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5. 下列函数关系中,是二次函数关系的是
①正方形的面积S与边长x的关系；
②底面圆半径为5 cm的圆柱中,侧面积y(单位:cm²)与圆柱的高x(单位:cm)的关系；
③面积为10 cm²的矩形中,矩形的长y(单位:cm)与宽x(单位:cm)的关系；
④圆的面积S与半径R之间的关系.
①④
.(填序号)①正方形的面积S与边长x的关系；
②底面圆半径为5 cm的圆柱中,侧面积y(单位:cm²)与圆柱的高x(单位:cm)的关系；
③面积为10 cm²的矩形中,矩形的长y(单位:cm)与宽x(单位:cm)的关系；
④圆的面积S与半径R之间的关系.
答案
5. ①④
解析
【分析】
解题的核心是先明确二次函数的定义：一般地，形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a\ne0$）的函数叫做二次函数。我们需要先根据每个实际场景的数量关系列出对应的函数表达式，再对照二次函数的定义逐一判断即可。
【解析】
我们对四个函数关系逐一分析：
① 正方形面积等于边长的平方，可得关系式：$S=x^2$（$x＞0$），符合二次函数定义，属于二次函数；
② 圆柱侧面积公式为$y=2π rh$，已知底面半径$r=5\mathrm{cm}$，代入得$y=10π x$（$x＞0$），是一次函数，不属于二次函数；
③ 矩形面积=长×宽，已知面积为$10\mathrm{cm^2}$，可得$xy=10$，即$y=\frac{10}{x}$（$x＞0$），是反比例函数，不属于二次函数；
④ 圆的面积公式为$S=π R^2$（$R＞0$），符合二次函数定义，属于二次函数。
综上，是二次函数关系的为①④。
【答案】
①④
【知识点】
1.二次函数的定义 2.几何图形面积计算 3.圆柱侧面积计算
【点评】
本题是基础概念考查题，需要熟练掌握不同类型函数的形式特征，同时能准确根据实际场景列出变量间的函数关系式，即可快速判断。
【难度系数】
0.8
解题的核心是先明确二次函数的定义：一般地，形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a\ne0$）的函数叫做二次函数。我们需要先根据每个实际场景的数量关系列出对应的函数表达式，再对照二次函数的定义逐一判断即可。
【解析】
我们对四个函数关系逐一分析：
① 正方形面积等于边长的平方，可得关系式：$S=x^2$（$x＞0$），符合二次函数定义，属于二次函数；
② 圆柱侧面积公式为$y=2π rh$，已知底面半径$r=5\mathrm{cm}$，代入得$y=10π x$（$x＞0$），是一次函数，不属于二次函数；
③ 矩形面积=长×宽，已知面积为$10\mathrm{cm^2}$，可得$xy=10$，即$y=\frac{10}{x}$（$x＞0$），是反比例函数，不属于二次函数；
④ 圆的面积公式为$S=π R^2$（$R＞0$），符合二次函数定义，属于二次函数。
综上，是二次函数关系的为①④。
【答案】
①④
【知识点】
1.二次函数的定义 2.几何图形面积计算 3.圆柱侧面积计算
【点评】
本题是基础概念考查题，需要熟练掌握不同类型函数的形式特征，同时能准确根据实际场景列出变量间的函数关系式，即可快速判断。
【难度系数】
0.8
6. 某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年第一季度新产品的研发资金y（单位：万元）关于x的函数解析式为
$y=9+9(1+x)+9(1+x)^2$
.答案
6. $y=9+9(1+x)+9(1+x)^2$
解析
【分析】
解题时首先要明确第一季度包含1月、2月、3月，总研发资金是三个月的研发资金之和。已知1月研发资金为9万元，每月增长率为x，根据增长率的基本公式：本月资金=上月资金×(1+增长率)，可以依次求出2月、3月的研发资金，最后将三个月的资金相加，就能得到y关于x的函数解析式。
【解析】
解：已知一月份新产品研发资金为9万元，每月资金增长率为x。
1. 二月份研发资金：在一月份基础上增长x，因此为 $ 9(1+x) $ 万元；
2. 三月份研发资金：在二月份基础上增长x，因此为 $ 9(1+x) × (1+x) = 9(1+x)^2 $ 万元；
3. 第一季度总研发资金为三个月资金之和，因此可得：
$ y = 9 + 9(1+x) + 9(1+x)^2 $
【答案】
$ y=9+9(1+x)+9(1+x)^2 $
【知识点】
平均增长率问题、列二次函数解析式
【点评】
本题属于增长率类基础应用题，解题核心是掌握增长率对应各阶段量的计算方法，需注意第一季度是三个月的资金总和，避免漏算月份，熟练掌握增长率公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确第一季度包含1月、2月、3月，总研发资金是三个月的研发资金之和。已知1月研发资金为9万元，每月增长率为x，根据增长率的基本公式：本月资金=上月资金×(1+增长率)，可以依次求出2月、3月的研发资金，最后将三个月的资金相加，就能得到y关于x的函数解析式。
