对应C，
∴对应边AD与AB对应，相似比$k=\frac{AD}{AB}=\frac{3}{4}$
第三步：计算△ADE的周长
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，可得：
$\frac{C_{△ADE}}{C_{△ABC}}=\frac{AD}{AB}=\frac{3}{4}$
代入$C_{△ABC}=15$，得：
$C_{△ADE}=15×\frac{3}{4}=\frac{45}{4}$
【答案】
$\frac{45}{4}$
【知识点】
相似三角形的性质，三角形周长计算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的核心是准确根据相似三角形的顶点对应顺序找到对应边，确定相似比，再结合周长比与相似比的关系计算即可，解题时注意不要搞反相似比的对应关系。
【难度系数】
0.8
本题要求△ADE的周长，已知△ADE∽△ABC，可利用相似三角形的性质求解。首先先计算△ABC的周长；其次根据相似三角形的顶点对应关系，确定对应边AD与AB是对应边，求出两个三角形的相似比；最后根据“相似三角形的周长比等于相似比”，即可计算出△ADE的周长。
【解析】
第一步：计算△ABC的周长
已知AB=4，BC=5，AC=6，所以△ABC的周长为：
$C_{△ABC}=AB+BC+AC=4+5+6=15$
第二步：求相似三角形的相似比
∵$△ ADE ∽ △ ABC$，顶点对应关系为A对应A、D对应B、E对应C，
∴对应边AD与AB对应，相似比$k=\frac{AD}{AB}=\frac{3}{4}$
第三步：计算△ADE的周长
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，可得：
$\frac{C_{△ADE}}{C_{△ABC}}=\frac{AD}{AB}=\frac{3}{4}$
代入$C_{△ABC}=15$，得：
$C_{△ADE}=15×\frac{3}{4}=\frac{45}{4}$
【答案】
$\frac{45}{4}$
【知识点】
相似三角形的性质，三角形周长计算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的核心是准确根据相似三角形的顶点对应顺序找到对应边，确定相似比，再结合周长比与相似比的关系计算即可，解题时注意不要搞反相似比的对应关系。
【难度系数】
0.8
6.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,D是AB上一点,$DE// BC$,$BE⊥ AB$.
(1)求证:$△ DEB∽△ BAC$;
(2)若$DE=2$,$AB=3$,$△ DEB$的面积为2,求$△ ABC$的面积.
(1)求证:$△ DEB∽△ BAC$;
(2)若$DE=2$,$AB=3$,$△ DEB$的面积为2,求$△ ABC$的面积.
答案
(1)证明:$\because DE// BC,\therefore ∠ EDB=∠ CBA$.
$\because ∠ C=90°,BE⊥ AB,\therefore ∠ C=∠ EBD=90°$,
$\therefore △ DEB∽ △ BAC$.
(2)解:$\because △ DEB∽ △ BAC,\therefore \frac{S_{△ DEB}}{S_{△ ABC}}=(\frac{DE}{AB})^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$.
$\because S_{△ DEB}=2,\therefore \frac{2}{S_{△ ABC}}=\frac{4}{9},\therefore S_{△ ABC}=\frac{9}{2}$.
$\because ∠ C=90°,BE⊥ AB,\therefore ∠ C=∠ EBD=90°$,
$\therefore △ DEB∽ △ BAC$.
(2)解:$\because △ DEB∽ △ BAC,\therefore \frac{S_{△ DEB}}{S_{△ ABC}}=(\frac{DE}{AB})^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$.
$\because S_{△ DEB}=2,\therefore \frac{2}{S_{△ ABC}}=\frac{4}{9},\therefore S_{△ ABC}=\frac{9}{2}$.
