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8.为备战合肥马拉松比赛，小彬和小强每天坚持在学校400 m的环形跑道上跑步，小彬每秒跑4 m，小强每秒跑6 m.如果两人在跑道上相距10 m处，同时“背对背”出发，那么经过多少秒两人首次相遇？
答案
8.解：设经过$x$ s两人首次相遇，
根据题意，得$4x+6x=400-10$，解得$x=39$。
答：经过39 s两人首次相遇。
根据题意，得$4x+6x=400-10$，解得$x=39$。
答：经过39 s两人首次相遇。
解析
【分析】
这是环形跑道背向出发的相遇问题，解题思路如下：首先明确等量关系，两人初始相距10m且背对背出发，首次相遇时两人跑的总路程等于环形跑道总长减去初始相距的10m。我们可以设相遇时间为未知数，根据“路程=速度×时间”分别表示两人的行驶路程，再结合路程和的等量关系列出一元一次方程，最后用合并同类项的方法解方程即可得到结果。
【解析】
解：设经过$x$ s两人首次相遇。
小彬的行驶路程为$4x$ m，小强的行驶路程为$6x$ m，根据两人首次相遇时路程和为$(400-10)$ m，列方程得：
$4x+6x=400-10$
合并同类项，得：$10x=390$
系数化为1，得：$x=39$
答：经过39 s两人首次相遇。
【答案】
39 s
【知识点】
一元一次方程的应用；行程相遇问题
【点评】
本题是行程类一元一次方程应用的基础题型，解题核心是准确梳理出两人路程和的等量关系，掌握相遇问题的路程和规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这是环形跑道背向出发的相遇问题，解题思路如下：首先明确等量关系，两人初始相距10m且背对背出发，首次相遇时两人跑的总路程等于环形跑道总长减去初始相距的10m。我们可以设相遇时间为未知数，根据“路程=速度×时间”分别表示两人的行驶路程，再结合路程和的等量关系列出一元一次方程，最后用合并同类项的方法解方程即可得到结果。
【解析】
解：设经过$x$ s两人首次相遇。
小彬的行驶路程为$4x$ m，小强的行驶路程为$6x$ m，根据两人首次相遇时路程和为$(400-10)$ m，列方程得：
$4x+6x=400-10$
合并同类项，得：$10x=390$
系数化为1，得：$x=39$
答：经过39 s两人首次相遇。
【答案】
39 s
【知识点】
一元一次方程的应用；行程相遇问题
【点评】
本题是行程类一元一次方程应用的基础题型，解题核心是准确梳理出两人路程和的等量关系，掌握相遇问题的路程和规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
9.若代数式$3x - 4$与$2x + 1$互为相反数，则$x$的值为(
A.$\dfrac{3}{5}$
B.$1$
C.$\dfrac{5}{3}$
D.$-1$
A
)A.$\dfrac{3}{5}$
B.$1$
C.$\dfrac{5}{3}$
D.$-1$
答案
9.A
解析
【分析】
解题的核心是先利用相反数的性质：互为相反数的两个数的和为0，据此列出关于x的一元一次方程，再按照解一元一次方程的常规步骤（合并同类项、移项、系数化为1）计算，就能得到x的取值，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：已知代数式$3x-4$与$2x+1$互为相反数，根据“互为相反数的两数之和为0”可列方程：
$3x - 4 + 2x + 1 = 0$
合并同类项，得：$5x - 3 = 0$
移项，得：$5x = 3$
系数化为1，得：$x = \frac{3}{5}$
【答案】
A
【知识点】
相反数的性质；解一元一次方程；合并同类项
【点评】
本题属于基础题，将相反数的基础概念和一元一次方程的求解结合考查，只要掌握相关基础知识点就能快速解题。
【难度系数】
0.85
解题的核心是先利用相反数的性质：互为相反数的两个数的和为0，据此列出关于x的一元一次方程，再按照解一元一次方程的常规步骤（合并同类项、移项、系数化为1）计算，就能得到x的取值，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：已知代数式$3x-4$与$2x+1$互为相反数，根据“互为相反数的两数之和为0”可列方程：
$3x - 4 + 2x + 1 = 0$
合并同类项，得：$5x - 3 = 0$
移项，得：$5x = 3$
系数化为1，得：$x = \frac{3}{5}$
【答案】
A
【知识点】
相反数的性质；解一元一次方程；合并同类项
【点评】