【解析】
解：已知一月份新产品研发资金为9万元，每月资金增长率为x。
1. 二月份研发资金：在一月份基础上增长x，因此为 $ 9(1+x) $ 万元；
2. 三月份研发资金：在二月份基础上增长x，因此为 $ 9(1+x) × (1+x) = 9(1+x)^2 $ 万元；
3. 第一季度总研发资金为三个月资金之和，因此可得：
$ y = 9 + 9(1+x) + 9(1+x)^2 $
【答案】
$ y=9+9(1+x)+9(1+x)^2 $
【知识点】
平均增长率问题、列二次函数解析式
【点评】
本题属于增长率类基础应用题，解题核心是掌握增长率对应各阶段量的计算方法，需注意第一季度是三个月的资金总和，避免漏算月份，熟练掌握增长率公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7.已知某种产品的成本价为30元/千克,经市场调查发现,该产品每天的销售量$ y $(单位:千克)与销售价$ x $(单位:元/千克)有如下关系:$ y=-2x+80 $.设这种产品每天的销售利润为$ w $(单位:元),则$ w $与$ x $之间的解析式为 (
A.$ w=(x-30)(-2x+80) $
B.$ w=x(-2x+80) $
C.$ w=30(-2x+80) $
D.$ w=x(-2x+50) $
A
)A.$ w=(x-30)(-2x+80) $
B.$ w=x(-2x+80) $
C.$ w=30(-2x+80) $
D.$ w=x(-2x+50) $
答案
7. A
解析
【分析】
解题时首先回忆销售问题中总利润的计算公式：总利润=单件商品的利润×销售总数量。接下来分别找到两个计算量的表达式：①单件利润：已知成本价30元/千克，销售价为x元/千克，所以每千克的利润为（x-30）元；②销售总数量：题目已直接给出销售量y和销售价x的关系为$y=-2x+80$。最后将两个量代入总利润公式，就能得到w与x的函数解析式，再对应选项判断即可。
【解析】
根据销售利润的计算公式：总利润 = 每千克利润 × 销售量。
第一步：计算每千克的利润，每千克售价为x元，成本为30元，因此每千克利润为$(x-30)$元。
第二步：代入已知的销售量关系式$y=-2x+80$到利润公式中，可得：
$ w = (x-30)y = (x-30)(-2x+80) $
因此对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
销售利润计算、列函数解析式
【点评】
本题是销售类实际问题的基础题型，核心是牢记总利润的计算逻辑，准确提取题目给出的已知量代入公式即可求解，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆销售问题中总利润的计算公式：总利润=单件商品的利润×销售总数量。接下来分别找到两个计算量的表达式：①单件利润：已知成本价30元/千克，销售价为x元/千克，所以每千克的利润为（x-30）元；②销售总数量：题目已直接给出销售量y和销售价x的关系为$y=-2x+80$。最后将两个量代入总利润公式，就能得到w与x的函数解析式，再对应选项判断即可。
【解析】
根据销售利润的计算公式：总利润 = 每千克利润 × 销售量。
第一步：计算每千克的利润，每千克售价为x元，成本为30元，因此每千克利润为$(x-30)$元。
第二步：代入已知的销售量关系式$y=-2x+80$到利润公式中，可得：
$ w = (x-30)y = (x-30)(-2x+80) $
因此对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
销售利润计算、列函数解析式
【点评】
本题是销售类实际问题的基础题型，核心是牢记总利润的计算逻辑，准确提取题目给出的已知量代入公式即可求解，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
8. 在函数①$y=ax^2+bx+c$, ②$y=(x-1)^2-x^2$, ③$y=5x^2-\frac{5}{x^2}$, ④$y=-x^2+2$, ⑤$y=3-\sqrt{3}x^2$, ⑥$y=x(3-5x)$中, $y$是关于$x$的二次函数的是
④⑤⑥
.(填序号)答案
8. ④⑤⑥
解析
【分析】
要判断给定函数是否为二次函数，首先需明确二次函数的判定标准：1. 函数表达式是关于自变量x的整式；2. 化简后自变量x的最高次数为2；3. 二次项的系数不能为0。接下来我们按照该标准逐个分析每个函数即可得到答案。
【解析】
我们依次对每个序号的函数进行判断：
①$y=ax^2+bx+c$：题目未说明$a≠0$，若$a=0$，函数最高次数小于2，不符合二次函数定义，排除；
②$y=(x-1)^2-x^2$：先化简得$y=x^2-2x+1-x^2=-2x+1$，自变量最高次数为1，是一次函数，排除；
③$y=5x^2-\frac{5}{x^2}$：表达式中含有分母为$x^2$的项，不是整式，不符合二次函数要求，排除；
