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2. 已知α为锐角，且$\sin(α - 10°)=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则α的度数是（
A.$70°$
B.$60°$
C.$50°$
D.$30°$
A
）A.$70°$
B.$60°$
C.$50°$
D.$30°$
答案
2. A
解析
【分析】解题时先回忆特殊锐角的正弦值，我们知道$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合题目给出α是锐角，可得α-10°也是大于0°小于90°的锐角，因此α-10°的值就是60°，再列等式计算α的度数即可。
【解析】
∵ 特殊角的正弦值中，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，且已知$\sin(α - 10°)=\frac{\sqrt{3}}{2}$
又
∵ α为锐角，即$0°＜α＜90°$，可得$-10°＜α-10°＜80°$，在这个范围内正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$的角只有60°
∴ $α - 10°=60°$
解得 $α=60°+10°=70°$，符合锐角的要求。
【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值；锐角的概念
【点评】本题是基础题，主要考查对特殊角三角函数值的记忆，结合角的取值范围排除干扰情况，即可快速求解。
【难度系数】0.9
【解析】
∵ 特殊角的正弦值中，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，且已知$\sin(α - 10°)=\frac{\sqrt{3}}{2}$
又
∵ α为锐角，即$0°＜α＜90°$，可得$-10°＜α-10°＜80°$，在这个范围内正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$的角只有60°
∴ $α - 10°=60°$
解得 $α=60°+10°=70°$，符合锐角的要求。
【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值；锐角的概念
【点评】本题是基础题，主要考查对特殊角三角函数值的记忆，结合角的取值范围排除干扰情况，即可快速求解。
【难度系数】0.9
3. (2026 汉中二模)如图,在 $Rt△ ABC$ 中,点D是斜边AC的中点,连接BD,若AB=8, $BD=\frac{17}{2}$,则 $\sin C$ 的值为 (
A.$\frac{8}{17}$
B.$\frac{8}{15}$
C.$\frac{15}{17}$
D.$\frac{4}{17}$
A
)A.$\frac{8}{17}$
B.$\frac{8}{15}$
C.$\frac{15}{17}$
D.$\frac{4}{17}$
答案
3. A
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件，已知直角三角形斜边的中点，首先联想到直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可先求出斜边AC的长度；再根据锐角正弦的定义，角C的正弦值等于它的对边与斜边的比值，代入对应边长计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，D是斜边AC的中点，
∴ 根据直角三角形斜边中线的性质，可得$AC=2BD$，
已知$BD=\frac{17}{2}$，代入得$AC=2×\frac{17}{2}=17$。
根据锐角正弦的定义：在直角三角形中，锐角的正弦等于该角对边与斜边的比值，
∴ $\sin C=\frac{∠ C的对边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$，
将$AB=8$，$AC=17$代入得$\sin C=\frac{8}{17}$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
1. 直角三角形斜边中线性质
2. 正弦的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握直角三角形的相关性质和锐角正弦的定义，只要牢记相关知识点就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题干条件，已知直角三角形斜边的中点，首先联想到直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可先求出斜边AC的长度；再根据锐角正弦的定义，角C的正弦值等于它的对边与斜边的比值，代入对应边长计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，D是斜边AC的中点，
∴ 根据直角三角形斜边中线的性质，可得$AC=2BD$，
已知$BD=\frac{17}{2}$，代入得$AC=2×\frac{17}{2}=17$。
根据锐角正弦的定义：在直角三角形中，锐角的正弦等于该角对边与斜边的比值，
∴ $\sin C=\frac{∠ C的对边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$，
将$AB=8$，$AC=17$代入得$\sin C=\frac{8}{17}$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
1. 直角三角形斜边中线性质
2. 正弦的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握直角三角形的相关性质和锐角正弦的定义，只要牢记相关知识点就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
4. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=4$，$AC=2\sqrt{2}$，$∠ C=90°$，则$∠ B$的大小为（
A.$30°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$60°$
C
）A.$30°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$60°$
答案
4. C
解析
【分析】
这是直角三角形中求锐角度数的基础题，解题思路如下：第一步，先明确所求角∠B在直角三角形中的对边和斜边；第二步，根据锐角正弦的定义，计算出∠B的正弦值；第三步，结合特殊角的三角函数值，匹配得到∠B的度数。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据锐角正弦的定义：锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值，可得：
$\sin B = \frac{\mathrm{∠B的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{AC}{AB}$
将$AB=4$，$AC=2\sqrt{2}$代入得：
$\sin B = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
又因为$∠ B$是锐角，且$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$∠ B=45°$。
【答案】
C
【知识点】
正弦的定义；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题，主要考查利用锐角三角函数求解直角三角形内角度数，熟练掌握锐角三角函数的定义和常见特殊角的三角函数值即可快速解题。
【难度系数】
0.8
这是直角三角形中求锐角度数的基础题，解题思路如下：第一步，先明确所求角∠B在直角三角形中的对边和斜边；第二步，根据锐角正弦的定义，计算出∠B的正弦值；第三步，结合特殊角的三角函数值，匹配得到∠B的度数。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据锐角正弦的定义：锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值，可得：
$\sin B = \frac{\mathrm{∠B的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{AC}{AB}$
将$AB=4$，$AC=2\sqrt{2}$代入得：
$\sin B = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
又因为$∠ B$是锐角，且$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$∠ B=45°$。
【答案】
C
【知识点】
正弦的定义；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题，主要考查利用锐角三角函数求解直角三角形内角度数，熟练掌握锐角三角函数的定义和常见特殊角的三角函数值即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5. 计算：
(1)$\sqrt{8} - 3\sin 30° + |1 - \sqrt{2}| + 2^{-1}$；
(2)$(π - 2026)^0 + |\sqrt{2} - 2| + 2\sin 45° - (\frac{1}{3})^{-1}$。
(1)$\sqrt{8} - 3\sin 30° + |1 - \sqrt{2}| + 2^{-1}$；
(2)$(π - 2026)^0 + |\sqrt{2} - 2| + 2\sin 45° - (\frac{1}{3})^{-1}$。
答案
解:(1)原式$=2\sqrt{2}-3×\dfrac{1}{2}+\sqrt{2}-1+\dfrac{1}{2}=3\sqrt{2}-2$。
(2)原式$=1+2-\sqrt{2}+2×\dfrac{\sqrt{2}}{2}-3=1+2-\sqrt{2}+\sqrt{2}-3=0$。
(2)原式$=1+2-\sqrt{2}+2×\dfrac{\sqrt{2}}{2}-3=1+2-\sqrt{2}+\sqrt{2}-3=0$。
解析
【分析】
这两道题均属于实数混合运算题，解题时遵循“先拆分运算项、逐个化简，再合并计算”的思路：第一步先分别化简每一个运算项，包括二次根式、特殊锐角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂、零指数幂；第二步再按照实数的加减运算法则，合并同类二次根式、计算常数项的和差即可得到结果。
【解析】
(1) 先分别化简各项：
$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，因为$\sqrt{2}＞1$，所以$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$，$2^{-1}=\frac{1}{2}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=2\sqrt{2} - 3×\frac{1}{2} + (\sqrt{2}-1) + \frac{1}{2}\\&=2\sqrt{2} - \frac{3}{2} + \sqrt{2} -1 + \frac{1}{2}\\&=(2\sqrt{2}+\sqrt{2}) + (-\frac{3}{2}-1+\frac{1}{2})\\&=3\sqrt{2} -2\end{aligned}$
(2) 先分别化简各项：