本题属于基础题，将相反数的基础概念和一元一次方程的求解结合考查，只要掌握相关基础知识点就能快速解题。
【难度系数】
0.85
10.若关于$x$的方程$2ax - ax = 3$的解为自然数，则整数$a$的值为(
A.1
B.3
C.1或3
D.$\pm1$或$\pm3$
C
)A.1
B.3
C.1或3
D.$\pm1$或$\pm3$
答案
10.C
解析
【分析】
拿到本题，首先按照解一元一次方程的步骤，先对左侧含x的项合并同类项化简方程，再将x用含a的代数式表示，最后结合“解为自然数”“a为整数”两个限制条件，筛选出符合要求的a的值即可。注意自然数是非负整数，本题中x不可能为0，因此x必须为正整数，a只能是3的正约数。
【解析】
解：对原方程合并同类项：
$2ax - ax = 3$
$(2a - a)x = 3$
化简得 $ax = 3$
若$a=0$，方程左边为0，右边为3，等式不成立，因此$a ≠ 0$，可得方程的解为 $x = \frac{3}{a}$
∵ 方程的解$x$是自然数，$a$是整数
∴ $\frac{3}{a}$是正整数（自然数包含0，但$\frac{3}{a}$不可能为0，故$x$为正整数）
∴ 整数$a$是3的正约数，3的正约数为1、3：
① 当$a=1$时，$x=3$，是自然数，符合要求；
② 当$a=3$时，$x=1$，是自然数，符合要求；
若$a$为负整数，$x=\frac{3}{a}$为负数，不属于自然数，不符合要求。
因此整数$a$的值为1或3，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 合并同类项解一元一次方程
2. 一元一次方程的解
3. 自然数的概念
【点评】
本题综合考查一元一次方程的解法和数的分类相关知识，解题核心是先化简方程求出解的表达式，再结合限制条件筛选参数值，需注意自然数的取值范围，避免忽略符号误选含负数值的选项。
【难度系数】
0.7
拿到本题，首先按照解一元一次方程的步骤，先对左侧含x的项合并同类项化简方程，再将x用含a的代数式表示，最后结合“解为自然数”“a为整数”两个限制条件，筛选出符合要求的a的值即可。注意自然数是非负整数，本题中x不可能为0，因此x必须为正整数，a只能是3的正约数。
【解析】
解：对原方程合并同类项：
$2ax - ax = 3$
$(2a - a)x = 3$
化简得 $ax = 3$
若$a=0$，方程左边为0，右边为3，等式不成立，因此$a ≠ 0$，可得方程的解为 $x = \frac{3}{a}$
∵ 方程的解$x$是自然数，$a$是整数
∴ $\frac{3}{a}$是正整数（自然数包含0，但$\frac{3}{a}$不可能为0，故$x$为正整数）
∴ 整数$a$是3的正约数，3的正约数为1、3：
① 当$a=1$时，$x=3$，是自然数，符合要求；
② 当$a=3$时，$x=1$，是自然数，符合要求；
若$a$为负整数，$x=\frac{3}{a}$为负数，不属于自然数，不符合要求。
因此整数$a$的值为1或3，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 合并同类项解一元一次方程
2. 一元一次方程的解
3. 自然数的概念
【点评】
本题综合考查一元一次方程的解法和数的分类相关知识，解题核心是先化简方程求出解的表达式，再结合限制条件筛选参数值，需注意自然数的取值范围，避免忽略符号误选含负数值的选项。
【难度系数】
0.7
11.甲、乙、丙三辆卡车所运货物的质量比为6：7：4.5，已知甲车比乙车少运货物12 t，则三辆卡车共运货物(
A.20 t
B.130 t
C.210 t
D.150 t
C
)A.20 t
B.130 t
C.210 t
D.150 t
答案
11.C
解析
【分析】
遇到已知多个量的比例关系及其中两个量的差值的问题，我们可以采用设参数的方法：先设每份货物的质量为未知数，用含未知数的式子分别表示甲、乙、丙三车的运货质量，再根据“甲车比乙车少运货物12 t”这个等量关系列出一元一次方程，求出参数的值后，再计算三车运货总质量即可。
【解析】
解：设三辆卡车所运货物每份的质量为$ x \, \mathrm{t} $，则甲车运货$ 6x \, \mathrm{t} $，乙车运货$ 7x \, \mathrm{t} $，丙车运货$ 4.5x \, \mathrm{t} $。
根据题意列方程：
$ 7x - 6x = 12 $
合并同类项，得$ x = 12 $
三辆卡车共运货质量为：$ 6x + 7x + 4.5x = 17.5x $
将$ x = 12 $代入，得$ 17.5 × 12 = 210 \, (\mathrm{t}) $