④$y=-x^2+2$：是关于x的整式，化简后x最高次数为2，二次项系数$-1≠0$，属于二次函数；
⑤$y=3-\sqrt{3}x^2$：是关于x的整式，化简后x最高次数为2，二次项系数$-\sqrt{3}≠0$，属于二次函数；
⑥$y=x(3-5x)$：展开化简得$y=-5x^2+3x$，是关于x的整式，x最高次数为2，二次项系数$-5≠0$，属于二次函数。
综上，符合要求的是④⑤⑥。
【答案】
④⑤⑥
【知识点】
二次函数的定义，整式的识别，整式的化简
【点评】
本题是二次函数定义的基础应用题型，解题的关键是牢记二次函数的三个判定要点，注意需要先化简函数表达式再判断，不要忽略“二次项系数不为0”“表达式为整式”这两个隐含条件。
【难度系数】
0.8
要判断给定函数是否为二次函数，首先需明确二次函数的判定标准：1. 函数表达式是关于自变量x的整式；2. 化简后自变量x的最高次数为2；3. 二次项的系数不能为0。接下来我们按照该标准逐个分析每个函数即可得到答案。
【解析】
我们依次对每个序号的函数进行判断：
①$y=ax^2+bx+c$：题目未说明$a≠0$，若$a=0$，函数最高次数小于2，不符合二次函数定义，排除；
②$y=(x-1)^2-x^2$：先化简得$y=x^2-2x+1-x^2=-2x+1$，自变量最高次数为1，是一次函数，排除；
③$y=5x^2-\frac{5}{x^2}$：表达式中含有分母为$x^2$的项，不是整式，不符合二次函数要求，排除；
④$y=-x^2+2$：是关于x的整式，化简后x最高次数为2，二次项系数$-1≠0$，属于二次函数；
⑤$y=3-\sqrt{3}x^2$：是关于x的整式，化简后x最高次数为2，二次项系数$-\sqrt{3}≠0$，属于二次函数；
⑥$y=x(3-5x)$：展开化简得$y=-5x^2+3x$，是关于x的整式，x最高次数为2，二次项系数$-5≠0$，属于二次函数。
综上，符合要求的是④⑤⑥。
【答案】
④⑤⑥
【知识点】
二次函数的定义，整式的识别，整式的化简
【点评】
本题是二次函数定义的基础应用题型，解题的关键是牢记二次函数的三个判定要点，注意需要先化简函数表达式再判断，不要忽略“二次项系数不为0”“表达式为整式”这两个隐含条件。
【难度系数】
0.8
9. 若函数$y=(m-1)x^{|m+1|}$是二次函数，则一次函数$y=mx+m$的图象不经过第
一
象限。答案
9. 一
解析
【分析】
要解决这道题，需分两步思考：第一步先根据二次函数的定义求出m的取值，二次函数要求最高次项的次数为2，且二次项系数不能为0，据此列方程和不等式求解m；第二步将求得的m代入一次函数解析式，根据一次函数中k、b的正负判断图象经过的象限，即可得出不经过的象限。
【解析】
∵ 函数$y=(m-1)x^{|m+1|}$是二次函数
∴ 根据二次函数的定义可得：
$\begin{cases}|m+1|=2 \\m-1≠0\end{cases}$
解$|m+1|=2$得：$m+1=2$或$m+1=-2$，即$m=1$或$m=-3$
又
∵ $m-1≠0$，即$m≠1$
∴ $m=-3$
将$m=-3$代入一次函数$y=mx+m$得：$y=-3x-3$
在一次函数$y=-3x-3$中，$k=-3＜0$，$b=-3＜0$
∴ 该一次函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。
【答案】
一
【知识点】
二次函数的定义；一次函数的图象与性质
【点评】
本题是基础综合题，解题时需注意二次函数定义中的隐含条件：二次项系数不为0，若忽略该条件容易误将m=1代入求解，导致判断错误。熟练掌握一次函数图象与系数的对应关系是判断象限的关键。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需分两步思考：第一步先根据二次函数的定义求出m的取值，二次函数要求最高次项的次数为2，且二次项系数不能为0，据此列方程和不等式求解m；第二步将求得的m代入一次函数解析式，根据一次函数中k、b的正负判断图象经过的象限，即可得出不经过的象限。
【解析】
∵ 函数$y=(m-1)x^{|m+1|}$是二次函数
∴ 根据二次函数的定义可得：
$\begin{cases}|m+1|=2 \\m-1≠0\end{cases}$
解$|m+1|=2$得：$m+1=2$或$m+1=-2$，即$m=1$或$m=-3$
又
∵ $m-1≠0$，即$m≠1$
∴ $m=-3$
将$m=-3$代入一次函数$y=mx+m$得：$y=-3x-3$
在一次函数$y=-3x-3$中，$k=-3＜0$，$b=-3＜0$
∴ 该一次函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。
【答案】
一
【知识点】
二次函数的定义；一次函数的图象与性质
【点评】
本题是基础综合题，解题时需注意二次函数定义中的隐含条件：二次项系数不为0，若忽略该条件容易误将m=1代入求解，导致判断错误。熟练掌握一次函数图象与系数的对应关系是判断象限的关键。
【难度系数】
0.7
10. 已知二次函数$y=(k-1)x^{k^2-3k+4}+2x-1$.