解析
【分析】
(1) 要证明两个三角形相似，优先考虑两角对应相等的判定定理：首先由$DE// BC$可得同位角相等，得到一组对应角相等；再结合已知的两个直角，得到第二组对应角相等，即可证明相似。
(2) 已知两个三角形相似，求面积时可利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，先求出两个三角形的面积比，再代入已知的$△ DEB$的面积，即可求出$△ ABC$的面积。
【解析】
(1) 证明：
$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ EDB=∠ CBA$（两直线平行，同位角相等），
$\because ∠ C=90°$，$BE⊥ AB$，
$\therefore ∠ EBD=∠ C=90°$，
$\therefore △ DEB∽ △ BAC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
由(1)得$△ DEB∽ △ BAC$，
$\therefore \frac{S_{△ DEB}}{S_{△ ABC}}=(\frac{DE}{AB})^2$，
将$DE=2$，$AB=3$代入得：
$\frac{S_{△ DEB}}{S_{△ ABC}}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，
$\because S_{△ DEB}=2$，
$\therefore \frac{2}{S_{△ ABC}}=\frac{4}{9}$，
解得$S_{△ ABC}=\frac{9}{2}$。
【答案】
(1) 已证$△ DEB∽ △ BAC$；
(2) $\frac{9}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题属于相似三角形的基础应用类题目，解题的关键是准确找到相似三角形的对应角，熟练运用相似三角形的判定定理和性质求解，难度较低，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.75
(1) 要证明两个三角形相似，优先考虑两角对应相等的判定定理：首先由$DE// BC$可得同位角相等，得到一组对应角相等；再结合已知的两个直角，得到第二组对应角相等，即可证明相似。
(2) 已知两个三角形相似，求面积时可利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，先求出两个三角形的面积比，再代入已知的$△ DEB$的面积，即可求出$△ ABC$的面积。
【解析】
(1) 证明：
$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ EDB=∠ CBA$（两直线平行，同位角相等），
$\because ∠ C=90°$，$BE⊥ AB$，
$\therefore ∠ EBD=∠ C=90°$，
$\therefore △ DEB∽ △ BAC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
由(1)得$△ DEB∽ △ BAC$，
$\therefore \frac{S_{△ DEB}}{S_{△ ABC}}=(\frac{DE}{AB})^2$，
将$DE=2$，$AB=3$代入得：
$\frac{S_{△ DEB}}{S_{△ ABC}}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，
$\because S_{△ DEB}=2$，
$\therefore \frac{2}{S_{△ ABC}}=\frac{4}{9}$，
解得$S_{△ ABC}=\frac{9}{2}$。
【答案】
(1) 已证$△ DEB∽ △ BAC$；
(2) $\frac{9}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题属于相似三角形的基础应用类题目，解题的关键是准确找到相似三角形的对应角，熟练运用相似三角形的判定定理和性质求解，难度较低，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.75
7. 如图, 在$△ ABC$中, $DE// BC$, $EF// AB$, $\frac{AD}{DB}=\frac{1}{2}$. 若四边形BDEF的面积为16, 则$△ ADE$的面积是
4
.答案
7. 4
解析
【分析】
解题时首先观察到题中有两组平行线，可由此得到相似三角形：①由DE//BC可证△ADE∽△ABC，结合AD/DB=1/2可求出二者的相似比，进而得到面积比；②由EF//AB可证△EFC∽△ABC，结合线段比例求出二者的面积比。再根据“四边形BDEF的面积=△ABC的面积-△ADE的面积-△EFC的面积”的关系，结合已知的四边形面积，即可求出△ADE的面积。
【解析】
解：
∵$\frac{AD}{DB}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AD+DB}=\frac{1}{3}$，$\frac{DB}{AB}=\frac{2}{3}$。
∵$DE// BC$，
∴$△ ADE ∽ △ ABC$，
由相似三角形面积比等于相似比的平方可得：
$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{AD}{AB})^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。
设$S_{△ ADE}=x$，则$S_{△ ABC}=9x$。