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程应用；比例问题求解；合并同类项解方程
【点评】
本题属于基础的实际应用题，核心考查比例类问题的设参方法和一元一次方程的列解能力，解题的突破口是抓住甲、乙两车的运量差建立等量关系，计算量较小，掌握设参数解比例问题的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
遇到已知多个量的比例关系及其中两个量的差值的问题，我们可以采用设参数的方法：先设每份货物的质量为未知数，用含未知数的式子分别表示甲、乙、丙三车的运货质量，再根据“甲车比乙车少运货物12 t”这个等量关系列出一元一次方程，求出参数的值后，再计算三车运货总质量即可。
【解析】
解：设三辆卡车所运货物每份的质量为$ x \, \mathrm{t} $，则甲车运货$ 6x \, \mathrm{t} $，乙车运货$ 7x \, \mathrm{t} $，丙车运货$ 4.5x \, \mathrm{t} $。
根据题意列方程：
$ 7x - 6x = 12 $
合并同类项，得$ x = 12 $
三辆卡车共运货质量为：$ 6x + 7x + 4.5x = 17.5x $
将$ x = 12 $代入，得$ 17.5 × 12 = 210 \, (\mathrm{t}) $
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程应用；比例问题求解；合并同类项解方程
【点评】
本题属于基础的实际应用题，核心考查比例类问题的设参方法和一元一次方程的列解能力，解题的突破口是抓住甲、乙两车的运量差建立等量关系，计算量较小，掌握设参数解比例问题的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
12. 数形结合思想 如图，8块相同的小长方形地砖拼成了一个大长方形图案，求每块地砖的宽.设每块地砖的宽为x cm,则x的值为 (
A.30
B.20
C.15
D.40
C
)A.30
B.20
C.15
D.40
答案
12.C
解析
【分析】
要解决这道几何拼接的方程问题，我们需要结合图形找等量关系：首先观察图形可知，3个小长方形的宽的长度等于1个小长方形的长的长度；其次大长方形的竖直边长为60cm，等于1个小长方形的长加1个小长方形的宽。我们设每块地砖的宽为x cm，就可以用含x的式子表示小长方形的长，再根据第二个等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
设每块地砖的宽为$ x $ cm，由图形可得小长方形的长为$ 3x $ cm。
根据大长方形竖直边长的等量关系可列方程：
$ 3x + x = 60 $
合并同类项，得：
$ 4x = 60 $
系数化为1，得：
$ x = 15 $
所以x的值为15，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用；合并同类项解方程；数形结合思想
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，解题核心是通过观察拼接图形，挖掘出小长方形长与宽的隐藏等量关系，再结合已知边长列方程求解，能有效锻炼学生的图形观察能力和方程建模意识。
【难度系数】
0.7
要解决这道几何拼接的方程问题，我们需要结合图形找等量关系：首先观察图形可知，3个小长方形的宽的长度等于1个小长方形的长的长度；其次大长方形的竖直边长为60cm，等于1个小长方形的长加1个小长方形的宽。我们设每块地砖的宽为x cm，就可以用含x的式子表示小长方形的长，再根据第二个等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
设每块地砖的宽为$ x $ cm，由图形可得小长方形的长为$ 3x $ cm。
根据大长方形竖直边长的等量关系可列方程：
$ 3x + x = 60 $
合并同类项，得：
$ 4x = 60 $
系数化为1，得：
$ x = 15 $
所以x的值为15，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用；合并同类项解方程；数形结合思想
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，解题核心是通过观察拼接图形，挖掘出小长方形长与宽的隐藏等量关系，再结合已知边长列方程求解，能有效锻炼学生的图形观察能力和方程建模意识。
【难度系数】
0.7
13.若方程$-7x + 4x = 21$与$-x -2x + m =5$的解相同，求$m$的值.
