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13. (2025 衡阳期末)如图,四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形,若OA:OA'=2:3,四边形ABCD的面积等于4,则四边形A'B'C'D'的面积为 (
A.3
B.4
C.6
D.9
D
)A.3
B.4
C.6
D.9
答案
13. D
解析
【分析】
遇到位似图形相关的面积计算问题，首先回忆位似图形的性质：位似图形是特殊的相似图形，对应点到位似中心的距离之比等于相似比，且相似图形的面积比等于相似比的平方。解题时先根据已知的OA与OA'的比值确定两个四边形的相似比，再利用面积比和相似比的关系建立等式，代入已知面积即可求出目标图形的面积。
【解析】
∵ 四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，
∴ 两个四边形是相似图形，且相似比为$OA:OA'=2:3$，
根据相似图形的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方，
∴ $S_{四边形ABCD}:S_{四边形A'B'C'D'}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，
又
∵ $S_{四边形ABCD}=4$，
∴ $4:S_{四边形A'B'C'D'}=4:9$，
解得 $S_{四边形A'B'C'D'}=9$。
【答案】
D
【知识点】
位似图形的性质；相似图形面积与相似比的关系
【点评】
本题是基础题型，核心考查位似与相似的性质关联，解题的关键是明确位似图形的相似比等于对应点到位似中心的距离之比，牢记相似图形面积比是相似比的平方即可快速解题。
【难度系数】
0.8
遇到位似图形相关的面积计算问题，首先回忆位似图形的性质：位似图形是特殊的相似图形，对应点到位似中心的距离之比等于相似比，且相似图形的面积比等于相似比的平方。解题时先根据已知的OA与OA'的比值确定两个四边形的相似比，再利用面积比和相似比的关系建立等式，代入已知面积即可求出目标图形的面积。
【解析】
∵ 四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，
∴ 两个四边形是相似图形，且相似比为$OA:OA'=2:3$，
根据相似图形的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方，
∴ $S_{四边形ABCD}:S_{四边形A'B'C'D'}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，
又
∵ $S_{四边形ABCD}=4$，
∴ $4:S_{四边形A'B'C'D'}=4:9$，
解得 $S_{四边形A'B'C'D'}=9$。
【答案】
D
【知识点】
位似图形的性质；相似图形面积与相似比的关系
【点评】
本题是基础题型，核心考查位似与相似的性质关联，解题的关键是明确位似图形的相似比等于对应点到位似中心的距离之比，牢记相似图形面积比是相似比的平方即可快速解题。
【难度系数】
0.8
14.如图，$△ ABC$的三个顶点坐标分别是$A(0,3),B(1,0),C(3,1)$.
(1)以原点$O$为位似中心，在$y$轴左侧画出$△ A_1B_1C_1$，使得$△ A_1B_1C_1$与$△ ABC$的相似比为$2:1$.
(2)$△ ABC$的内部有一点$M$的坐标为$(a,b)$，则点$M$在$△ A_1B_1C_1$中的对应点$M_1$的坐标是多少？
(1)以原点$O$为位似中心，在$y$轴左侧画出$△ A_1B_1C_1$，使得$△ A_1B_1C_1$与$△ ABC$的相似比为$2:1$.
(2)$△ ABC$的内部有一点$M$的坐标为$(a,b)$，则点$M$在$△ A_1B_1C_1$中的对应点$M_1$的坐标是多少？
答案
14. 解:(1)如图,$△ A_1B_1C_1$即为所求作的三角形.
(2)点$M$在$△ A_1B_1C_1$中的对应点$M_1$的坐标是$(-2a,-2b)$.
解析
【分析】
本题考查位似变换的作图与坐标变化规律。解题思路如下：(1) 首先明确位似中心为原点O，相似比为2:1，且△A₁B₁C₁在y轴左侧，说明新图形与原图形位于原点异侧，对应点的坐标为原坐标乘以-2，先分别计算A、B、C三点的对应点坐标，再描点、顺次连线即可得到所求三角形；(2) 直接套用原点为位似中心的坐标变换规律，将点M的横、纵坐标分别乘以-2，即可得到对应点M₁的坐标。
【解析】
(1) 计算三个顶点的对应点坐标：
已知A(0,3)，B(1,0)，C(3,1)，位似比为2:1，对应图形在原点异侧，因此坐标变换系数为-2：
A₁的坐标：$(0×(-2), 3×(-2))=(0,-6)$
B₁的坐标：$(1×(-2), 0×(-2))=(-2,0)$
C₁的坐标：$(3×(-2), 1×(-2))=(-6,-2)$
在坐标系中描出A₁(0,-6)、B₁(-2,0)、C₁(-6,-2)，顺次连接三点，所得△A₁B₁C₁即为所求。
(2) 根据以原点为位似中心的位似变换坐标规律：若位似比为k，且对应图形与原图形在原点异侧，则原坐标$(x,y)$的对应点坐标为$(-kx,-ky)$。
本题中相似比为2:1，即$k=2$，点M坐标为$(a,b)$，因此对应点M₁的坐标为$(-2a,-2b)$。
【答案】
(1)
(2) $(-2a,-2b)$
【知识点】
位似图形的性质；位似变换的坐标变化；位似作图
【点评】
本题属于基础题型，重点考查位似变换的相关性质，解题的核心是掌握以原点为位似中心时，对应点坐标的变化规律，尤其需要注意位似图形位于原点同侧和异侧时坐标的符号差异。
【难度系数】
0.8