∵$EF// AB$，$DE// BC$，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴$EF=BD$，则$\frac{EF}{AB}=\frac{BD}{AB}=\frac{2}{3}$，
∵$EF// AB$，
∴$△ EFC ∽ △ ABC$，
∴$\frac{S_{△ EFC}}{S_{△ ABC}}=(\frac{EF}{AB})^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，
即$S_{△ EFC}=\frac{4}{9}×9x=4x$。
已知$S_{四边形BDEF}=16$，且$S_{四边形BDEF}=S_{△ ABC}-S_{△ ADE}-S_{△ EFC}$，
代入得：$9x - x - 4x = 16$，
解得$x=4$，即$S_{△ ADE}=4$。
【答案】
4
【知识点】
相似三角形的性质，平行四边形的判定，比例运算
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，解题核心是利用平行线构造相似三角形，再通过相似三角形面积比和相似比的关系建立不同图形的面积关联，进而求解未知面积，需要熟练掌握相似三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到题中有两组平行线，可由此得到相似三角形：①由DE//BC可证△ADE∽△ABC，结合AD/DB=1/2可求出二者的相似比，进而得到面积比；②由EF//AB可证△EFC∽△ABC，结合线段比例求出二者的面积比。再根据“四边形BDEF的面积=△ABC的面积-△ADE的面积-△EFC的面积”的关系，结合已知的四边形面积，即可求出△ADE的面积。
【解析】
解：
∵$\frac{AD}{DB}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AD+DB}=\frac{1}{3}$，$\frac{DB}{AB}=\frac{2}{3}$。
∵$DE// BC$，
∴$△ ADE ∽ △ ABC$，
由相似三角形面积比等于相似比的平方可得：
$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{AD}{AB})^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。
设$S_{△ ADE}=x$，则$S_{△ ABC}=9x$。
∵$EF// AB$，$DE// BC$，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴$EF=BD$，则$\frac{EF}{AB}=\frac{BD}{AB}=\frac{2}{3}$，
∵$EF// AB$，
∴$△ EFC ∽ △ ABC$，
∴$\frac{S_{△ EFC}}{S_{△ ABC}}=(\frac{EF}{AB})^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，
即$S_{△ EFC}=\frac{4}{9}×9x=4x$。
已知$S_{四边形BDEF}=16$，且$S_{四边形BDEF}=S_{△ ABC}-S_{△ ADE}-S_{△ EFC}$，
代入得：$9x - x - 4x = 16$，
解得$x=4$，即$S_{△ ADE}=4$。
【答案】
4
【知识点】
相似三角形的性质，平行四边形的判定，比例运算
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，解题核心是利用平行线构造相似三角形，再通过相似三角形面积比和相似比的关系建立不同图形的面积关联，进而求解未知面积，需要熟练掌握相似三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7
8.如图,在锐角△ABC中,AD,CE分别为BC,AB边上的高,△ABC和△BDE的面积分别等于18和2,DE=2,则AC边上的高为
6
。答案
8. 6
解析
【分析】
解题可分三步思考：第一步，先利用高的性质得到直角，结合公共角∠B证明三角形相似，推导出边的比例关系，再进一步证明△BDE与△BAC相似；第二步，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，结合已知的两个三角形面积求出相似比，计算出AC的长度；第三步，利用三角形面积公式，代入△ABC的面积和AC的长度，即可求出AC边上的高。
【解析】
解：
∵AD是BC边上的高，CE是AB边上的高，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
又
∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE，
∴$\frac{BD}{BE}=\frac{AB}{BC}$，即$\frac{BD}{AB}=\frac{BE}{BC}$，
又
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC，
∴$\frac{S_{△ BDE}}{S_{△ BAC}}=(\frac{DE}{AC})^2$，
已知$S_{△ ABC}=18$，$S_{△ BDE}=2$，$DE=2$，代入得：
$\frac{2}{18}=(\frac{2}{AC})^2$，即$\frac{1}{9}=\frac{4}{AC^2}$，
解得$AC^2=36$，
∵AC＞0，
∴AC=6。
设AC边上的高为h，由三角形面积公式得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· h=18$，
将AC=6代入得：$\frac{1}{2}×6× h=18$，
