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1. 锐角的正弦
如图,在直角三角形中,锐角A的
2. 特殊角的正弦值
α
30°
45°
60°
sin α
如图,在直角三角形中,锐角A的
对边
与斜边
的比叫作∠A的正弦,记作sin A,即sin A=$\dfrac{∠ A的对边}{斜边}$
=$\dfrac{a}{c}$
.2. 特殊角的正弦值
α
30°
45°
60°
sin α
$\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
答案
1. 在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦，记作$\sin A$，即$\sin A=\dfrac{∠ A的对边}{斜边}=\dfrac{a}{c}$。
2. 30°对应的$\sinα=\dfrac{1}{2}$，45°对应的$\sinα=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，60°对应的$\sinα=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
2. 30°对应的$\sinα=\dfrac{1}{2}$，45°对应的$\sinα=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，60°对应的$\sinα=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
解析
【分析】
第1题考查锐角正弦的基本定义，解题时先回忆直角三角形中锐角正弦的概念：正弦是锐角的对边与斜边的比值，明确参与比值的两条边的位置，再掌握其代数表示形式即可。第2题考查特殊角的正弦值，可结合含30°角的直角三角形、等腰直角三角形的边长特征推导记忆，避免死记硬背出现错误。
【解析】
1. 根据锐角正弦的定义：在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦，记作$\sin A$。若将∠A的对边记为$a$，斜边记为$c$，则可表示为$\sin A=\dfrac{∠A的对边}{斜边}=\dfrac{a}{c}$。
2. 结合特殊直角三角形的边长关系推导：
（1）含30°角的直角三角形中，30°角对的直角边是斜边的一半，因此$\sin30°=\dfrac{1}{2}$；
（2）锐角为45°的等腰直角三角形中，设直角边长为1，则斜边长为$\sqrt{2}$，因此$\sin45°=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）含60°角的直角三角形中，60°角对的直角边长为$\sqrt{3}$，斜边长为2，因此$\sin60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
1. 对边；斜边；$\dfrac{∠A的对边}{斜边}$；$\dfrac{a}{c}$
2. $\dfrac{1}{2}$；$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$；$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
1. 锐角正弦的定义
2. 特殊角的正弦值
3. 直角三角形边角关系
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题，侧重考查对正弦定义的理解和特殊角正弦值的识记，熟练掌握这些内容是后续解决三角函数计算、解直角三角形等问题的基础，需要牢固记忆。
【难度系数】
0.9
第1题考查锐角正弦的基本定义，解题时先回忆直角三角形中锐角正弦的概念：正弦是锐角的对边与斜边的比值，明确参与比值的两条边的位置，再掌握其代数表示形式即可。第2题考查特殊角的正弦值，可结合含30°角的直角三角形、等腰直角三角形的边长特征推导记忆，避免死记硬背出现错误。
【解析】
1. 根据锐角正弦的定义：在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦，记作$\sin A$。若将∠A的对边记为$a$，斜边记为$c$，则可表示为$\sin A=\dfrac{∠A的对边}{斜边}=\dfrac{a}{c}$。
2. 结合特殊直角三角形的边长关系推导：
（1）含30°角的直角三角形中，30°角对的直角边是斜边的一半，因此$\sin30°=\dfrac{1}{2}$；
（2）锐角为45°的等腰直角三角形中，设直角边长为1，则斜边长为$\sqrt{2}$，因此$\sin45°=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）含60°角的直角三角形中，60°角对的直角边长为$\sqrt{3}$，斜边长为2，因此$\sin60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
1. 对边；斜边；$\dfrac{∠A的对边}{斜边}$；$\dfrac{a}{c}$
2. $\dfrac{1}{2}$；$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$；$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
1. 锐角正弦的定义
2. 特殊角的正弦值
3. 直角三角形边角关系