任何非零数的0次幂为1，故$(π-2026)^0=1$；因为$\sqrt{2}＜2$，故$|\sqrt{2}-2|=2-\sqrt{2}$；$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$；$(\frac{1}{3})^{-1}=3$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=1 + (2-\sqrt{2}) + 2×\frac{\sqrt{2}}{2} -3\\&=1 +2 -\sqrt{2} + \sqrt{2} -3\\&=0\end{aligned}$
【答案】
(1) $3\sqrt{2}-2$；(2) $0$
【知识点】
特殊角的三角函数值；实数的混合运算；零指数幂与负整数指数幂
【点评】
本题是实数运算的常规基础题型，核心考查对各类运算性质的掌握，解题时需注意绝对值的化简规则、特殊角三角函数值的准确记忆，按顺序计算即可，难度不大。
【难度系数】
0.8
这两道题均属于实数混合运算题，解题时遵循“先拆分运算项、逐个化简，再合并计算”的思路：第一步先分别化简每一个运算项，包括二次根式、特殊锐角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂、零指数幂；第二步再按照实数的加减运算法则，合并同类二次根式、计算常数项的和差即可得到结果。
【解析】
(1) 先分别化简各项：
$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，因为$\sqrt{2}＞1$，所以$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$，$2^{-1}=\frac{1}{2}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=2\sqrt{2} - 3×\frac{1}{2} + (\sqrt{2}-1) + \frac{1}{2}\\&=2\sqrt{2} - \frac{3}{2} + \sqrt{2} -1 + \frac{1}{2}\\&=(2\sqrt{2}+\sqrt{2}) + (-\frac{3}{2}-1+\frac{1}{2})\\&=3\sqrt{2} -2\end{aligned}$
(2) 先分别化简各项：
任何非零数的0次幂为1，故$(π-2026)^0=1$；因为$\sqrt{2}＜2$，故$|\sqrt{2}-2|=2-\sqrt{2}$；$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$；$(\frac{1}{3})^{-1}=3$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=1 + (2-\sqrt{2}) + 2×\frac{\sqrt{2}}{2} -3\\&=1 +2 -\sqrt{2} + \sqrt{2} -3\\&=0\end{aligned}$
【答案】
(1) $3\sqrt{2}-2$；(2) $0$
【知识点】
特殊角的三角函数值；实数的混合运算；零指数幂与负整数指数幂
【点评】
本题是实数运算的常规基础题型，核心考查对各类运算性质的掌握，解题时需注意绝对值的化简规则、特殊角三角函数值的准确记忆，按顺序计算即可，难度不大。
【难度系数】
0.8
6. 如图, 在$△ ABC$中, $∠ C=90°$, $AB=13$, $BC=12$. 求$\sin B$的值. 
答案
解:$\because ∠C=90°,AB=13,BC=12$，
$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$，
$\therefore \sin B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{5}{13}$。
$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$，
$\therefore \sin B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{5}{13}$。
解析
【分析】
要求$\sin B$的值，首先要明确锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边长度与斜边长度的比值。本题中$△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$，$∠ B$的斜边为已知的$AB$，但$∠ B$的对边$AC$未知，因此需要先通过勾股定理计算出$AC$的长度，再代入正弦定义即可求出结果。
【解析】
解：$\because ∠ C=90°$，$AB=13$，$BC=12$，
$\therefore$ 由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$，
根据正弦的定义，$\sin B=\frac{∠ B\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{13}$。
【答案】
$\dfrac{5}{13}$
【知识点】
勾股定理，锐角正弦的定义
【点评】
本题是基础运算题，核心考查直角三角形中勾股定理的应用和锐角正弦的定义，解题时注意准确区分锐角的对边和邻边，计算过程细心即可得分。
【难度系数】
0.9
要求$\sin B$的值，首先要明确锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边长度与斜边长度的比值。本题中$△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$，$∠ B$的斜边为已知的$AB$，但$∠ B$的对边$AC$未知，因此需要先通过勾股定理计算出$AC$的长度，再代入正弦定义即可求出结果。
【解析】
解：$\because ∠ C=90°$，$AB=13$，$BC=12$，
$\therefore$ 由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$，