解得h=6。
【答案】
6
【知识点】
相似三角形的判定与性质、三角形面积公式
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定和性质的综合应用，解题的突破口是通过公共角和边的比例关系证明两个三角形相似，再结合面积公式求解，能有效考查对相似性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
解题可分三步思考：第一步，先利用高的性质得到直角，结合公共角∠B证明三角形相似，推导出边的比例关系，再进一步证明△BDE与△BAC相似；第二步，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，结合已知的两个三角形面积求出相似比，计算出AC的长度；第三步，利用三角形面积公式，代入△ABC的面积和AC的长度，即可求出AC边上的高。
【解析】
解：
∵AD是BC边上的高，CE是AB边上的高，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
又
∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE，
∴$\frac{BD}{BE}=\frac{AB}{BC}$，即$\frac{BD}{AB}=\frac{BE}{BC}$，
又
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC，
∴$\frac{S_{△ BDE}}{S_{△ BAC}}=(\frac{DE}{AC})^2$，
已知$S_{△ ABC}=18$，$S_{△ BDE}=2$，$DE=2$，代入得：
$\frac{2}{18}=(\frac{2}{AC})^2$，即$\frac{1}{9}=\frac{4}{AC^2}$，
解得$AC^2=36$，
∵AC＞0，
∴AC=6。
设AC边上的高为h，由三角形面积公式得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· h=18$，
将AC=6代入得：$\frac{1}{2}×6× h=18$，
解得h=6。
【答案】
6
【知识点】
相似三角形的判定与性质、三角形面积公式
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定和性质的综合应用，解题的突破口是通过公共角和边的比例关系证明两个三角形相似，再结合面积公式求解，能有效考查对相似性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
9. 如图,在$□ ABCD$中,$BE:EC=1:3$,AE交BD于点F.
(1)求证:$△ BEF ∽ △ DAF$;
(2)求$△ BEF$与$△ DAF$的周长之比;
(3)若$△ DAF$的面积为$16\ \mathrm{cm}^2$,求$△ BEF$的面积.
(1)求证:$△ BEF ∽ △ DAF$;
(2)求$△ BEF$与$△ DAF$的周长之比;
(3)若$△ DAF$的面积为$16\ \mathrm{cm}^2$,求$△ BEF$的面积.
答案
(1)证明:$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore AD// BC,\therefore ∠ EBF=∠ ADF,∠ FEB=∠ FAD$,
$\therefore △ BEF∽ △ DAF$.
(2)解:$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore DA=BC$,而$BE:EC=1:3$,
$\therefore$ 设$BE=k$,则$EC=3k,DA=4k$.
$\because △ BEF∽ △ DAF$,
$\therefore \frac{△ BEF的周长}{△ DAF的周长}=\frac{BE}{DA}=\frac{k}{4k}=\frac{1}{4}$.
$\therefore △ BEF$与$△ DAF$的周长之比为$1:4$.
(3)解:$\because △ BEF∽ △ DAF,\therefore \frac{S_{△ DAF}}{S_{△ BEF}}=(\frac{DA}{BE})^2$.
由(2)知,$\frac{DA}{BE}=\frac{4}{1}$,且$△ DAF$的面积为$16\ \mathrm{cm}^2$,
$\therefore \frac{16}{S_{△ BEF}}=(\frac{4}{1})^2$,
$\therefore S_{△ BEF}=1\ \mathrm{cm}^2$,即$△ BEF$的面积为$1\ \mathrm{cm}^2$.
$\therefore AD// BC,\therefore ∠ EBF=∠ ADF,∠ FEB=∠ FAD$,
$\therefore △ BEF∽ △ DAF$.
(2)解:$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore DA=BC$,而$BE:EC=1:3$,
$\therefore$ 设$BE=k$,则$EC=3k,DA=4k$.
$\because △ BEF∽ △ DAF$,
$\therefore \frac{△ BEF的周长}{△ DAF的周长}=\frac{BE}{DA}=\frac{k}{4k}=\frac{1}{4}$.
$\therefore △ BEF$与$△ DAF$的周长之比为$1:4$.
(3)解:$\because △ BEF∽ △ DAF,\therefore \frac{S_{△ DAF}}{S_{△ BEF}}=(\frac{DA}{BE})^2$.