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题，侧重考查对正弦定义的理解和特殊角正弦值的识记，熟练掌握这些内容是后续解决三角函数计算、解直角三角形等问题的基础，需要牢固记忆。
【难度系数】
0.9
【例1】如图，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ C=90°$，$AB=10$，$BC=6$，$AC=8$，求 $\sin A$，$\sin B$ 的值。
答案
解:$\sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}$，$\sin B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}$。
解析
【分析】
求解本题首先要明确锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边长度与斜边长度的比值。第一步求$\sin A$：先确定$∠ A$的对边为$BC$，斜边为固定的$AB$，代入对应边长计算并化简即可；第二步求$\sin B$：同理确定$∠ B$的对边为$AC$，斜边仍为$AB$，代入边长计算化简即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正弦的定义计算：
1. 计算$\sin A$：
$∠ A$的对边是$BC$，长度为6，斜边$AB=10$，因此
$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$
2. 计算$\sin B$：
$∠ B$的对边是$AC$，长度为8，斜边$AB=10$，因此
$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$
【答案】
$\sin A=\dfrac{3}{5}$，$\sin B=\dfrac{4}{5}$
【知识点】
锐角正弦的定义，直角三角形边角计算
【点评】
本题是锐角正弦的基础考查题，解题核心是准确识别对应锐角的对边和斜边，牢记正弦的定义即可快速解题，计算时注意将结果约分为最简分数。
【难度系数】
0.9
求解本题首先要明确锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边长度与斜边长度的比值。第一步求$\sin A$：先确定$∠ A$的对边为$BC$，斜边为固定的$AB$，代入对应边长计算并化简即可；第二步求$\sin B$：同理确定$∠ B$的对边为$AC$，斜边仍为$AB$，代入边长计算化简即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正弦的定义计算：
1. 计算$\sin A$：
$∠ A$的对边是$BC$，长度为6，斜边$AB=10$，因此
$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$
2. 计算$\sin B$：
$∠ B$的对边是$AC$，长度为8，斜边$AB=10$，因此
$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$
【答案】
$\sin A=\dfrac{3}{5}$，$\sin B=\dfrac{4}{5}$
【知识点】
锐角正弦的定义，直角三角形边角计算
【点评】
本题是锐角正弦的基础考查题，解题核心是准确识别对应锐角的对边和斜边，牢记正弦的定义即可快速解题，计算时注意将结果约分为最简分数。
【难度系数】
0.9
【变式】如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AD⊥ BC$于点$D$，则下列线段的比不能用来表示$\sin B$的是（
A.$\dfrac{AD}{AB}$
B.$\dfrac{AC}{BC}$
C.$\dfrac{AD}{AC}$
D.$\dfrac{CD}{AC}$
C
）A.$\dfrac{AD}{AB}$
B.$\dfrac{AC}{BC}$
C.$\dfrac{AD}{AC}$
D.$\dfrac{CD}{AC}$
答案
C
解析
【分析】
要判断哪个比值不能表示$\sin B$，首先明确锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。我们可以先利用“同角的余角相等”找到与$∠ B$相等的角$∠ DAC$，再分别在不同的直角三角形中写出$\sin B$（或$\sin∠ DAC$）的表达式，逐一对比选项即可得出结论。
【解析】
已知$∠ BAC=90°$，$AD⊥ BC$，因此$△ ABC$、$△ ABD$、$△ ACD$都是直角三角形，且：
$∠ B + ∠ BAD = 90°$，$∠ DAC + ∠ BAD = 90°$，故$∠ B = ∠ DAC$。
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\sin B = \frac{\mathrm{对边}AC}{\mathrm{斜边}BC}$，对应选项B，该选项可表示$\sin B$，不符合题意；
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\sin B = \frac{\mathrm{对边}AD}{\mathrm{斜边}AB}$，对应选项A，该选项可表示$\sin B$，不符合题意；
3. 因为$∠ B=∠ DAC$，所以$\sin B=\sin∠ DAC$，在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\sin∠ DAC = \frac{\mathrm{对边}CD}{\mathrm{斜边}AC}$，对应选项D，该选项可表示$\sin B$，不符合题意；