根据正弦的定义，$\sin B=\frac{∠ B\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{13}$。
【答案】
$\dfrac{5}{13}$
【知识点】
勾股定理，锐角正弦的定义
【点评】
本题是基础运算题，核心考查直角三角形中勾股定理的应用和锐角正弦的定义，解题时注意准确区分锐角的对边和邻边，计算过程细心即可得分。
【难度系数】
0.9
7. 如图,在正方形网格中有$△ ABC$,其中顶点A,B,C均在格点上,则$\sin∠ ABC$的值等于
(
A.$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
B.$\frac{\sqrt{10}}{10}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\sqrt{10}$
(
B
)A.$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
B.$\frac{\sqrt{10}}{10}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\sqrt{10}$
答案
7. B
解析
【分析】
要求$\sin∠ ABC$的值，需结合锐角正弦的定义，将$∠ ABC$置于直角三角形中，计算其对边与斜边的比值。我们可以先设每个小正方形的边长为1，用勾股定理计算$△ ABC$三边的长度，再通过勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，若为直角三角形即可直接根据正弦定义计算对应比值。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各边长度：
$AB = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$，
$AC = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$，
$BC = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5$。
验证三边关系：$AB^2 + AC^2 = (2\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 = 20 + 5 = 25 = 5^2 = BC^2$，因此$△ ABC$是直角三角形，且$∠ BAC = 90°$。
根据锐角正弦的定义，在$Rt△ ABC$中，$\sin∠ ABC = \frac{∠ ABC的对边}{斜边} = \frac{AC}{BC} = \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{10}}{10}$（分母有理化得到最终结果）。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理及逆定理，锐角正弦的定义
【点评】
本题是网格中求锐角三角函数值的常见题型，解题的核心是先利用网格特征结合勾股定理得到三角形各边长度，判断出直角三角形后即可结合三角函数定义求解，计算时要注意区分角的对边和邻边，避免混淆。
【难度系数】
0.7
要求$\sin∠ ABC$的值，需结合锐角正弦的定义，将$∠ ABC$置于直角三角形中，计算其对边与斜边的比值。我们可以先设每个小正方形的边长为1，用勾股定理计算$△ ABC$三边的长度，再通过勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，若为直角三角形即可直接根据正弦定义计算对应比值。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各边长度：
$AB = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$，
$AC = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$，
$BC = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5$。
验证三边关系：$AB^2 + AC^2 = (2\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 = 20 + 5 = 25 = 5^2 = BC^2$，因此$△ ABC$是直角三角形，且$∠ BAC = 90°$。
根据锐角正弦的定义，在$Rt△ ABC$中，$\sin∠ ABC = \frac{∠ ABC的对边}{斜边} = \frac{AC}{BC} = \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{10}}{10}$（分母有理化得到最终结果）。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理及逆定理，锐角正弦的定义
【点评】
本题是网格中求锐角三角函数值的常见题型，解题的核心是先利用网格特征结合勾股定理得到三角形各边长度，判断出直角三角形后即可结合三角函数定义求解，计算时要注意区分角的对边和邻边，避免混淆。
【难度系数】
0.7
8. 已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，如果$∠ A$的正弦值为$\frac{2}{5}$，那么$∠ B$的正弦值为________。
答案
$\dfrac{\sqrt{21}}{5}$
解析
【分析】
本题考查直角三角形中锐角正弦的计算，解题思路如下：第一步，根据锐角正弦的定义，结合∠A的正弦值，用参数表示出∠A的对边和斜边的长度；第二步，利用勾股定理计算出∠B的对边的长度；第三步，再根据正弦的定义，用∠B的对边除以斜边即可求出∠B的正弦值，计算过程中参数会被约掉，不影响最终结果。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据正弦的定义，$\sin A = \frac{∠ A的对边}{斜边} = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{5}$，