答案
13.解：将方程$-7x+4x=21$合并同类项，
得$-3x=21$，解得$x=-7$，
因为方程$-7x+4x=21$与$-x-2x+m=5$的解相同，
所以将$x=-7$代入$-x-2x+m=5$，
得$21+m=5$，解得$m=-16$。
得$-3x=21$，解得$x=-7$，
因为方程$-7x+4x=21$与$-x-2x+m=5$的解相同，
所以将$x=-7$代入$-x-2x+m=5$，
得$21+m=5$，解得$m=-16$。
解析
【分析】
本题属于同解方程求参数的问题，解题思路可分为两步：第一步先求解不含参数的一元一次方程$-7x + 4x = 21$，得到x的取值；第二步根据两个方程解相同的性质，将求得的x值代入含参数m的方程$-x -2x + m =5$，此时方程变为只含m的一元一次方程，求解即可得到m的值。
【解析】
解：先解方程$-7x+4x=21$，
合并同类项，得：$-3x=21$，
系数化为1，解得：$x=-7$。
因为方程$-7x + 4x = 21$与$-x -2x + m =5$的解相同，
所以$x=-7$也是方程$-x -2x + m =5$的解，
将$x=-7$代入$-x -2x + m =5$，得：
$-(-7)-2×(-7)+m=5$，
计算得：$7+14+m=5$，即$21+m=5$，
移项解得：$m=5-21=-16$。
【答案】
$m=-16$
【知识点】
合并同类项解一元一次方程；同解方程的性质；代入求值
【点评】
本题是同解方程类的基础题型，解题核心是先求出无参数方程的解，再利用解相同的性质代入含参数方程求解，熟练掌握一元一次方程的解法是做对这类题的前提。
【难度系数】
0.8
本题属于同解方程求参数的问题，解题思路可分为两步：第一步先求解不含参数的一元一次方程$-7x + 4x = 21$，得到x的取值；第二步根据两个方程解相同的性质，将求得的x值代入含参数m的方程$-x -2x + m =5$，此时方程变为只含m的一元一次方程，求解即可得到m的值。
【解析】
解：先解方程$-7x+4x=21$，
合并同类项，得：$-3x=21$，
系数化为1，解得：$x=-7$。
因为方程$-7x + 4x = 21$与$-x -2x + m =5$的解相同，
所以$x=-7$也是方程$-x -2x + m =5$的解，
将$x=-7$代入$-x -2x + m =5$，得：
$-(-7)-2×(-7)+m=5$，
计算得：$7+14+m=5$，即$21+m=5$，
移项解得：$m=5-21=-16$。
【答案】
$m=-16$
【知识点】
合并同类项解一元一次方程；同解方程的性质；代入求值
【点评】
本题是同解方程类的基础题型，解题核心是先求出无参数方程的解，再利用解相同的性质代入含参数方程求解，熟练掌握一元一次方程的解法是做对这类题的前提。
【难度系数】
0.8
14. 模型观念设$a,b,c,d$为实数,则我们把形如$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$的式子叫作二阶行列式,它的运算法则用公式表示为$ad - bc$,请利用此法则解决以下问题:
(1)求$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}$的值;
(2)若$\begin{vmatrix} -\dfrac{1}{6} & x \\ 4 & x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 3 \end{vmatrix}$,求$x$的值.
(1)求$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}$的值;
(2)若$\begin{vmatrix} -\dfrac{1}{6} & x \\ 4 & x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 3 \end{vmatrix}$,求$x$的值.
答案
14.解：(1)因为$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，
所以$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}=1×2-2×(-1)=2+2=4$。
(2)由题意得$-\frac{1}{6}x -4x=3×3-1×4$，
化简，得$-\frac{1}{6}x -4x=5$，
合并同类项，得$-\frac{25}{6}x=5$，解得$x=-\frac{6}{5}$。
所以$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}=1×2-2×(-1)=2+2=4$。
(2)由题意得$-\frac{1}{6}x -4x=3×3-1×4$，
化简，得$-\frac{1}{6}x -4x=5$，
合并同类项，得$-\frac{25}{6}x=5$，解得$x=-\frac{6}{5}$。
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题思路如下：①第(1)问直接套用二阶行列式的运算法则$ad-bc$，找到行列式中对应$a、b、c、d$的数值，代入计算即可，计算时要注意负号的处理；②第(2)问先分别将等号左右两边的二阶行列式按法则展开，左边展开后得到含$x$的代数式，右边展开后得到常数，即可转化为常见的一元一次方程，再按照合并同类项、系数化为1的步骤求解即可。
【解析】
(1) 根据二阶行列式的运算法则$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，可得：
$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}=1×2 - 2×(-1)=2+2=4$
(2) 先分别展开等号两侧的行列式：
左侧$\begin{vmatrix} -\dfrac{1}{6} & x \\ 4 & x \end{vmatrix}=(-\dfrac{1}{6})× x - x×4=-\dfrac{1}{6}x-4x$