4. 选项C中$\frac{AD}{AC}$，在$\mathrm{Rt}△ ACD$中是$∠ DAC$的邻边与斜边的比值，即$\cos∠ DAC=\cos B$，不能表示$\sin B$，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
正弦的定义，同角的余角相等，直角三角形的性质
【点评】
本题解题的核心是熟练掌握锐角正弦的定义，同时能借助同角的余角相等进行等角的三角函数转换，注意区分直角三角形中锐角的对边和邻边，避免混淆正弦和余弦的表达式。
【难度系数】
0.7
要判断哪个比值不能表示$\sin B$，首先明确锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。我们可以先利用“同角的余角相等”找到与$∠ B$相等的角$∠ DAC$，再分别在不同的直角三角形中写出$\sin B$（或$\sin∠ DAC$）的表达式，逐一对比选项即可得出结论。
【解析】
已知$∠ BAC=90°$，$AD⊥ BC$，因此$△ ABC$、$△ ABD$、$△ ACD$都是直角三角形，且：
$∠ B + ∠ BAD = 90°$，$∠ DAC + ∠ BAD = 90°$，故$∠ B = ∠ DAC$。
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\sin B = \frac{\mathrm{对边}AC}{\mathrm{斜边}BC}$，对应选项B，该选项可表示$\sin B$，不符合题意；
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\sin B = \frac{\mathrm{对边}AD}{\mathrm{斜边}AB}$，对应选项A，该选项可表示$\sin B$，不符合题意；
3. 因为$∠ B=∠ DAC$，所以$\sin B=\sin∠ DAC$，在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\sin∠ DAC = \frac{\mathrm{对边}CD}{\mathrm{斜边}AC}$，对应选项D，该选项可表示$\sin B$，不符合题意；
4. 选项C中$\frac{AD}{AC}$，在$\mathrm{Rt}△ ACD$中是$∠ DAC$的邻边与斜边的比值，即$\cos∠ DAC=\cos B$，不能表示$\sin B$，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
正弦的定义，同角的余角相等，直角三角形的性质
【点评】
本题解题的核心是熟练掌握锐角正弦的定义，同时能借助同角的余角相等进行等角的三角函数转换，注意区分直角三角形中锐角的对边和邻边，避免混淆正弦和余弦的表达式。
【难度系数】
0.7
【例2】$\sin 30° - \frac{1}{2}$的值等于（
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$\sqrt{2}$
B
）A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$\sqrt{2}$
答案
B
解析
【分析】
这道题考查特殊角的正弦值识记与基础计算，解题思路清晰：第一步先回忆30°锐角的正弦值，第二步将数值代入原式做减法运算，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
根据特殊锐角的三角函数值可知，$\sin30°=\frac{1}{2}$，代入原式计算：
$\sin30° - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
特殊角的三角函数值；有理数减法运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对常见特殊锐角三角函数值的掌握程度，只要准确记忆30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，代入简单计算即可得分。
【难度系数】
0.9
这道题考查特殊角的正弦值识记与基础计算，解题思路清晰：第一步先回忆30°锐角的正弦值，第二步将数值代入原式做减法运算，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
根据特殊锐角的三角函数值可知，$\sin30°=\frac{1}{2}$，代入原式计算：
$\sin30° - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
特殊角的三角函数值；有理数减法运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对常见特殊锐角三角函数值的掌握程度，只要准确记忆30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，代入简单计算即可得分。
【难度系数】
0.9
【变式】(2025 娄底月考)计算：$|\sqrt{3} - 2| + 2\sin 60° - (-π)^0$。
答案
解:$|\sqrt{3}-2|+2\sin 60°-(-π)^0=2-\sqrt{3}+2×\dfrac{\sqrt{3}}{2}-1=2-\sqrt{3}+\sqrt{3}-1=1$。
解析
【分析】