由(2)知,$\frac{DA}{BE}=\frac{4}{1}$,且$△ DAF$的面积为$16\ \mathrm{cm}^2$,
$\therefore \frac{16}{S_{△ BEF}}=(\frac{4}{1})^2$,
$\therefore S_{△ BEF}=1\ \mathrm{cm}^2$,即$△ BEF$的面积为$1\ \mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
(1) 证明三角形相似可优先考虑两角对应相等的判定方法：结合平行四边形对边平行的性质，可得到△BEF和△DAF的两组内错角分别相等，即可证明相似。
(2) 相似三角形的周长比等于相似比，因此只需先求出两个三角形对应边的比值：由平行四边形对边相等，结合BE:EC=1:3，可推出BE与AD的比值为1:4，即可得到周长比。
(3) 相似三角形的面积比等于相似比的平方，已知△DAF的面积，代入相似比的平方关系即可计算出△BEF的面积。
【解析】
(1) 证明：$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC,\therefore ∠ EBF=∠ ADF,∠ FEB=∠ FAD$，
$\therefore △ BEF∽ △ DAF$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore DA=BC$，
$\because BE:EC=1:3$，设$BE=k$，则$EC=3k,BC=BE+EC=4k$，故$DA=4k$，
$\because △ BEF∽ △ DAF$，
$\therefore \frac{△ BEF的周长}{△ DAF的周长}=\frac{BE}{DA}=\frac{k}{4k}=\frac{1}{4}$。
(3) 解：$\because △ BEF∽ △ DAF,\therefore \frac{S_{△ DAF}}{S_{△ BEF}}=(\frac{DA}{BE})^2$，
由(2)知，$\frac{DA}{BE}=\frac{4}{1}$，且$△ DAF$的面积为$16\ \mathrm{cm}^2$，
$\therefore \frac{16}{S_{△ BEF}}=(\frac{4}{1})^2=16$，
解得$S_{△ BEF}=1\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $△ BEF ∽ △ DAF$，得证；
(2) $△ BEF$与$△ DAF$的周长之比为$\boldsymbol{1:4}$；
(3) $△ BEF$的面积为$\boldsymbol{1\ \mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是基础几何题，将平行四边形的性质与相似三角形的知识结合考查，解题的核心是熟练掌握相似三角形的判定定理，以及相似三角形周长比、面积比与相似比的对应关系。
【难度系数】
0.8
(1) 证明三角形相似可优先考虑两角对应相等的判定方法：结合平行四边形对边平行的性质，可得到△BEF和△DAF的两组内错角分别相等，即可证明相似。
(2) 相似三角形的周长比等于相似比，因此只需先求出两个三角形对应边的比值：由平行四边形对边相等，结合BE:EC=1:3，可推出BE与AD的比值为1:4，即可得到周长比。
(3) 相似三角形的面积比等于相似比的平方，已知△DAF的面积，代入相似比的平方关系即可计算出△BEF的面积。
【解析】
(1) 证明：$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC,\therefore ∠ EBF=∠ ADF,∠ FEB=∠ FAD$，
$\therefore △ BEF∽ △ DAF$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore DA=BC$，
$\because BE:EC=1:3$，设$BE=k$，则$EC=3k,BC=BE+EC=4k$，故$DA=4k$，
$\because △ BEF∽ △ DAF$，
$\therefore \frac{△ BEF的周长}{△ DAF的周长}=\frac{BE}{DA}=\frac{k}{4k}=\frac{1}{4}$。
(3) 解：$\because △ BEF∽ △ DAF,\therefore \frac{S_{△ DAF}}{S_{△ BEF}}=(\frac{DA}{BE})^2$，
由(2)知，$\frac{DA}{BE}=\frac{4}{1}$，且$△ DAF$的面积为$16\ \mathrm{cm}^2$，
$\therefore \frac{16}{S_{△ BEF}}=(\frac{4}{1})^2=16$，
解得$S_{△ BEF}=1\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $△ BEF ∽ △ DAF$，得证；
(2) $△ BEF$与$△ DAF$的周长之比为$\boldsymbol{1:4}$；
(3) $△ BEF$的面积为$\boldsymbol{1\ \mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是基础几何题，将平行四边形的性质与相似三角形的知识结合考查，解题的核心是熟练掌握相似三角形的判定定理，以及相似三角形周长比、面积比与相似比的对应关系。
【难度系数】
0.8