右侧$\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 3 \end{vmatrix}=3×3 - 1×4=9-4=5$
根据题意列方程得：$-\dfrac{1}{6}x-4x=5$
合并同类项得：$-\dfrac{25}{6}x=5$
系数化为1得：$x=5×(-\dfrac{6}{25})=-\dfrac{6}{5}$
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{x=-\dfrac{6}{5}}$
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程
【点评】
本题以二阶行列式为载体考查基础运算能力，核心是准确理解新定义的运算规则，代入计算时注意符号不要出错，属于基础运算类题型。
【难度系数】
0.8
本题是新定义运算类题目，解题思路如下：①第(1)问直接套用二阶行列式的运算法则$ad-bc$，找到行列式中对应$a、b、c、d$的数值，代入计算即可，计算时要注意负号的处理；②第(2)问先分别将等号左右两边的二阶行列式按法则展开，左边展开后得到含$x$的代数式，右边展开后得到常数，即可转化为常见的一元一次方程，再按照合并同类项、系数化为1的步骤求解即可。
【解析】
(1) 根据二阶行列式的运算法则$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，可得：
$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}=1×2 - 2×(-1)=2+2=4$
(2) 先分别展开等号两侧的行列式：
左侧$\begin{vmatrix} -\dfrac{1}{6} & x \\ 4 & x \end{vmatrix}=(-\dfrac{1}{6})× x - x×4=-\dfrac{1}{6}x-4x$
右侧$\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 3 \end{vmatrix}=3×3 - 1×4=9-4=5$
根据题意列方程得：$-\dfrac{1}{6}x-4x=5$
合并同类项得：$-\dfrac{25}{6}x=5$
系数化为1得：$x=5×(-\dfrac{6}{25})=-\dfrac{6}{5}$
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{x=-\dfrac{6}{5}}$
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程
【点评】
本题以二阶行列式为载体考查基础运算能力，核心是准确理解新定义的运算规则，代入计算时注意符号不要出错，属于基础运算类题型。
【难度系数】
0.8
15. 数学文化中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口.求此人第一天和第六天共走了多少里.
答案
15.解：设此人第六天走的路程为$x$里，则第五天走的路程为$2x$里，依次往前推，第一天走的路程为$32x$里。
依题意得$x+2x+4x+8x+16x+32x=378$。
合并同类项，得$63x=378$。系数化为1，得$x=6$。
$x+32x=6+32×6=198$。
答：此人第一天和第六天共走了198里。
依题意得$x+2x+4x+8x+16x+32x=378$。
合并同类项，得$63x=378$。系数化为1，得$x=6$。
$x+32x=6+32×6=198$。
答：此人第一天和第六天共走了198里。
解析
【分析】
解题时先梳理各天路程的数量关系：从第二天起每天走的路程是前一天的一半，即前一天的路程是后一天的2倍。若直接设第一天的路程为未知数，后续路程会出现分数，计算较繁琐，因此可反过来设第六天的路程为x里，依次推出前五天的路程为2x、4x、8x、16x、32x里，再根据六天总路程为378里列方程，求解x后即可算出第一天和第六天的路程和。
【解析】
设此人第六天走的路程为$x$里，则第五天走的路程为$2x$里，依次往前推，第一天走的路程为$32x$里。
依题意得：$x+2x+4x+8x+16x+32x=378$
合并同类项，得：$63x=378$
系数化为1，得：$x=6$
则第一天和第六天共走的路程为：$x+32x=6+32×6=198$（里）
【答案】
此人第一天和第六天共走了198里。
【知识点】
一元一次方程的应用、合并同类项解一元一次方程
【点评】
本题结合中国古代数学文化背景出题，兼具趣味性和实用性，主要考查学生利用一元一次方程解决实际问题的能力，解题时可灵活选择未知数简化计算，同时要熟练掌握合并同类项解一元一次方程的步骤。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理各天路程的数量关系：从第二天起每天走的路程是前一天的一半，即前一天的路程是后一天的2倍。若直接设第一天的路程为未知数，后续路程会出现分数，计算较繁琐，因此可反过来设第六天的路程为x里，依次推出前五天的路程为2x、4x、8x、16x、32x里，再根据六天总路程为378里列方程，求解x后即可算出第一天和第六天的路程和。
【解析】
设此人第六天走的路程为$x$里，则第五天走的路程为$2x$里，依次往前推，第一天走的路程为$32x$里。
依题意得：$x+2x+4x+8x+16x+32x=378$
合并同类项，得：$63x=378$
系数化为1，得：$x=6$
则第一天和第六天共走的路程为：$x+32x=6+32×6=198$（里）
【答案】
此人第一天和第六天共走了198里。
【知识点】
一元一次方程的应用、合并同类项解一元一次方程
【点评】
本题结合中国古代数学文化背景出题，兼具趣味性和实用性，主要考查学生利用一元一次方程解决实际问题的能力，解题时可灵活选择未知数简化计算，同时要熟练掌握合并同类项解一元一次方程的步骤。
【难度系数】
0.8