本题属于实数的混合运算题，解题时可拆分三个运算模块分别计算后再合并：①先处理绝对值：因为√3≈1.732＜2，所以√3-2是负数，负数的绝对值等于它的相反数，即可化简|√3-2|；②再代入特殊角的三角函数值：sin60°是要求熟记的特殊角三角函数值，为$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$；③最后计算零指数幂：根据零指数幂的性质，任何非零数的0次幂都等于1，可得$(-π)^0=1$；最后把三个部分的结果代入原式，合并同类二次根式和常数项即可得到最终结果。
【解析】
解：分别化简各运算部分后代入计算：
$\begin{aligned}&|\sqrt{3} - 2| + 2\sin 60° - (-π)^0\\=&2-\sqrt{3}+2×\dfrac{\sqrt{3}}{2}-1\\=&2-\sqrt{3}+\sqrt{3}-1\\=&1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
绝对值的化简，特殊角的三角函数值，零指数幂运算
【点评】
本题是实数运算的常规基础题，核心考查对基础运算规则的掌握程度，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值、零指数幂的性质以及绝对值的化简规则，计算时注意符号判断，避免出错。
【难度系数】
0.8
本题属于实数的混合运算题，解题时可拆分三个运算模块分别计算后再合并：①先处理绝对值：因为√3≈1.732＜2，所以√3-2是负数，负数的绝对值等于它的相反数，即可化简|√3-2|；②再代入特殊角的三角函数值：sin60°是要求熟记的特殊角三角函数值，为$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$；③最后计算零指数幂：根据零指数幂的性质，任何非零数的0次幂都等于1，可得$(-π)^0=1$；最后把三个部分的结果代入原式，合并同类二次根式和常数项即可得到最终结果。
【解析】
解：分别化简各运算部分后代入计算：
$\begin{aligned}&|\sqrt{3} - 2| + 2\sin 60° - (-π)^0\\=&2-\sqrt{3}+2×\dfrac{\sqrt{3}}{2}-1\\=&2-\sqrt{3}+\sqrt{3}-1\\=&1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
绝对值的化简，特殊角的三角函数值，零指数幂运算
【点评】
本题是实数运算的常规基础题，核心考查对基础运算规则的掌握程度，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值、零指数幂的性质以及绝对值的化简规则，计算时注意符号判断，避免出错。
【难度系数】
0.8
1.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AB=4$,$AC=3$,则$\sin B$的值是 (
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{3}$
C
)A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{3}$
答案
1. C
解析
【分析】
要计算$\sin B$的值，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。首先确定$\mathrm{Rt}△ABC$中的斜边，因为$∠ C=90°$，所以斜边是$AB$；再找到$∠ B$的对边是$AC$，已知这两条边的长度，直接代入定义计算即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正弦的定义：
$\sin B=\frac{∠ B\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AC}{AB}$
已知$AC=3$，$AB=4$，代入得：
$\sin B=\frac{3}{4}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
锐角正弦的定义，直角三角形边角关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查对锐角正弦定义的理解和运用，解题关键是准确找到对应角的对边和斜边，避免混淆对边、邻边的对应关系。
【难度系数】
0.9
要计算$\sin B$的值，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。首先确定$\mathrm{Rt}△ABC$中的斜边，因为$∠ C=90°$，所以斜边是$AB$；再找到$∠ B$的对边是$AC$，已知这两条边的长度，直接代入定义计算即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正弦的定义：
$\sin B=\frac{∠ B\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AC}{AB}$
已知$AC=3$，$AB=4$，代入得：
$\sin B=\frac{3}{4}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
锐角正弦的定义，直角三角形边角关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查对锐角正弦定义的理解和运用，解题关键是准确找到对应角的对边和斜边，避免混淆对边、邻边的对应关系。
【难度系数】
0.9