设$BC=2k$（$k＞0$），则$AB=5k$，
由勾股定理得：$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(5k)^2 - (2k)^2} = \sqrt{25k^2 - 4k^2} = \sqrt{21}k$，
又$\sin B = \frac{∠ B的对边}{斜边} = \frac{AC}{AB}$，
代入得$\sin B = \frac{\sqrt{21}k}{5k} = \frac{\sqrt{21}}{5}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{21}}{5}$
【知识点】
锐角正弦的定义；勾股定理
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题型，重点考查对正弦定义的理解和勾股定理的应用，通过设参数的方法可简化计算过程，熟练掌握相关定义和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题考查直角三角形中锐角正弦的计算，解题思路如下：第一步，根据锐角正弦的定义，结合∠A的正弦值，用参数表示出∠A的对边和斜边的长度；第二步，利用勾股定理计算出∠B的对边的长度；第三步，再根据正弦的定义，用∠B的对边除以斜边即可求出∠B的正弦值，计算过程中参数会被约掉，不影响最终结果。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据正弦的定义，$\sin A = \frac{∠ A的对边}{斜边} = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{5}$，
设$BC=2k$（$k＞0$），则$AB=5k$，
由勾股定理得：$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(5k)^2 - (2k)^2} = \sqrt{25k^2 - 4k^2} = \sqrt{21}k$，
又$\sin B = \frac{∠ B的对边}{斜边} = \frac{AC}{AB}$，
代入得$\sin B = \frac{\sqrt{21}k}{5k} = \frac{\sqrt{21}}{5}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{21}}{5}$
【知识点】
锐角正弦的定义；勾股定理
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题型，重点考查对正弦定义的理解和勾股定理的应用，通过设参数的方法可简化计算过程，熟练掌握相关定义和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
9. 如图，菱形ABCD的边长为15，$\sin∠ BAC=\dfrac{3}{5}$，则对角线AC的长为
24
。答案
9. 24
解析
【分析】
解题时首先利用菱形对角线互相垂直且平分的性质，构造出含∠BAC的直角三角形。结合锐角正弦的定义，先求出直角三角形中BO的边长，再通过勾股定理计算AO的长度，最后由AC=2AO即可求出对角线AC的长。
【解析】
设菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，根据菱形的性质可知：AC⊥BD，AO=OC=$\frac{1}{2}$AC，即△AOB为直角三角形。
在Rt△AOB中，AB=15，$\sin∠BAC=\frac{BO}{AB}=\frac{3}{5}$，
∴$BO=AB×\frac{3}{5}=15×\frac{3}{5}=9$，
由勾股定理得：$AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12$，
∴$AC=2AO=2×12=24$。
【答案】
24
【知识点】
菱形的性质；正弦的定义；勾股定理
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是利用菱形对角线互相垂直的特性构造直角三角形，将锐角三角函数与勾股定理结合求解线段长度，是三角函数章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用菱形对角线互相垂直且平分的性质，构造出含∠BAC的直角三角形。结合锐角正弦的定义，先求出直角三角形中BO的边长，再通过勾股定理计算AO的长度，最后由AC=2AO即可求出对角线AC的长。
【解析】
设菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，根据菱形的性质可知：AC⊥BD，AO=OC=$\frac{1}{2}$AC，即△AOB为直角三角形。
在Rt△AOB中，AB=15，$\sin∠BAC=\frac{BO}{AB}=\frac{3}{5}$，
∴$BO=AB×\frac{3}{5}=15×\frac{3}{5}=9$，
由勾股定理得：$AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12$，
∴$AC=2AO=2×12=24$。
【答案】
24
【知识点】
菱形的性质；正弦的定义；勾股定理
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是利用菱形对角线互相垂直的特性构造直角三角形，将锐角三角函数与勾股定理结合求解线段长度，是三角函数章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
10. 如图，在$△ ABC$中，$∠ B = 45°$，$AC = 5$，$BC = 3$，求$\sin A$的值和$AB$的长.