本题考查位似变换的作图与坐标变化规律。解题思路如下：(1) 首先明确位似中心为原点O，相似比为2:1，且△A₁B₁C₁在y轴左侧，说明新图形与原图形位于原点异侧，对应点的坐标为原坐标乘以-2，先分别计算A、B、C三点的对应点坐标，再描点、顺次连线即可得到所求三角形；(2) 直接套用原点为位似中心的坐标变换规律，将点M的横、纵坐标分别乘以-2，即可得到对应点M₁的坐标。
【解析】
(1) 计算三个顶点的对应点坐标：
已知A(0,3)，B(1,0)，C(3,1)，位似比为2:1，对应图形在原点异侧，因此坐标变换系数为-2：
A₁的坐标：$(0×(-2), 3×(-2))=(0,-6)$
B₁的坐标：$(1×(-2), 0×(-2))=(-2,0)$
C₁的坐标：$(3×(-2), 1×(-2))=(-6,-2)$
在坐标系中描出A₁(0,-6)、B₁(-2,0)、C₁(-6,-2)，顺次连接三点，所得△A₁B₁C₁即为所求。
(2) 根据以原点为位似中心的位似变换坐标规律：若位似比为k，且对应图形与原图形在原点异侧，则原坐标$(x,y)$的对应点坐标为$(-kx,-ky)$。
本题中相似比为2:1，即$k=2$，点M坐标为$(a,b)$，因此对应点M₁的坐标为$(-2a,-2b)$。
【答案】
(1)
(2) $(-2a,-2b)$
【知识点】
位似图形的性质；位似变换的坐标变化；位似作图
【点评】
本题属于基础题型，重点考查位似变换的相关性质，解题的核心是掌握以原点为位似中心时，对应点坐标的变化规律，尤其需要注意位似图形位于原点同侧和异侧时坐标的符号差异。
【难度系数】
0.8
15.(应用意识)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”大意如下：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）。
答案
15. 解:根据题意可知:$DE=DG=200,AH=15$,
∵H为GD的中点,K为DE的中点,
∴$DH=100$,$DK=100$,
∵$AH// DK$,
∴$∠ CDK=∠ A$,
而$∠ CKD=∠ AHD$,
∴$△ CDK ∽ △ DAH$,$\therefore \frac{CK}{DH}=\frac{DK}{AH}$,
即$\frac{CK}{100}=\frac{100}{15}$,$\therefore CK=\frac{2000}{3}$.
答:出南门$\frac{2000}{3}$步恰好看到位于A处的树木.
∵H为GD的中点,K为DE的中点,
∴$DH=100$,$DK=100$,
∵$AH// DK$,
∴$∠ CDK=∠ A$,
而$∠ CKD=∠ AHD$,
∴$△ CDK ∽ △ DAH$,$\therefore \frac{CK}{DH}=\frac{DK}{AH}$,
即$\frac{CK}{100}=\frac{100}{15}$,$\therefore CK=\frac{2000}{3}$.
答:出南门$\frac{2000}{3}$步恰好看到位于A处的树木.
解析
【分析】
解题时首先梳理题目已知条件：正方形小城边长为200步，东门H、南门K分别为对应边的中点，A在出东门15步位置，要求出南门到C的距离。首先可先求出DH、DK的长度，再根据平行线的性质得到相等的角，结合直角相等证明△CDK与△DAH相似，最后利用相似三角形对应边成比例列等式求解CK即可。
【解析】
解：根据题意可知：$DE=DG=200$，$AH=15$，
∵H为GD的中点，K为DE的中点，
∴$DH=\frac{1}{2}DG=100$，$DK=\frac{1}{2}DE=100$，
∵$AH// DK$，
∴$∠ CDK=∠ A$，
又
∵$∠ CKD=∠ AHD=90°$，
∴$△ CDK ∽ △ DAH$，
∴$\frac{CK}{DH}=\frac{DK}{AH}$，
代入数值得$\frac{CK}{100}=\frac{100}{15}$，
解得$CK=\frac{2000}{3}$。
【答案】
出南门$\frac{2000}{3}$步恰好看到位于A处的树木。
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 正方形的性质
【点评】
本题结合中国古代数学问题考查相似三角形的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为几何相似模型，找到对应相似三角形，利用相似性质求解，充分体现了数学的应用价值。
【难度系数】
0.7
解题时首先梳理题目已知条件：正方形小城边长为200步，东门H、南门K分别为对应边的中点，A在出东门15步位置，要求出南门到C的距离。首先可先求出DH、DK的长度，再根据平行线的性质得到相等的角，结合直角相等证明△CDK与△DAH相似，最后利用相似三角形对应边成比例列等式求解CK即可。
【解析】
解：根据题意可知：$DE=DG=200$，$AH=15$，
∵H为GD的中点，K为DE的中点，
∴$DH=\frac{1}{2}DG=100$，$DK=\frac{1}{2}DE=100$，
∵$AH// DK$，
∴$∠ CDK=∠ A$，
又
∵$∠ CKD=∠ AHD=90°$，
∴$△ CDK ∽ △ DAH$，
∴$\frac{CK}{DH}=\frac{DK}{AH}$，
代入数值得$\frac{CK}{100}=\frac{100}{15}$，
解得$CK=\frac{2000}{3}$。
【答案】
出南门$\frac{2000}{3}$步恰好看到位于A处的树木。
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 正方形的性质
【点评】
本题结合中国古代数学问题考查相似三角形的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为几何相似模型，找到对应相似三角形，利用相似性质求解，充分体现了数学的应用价值。
【难度系数】
0.7
