3. 为了解学生的视力情况,从甲、乙两班各随机抽取8名学生进行调查,并将统计数据绘制成如图6-1-10所示的折线统计图,图中视力值均在格线上,则下列说法错误的是()。

A.乙班视力值的众数是4.7
B.甲、乙两班视力值的平均数相等
C.甲班视力值的离差平方和小于乙班
D.视力值的波动程度甲班大于乙班

D

4. 某村欲购进一批杏树,考察中随机从甲、乙、丙、丁四个品种中各选了10棵,每棵产量(单位：kg)的平均数$\overline{x}及方差s^{2}$如表6-1-7所示,该村准备从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的杏树,则应选的品种是哪个?

解：由题表数据可知，甲品种、乙品种的平均数比丙品种、丁品种大，且甲品种的方差比乙品种的小，所以甲品种的产量既高又稳定，所以应选的品种是甲。

解：由题表数据可知，甲、乙品种的平均数为$40$，丙、丁品种的平均数为$38$，故甲、乙品种的产量高于丙、丁品种；甲品种的方差$s^{2}=1.8$，乙品种的方差$s^{2}=2.3$，且$1.8＜2.3$，故甲品种的产量比乙品种更稳定。综上，甲品种的产量既高又稳定，应选的品种是甲。

5. 某校国旗护卫队原有5名学生,身高(单位：cm)分别为173,174,174,174,175,若增加一位身高为174cm的学生,则国旗护卫队学生身高的离差平方和及方差会发生什么变化? 请通过计算说明。

解：根据平均数公式计算得$\frac{1}{5}(173+174+174+174+175)=174(cm)$，可知原来的5名学生的身高的平均数为174 cm。根据离差平方和及方差公式计算得$S^{2}=(173-174)^{2}+(174-174)^{2}+(174-174)^{2}+(174-174)^{2}+(175-174)^{2}=2$，$s^{2}=[(173-174)^{2}+(174-174)^{2}+(174-174)^{2}+(174-174)^{2}+(175-174)^{2}]÷5=\frac{2}{5}$。增加一位身高为174 cm的学生，平均数不变，通过离差平方和及方差公式计算得$S_{1}^{2}=(173-174)^{2}+(174-174)^{2}+(174-174)^{2}+(174-174)^{2}+(175-174)^{2}+(174-174)^{2}=2$，$s_{1}^{2}=[(173-174)^{2}+(174-174)^{2}+(174-174)^{2}+(174-174)^{2}+(175-174)^{2}+(174-174)^{2}]÷6=\frac{1}{3}$。由计算结果可知，离差平方和不变，方差减小。

原来5名学生身高的平均数为：$\frac{1}{5}×(173 + 174 + 174 + 174 + 175)=174\ cm$。
离差平方和：$(173 - 174)^{2}+(174 - 174)^{2}+(174 - 174)^{2}+(174 - 174)^{2}+(175 - 174)^{2}=(-1)^{2}+0^{2}+0^{2}+0^{2}+1^{2}=1 + 0 + 0 + 0 + 1=2$。
方差：$\frac{2}{5}$。
增加一位身高174cm的学生后，6名学生身高的平均数为：$\frac{1}{6}×(173 + 174 + 174 + 174 + 175 + 174)=174\ cm$。
离差平方和：$(173 - 174)^{2}+(174 - 174)^{2}+(174 - 174)^{2}+(174 - 174)^{2}+(175 - 174)^{2}+(174 - 174)^{2}=(-1)^{2}+0^{2}+0^{2}+0^{2}+1^{2}+0^{2}=1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 0=2$。
方差：$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
离差平方和不变，方差减小。