答案
解:过点C作$CD⊥AB$于点D，如图所示，
$\therefore ∠BDC=∠ADC=90°$。
在$Rt△BDC$中，$\because ∠B=45°,BC=3$，
$\therefore BD=CD=BC· \sin45°=3×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore \sin A=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{3\sqrt{2}}{10}$。
在$Rt△ADC$中，由勾股定理，得$AD=\dfrac{\sqrt{82}}{2}$，
$\therefore AB=BD+AD=\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{82}}{2}$。
解析
【分析】
要计算$\sin A$的值和$AB$的长，首先明确正弦的定义是直角三角形中锐角的对边与斜边的比值，当前$∠ A$不在直角三角形中，因此需要构造含$∠ A$的直角三角形，选择过点$C$作$CD⊥ AB$于$D$，将原三角形拆分为两个直角三角形。第一步先在$Rt△ BDC$中，利用$∠ B=45°$的特殊角性质算出$CD$和$BD$的长度，$CD$就是$Rt△ ADC$中$∠ A$的对边，直接代入正弦定义即可求出$\sin A$；第二步在$Rt△ ADC$中，已知$AC$和$CD$的长度，用勾股定理求出$AD$的长，$AB$的长度就是$BD$与$AD$的和，按此步骤逐步计算即可。
【解析】
过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$，如图所示，
$\therefore ∠ BDC=∠ ADC=90°$。
在$Rt△ BDC$中，$\because ∠ B=45°,BC=3$，
$\therefore BD=CD=BC· \sin45°=3×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore \sin A=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{\dfrac{3\sqrt{2}}{2}}{5}=\dfrac{3\sqrt{2}}{10}$。
在$Rt△ ADC$中，由勾股定理，得$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{5^2-(\dfrac{3\sqrt{2}}{2})^2}=\dfrac{\sqrt{82}}{2}$，
$\therefore AB=BD+AD=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{82}}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{82}}{2}$。
【答案】
过点C作$CD⊥AB$于点D，如图所示，
$\therefore ∠BDC=∠ADC=90°$。
在$Rt△BDC$中，$\because ∠B=45°,BC=3$，
$\therefore BD=CD=BC· \sin45°=3×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore \sin A=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{3\sqrt{2}}{10}$。
在$Rt△ADC$中，由勾股定理，得$AD=\dfrac{\sqrt{82}}{2}$，
$\therefore AB=BD+AD=\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{82}}{2}$。
【知识点】
正弦的定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题属于锐角三角函数的常规应用题型，核心是通过作高将斜三角形转化为直角三角形，结合特殊角的三角函数值、勾股定理即可完成求解，能帮助学生掌握构造直角三角形解决三角函数问题的常用思路。
【难度系数】
0.7
要计算$\sin A$的值和$AB$的长，首先明确正弦的定义是直角三角形中锐角的对边与斜边的比值，当前$∠ A$不在直角三角形中，因此需要构造含$∠ A$的直角三角形，选择过点$C$作$CD⊥ AB$于$D$，将原三角形拆分为两个直角三角形。第一步先在$Rt△ BDC$中，利用$∠ B=45°$的特殊角性质算出$CD$和$BD$的长度，$CD$就是$Rt△ ADC$中$∠ A$的对边，直接代入正弦定义即可求出$\sin A$；第二步在$Rt△ ADC$中，已知$AC$和$CD$的长度，用勾股定理求出$AD$的长，$AB$的长度就是$BD$与$AD$的和，按此步骤逐步计算即可。
【解析】
过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$，如图所示，
$\therefore ∠ BDC=∠ ADC=90°$。
在$Rt△ BDC$中，$\because ∠ B=45°,BC=3$，
$\therefore BD=CD=BC· \sin45°=3×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore \sin A=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{\dfrac{3\sqrt{2}}{2}}{5}=\dfrac{3\sqrt{2}}{10}$。
在$Rt△ ADC$中，由勾股定理，得$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{5^2-(\dfrac{3\sqrt{2}}{2})^2}=\dfrac{\sqrt{82}}{2}$，
$\therefore AB=BD+AD=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{82}}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{82}}{2}$。
【答案】
过点C作$CD⊥AB$于点D，如图所示，
$\therefore ∠BDC=∠ADC=90°$。
在$Rt△BDC$中，$\because ∠B=45°,BC=3$，
$\therefore BD=CD=BC· \sin45°=3×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore \sin A=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{3\sqrt{2}}{10}$。
在$Rt△ADC$中，由勾股定理，得$AD=\dfrac{\sqrt{82}}{2}$，
$\therefore AB=BD+AD=\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{82}}{2}$。
【知识点】
正弦的定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题属于锐角三角函数的常规应用题型，核心是通过作高将斜三角形转化为直角三角形，结合特殊角的三角函数值、勾股定理即可完成求解，能帮助学生掌握构造直角三角形解决三角函数问题的常用思路。
【难度系数】
0.7