(1)求k的值及函数解析式.
(2)写出二次项系数、一次项系数与常数项之和.
(1)求k的值及函数解析式.
(2)写出二次项系数、一次项系数与常数项之和.
答案
10. (1)
∵ 函数$y=(k-1) x^{k^2-3k+4}+2x-1$是二次函数，
∴ $k-1≠0,k^2-3k+4=2$.
∴ $k=2$.
当$k=2$时,二次函数的解析式为$y=x^2+2x-1$.
(2)2
∵ 函数$y=(k-1) x^{k^2-3k+4}+2x-1$是二次函数，
∴ $k-1≠0,k^2-3k+4=2$.
∴ $k=2$.
当$k=2$时,二次函数的解析式为$y=x^2+2x-1$.
(2)2
解析
【分析】
(1) 求解k值需依据二次函数的定义：二次函数需同时满足两个核心条件，一是含自变量的项的最高次数为2，二是二次项的系数不为0。据此列出关于k的方程和不等式，求解后筛选出符合要求的k值，再代入原式即可得到函数解析式。
(2) 得到二次函数解析式后，分别对应找出二次项系数、一次项系数、常数项，将三者相加即可求出结果。
【解析】
(1) 已知函数$y=(k-1)x^{k^2-3k+4}+2x-1$是二次函数，根据二次函数的定义可得：
$\begin{cases} k-1 ≠ 0 \\ k^2-3k+4 = 2 \end{cases}$
先解方程$k^2-3k+4=2$，移项得$k^2-3k+2=0$，因式分解得$(k-1)(k-2)=0$，解得$k=1$或$k=2$。
结合不等式$k-1 ≠ 0$，即$k ≠ 1$，因此$k=2$。
将$k=2$代入原式，得二次函数解析式为$y=(2-1)x^2+2x-1$，化简得$y=x^2+2x-1$。
(2) 由解析式$y=x^2+2x-1$可知，二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-1，三者之和为$1+2+(-1)=2$。
【答案】
(1) $k=2$，函数解析式为$y=x^2+2x-1$；(2) $2$
【知识点】
1. 二次函数的定义 2. 一元二次方程的解法 3. 代数式求值
【点评】
本题围绕二次函数的基础概念设置问题，解题的关键是牢记二次函数需要同时满足最高次项次数为2、二次项系数不为0两个条件，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制，错误保留k=1的结果，属于基础概念考查题，掌握核心定义即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
(1) 求解k值需依据二次函数的定义：二次函数需同时满足两个核心条件，一是含自变量的项的最高次数为2，二是二次项的系数不为0。据此列出关于k的方程和不等式，求解后筛选出符合要求的k值，再代入原式即可得到函数解析式。
(2) 得到二次函数解析式后，分别对应找出二次项系数、一次项系数、常数项，将三者相加即可求出结果。
【解析】
(1) 已知函数$y=(k-1)x^{k^2-3k+4}+2x-1$是二次函数，根据二次函数的定义可得：
$\begin{cases} k-1 ≠ 0 \\ k^2-3k+4 = 2 \end{cases}$
先解方程$k^2-3k+4=2$，移项得$k^2-3k+2=0$，因式分解得$(k-1)(k-2)=0$，解得$k=1$或$k=2$。
结合不等式$k-1 ≠ 0$，即$k ≠ 1$，因此$k=2$。
将$k=2$代入原式，得二次函数解析式为$y=(2-1)x^2+2x-1$，化简得$y=x^2+2x-1$。
(2) 由解析式$y=x^2+2x-1$可知，二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-1，三者之和为$1+2+(-1)=2$。
【答案】
(1) $k=2$，函数解析式为$y=x^2+2x-1$；(2) $2$
【知识点】
1. 二次函数的定义 2. 一元二次方程的解法 3. 代数式求值
【点评】
本题围绕二次函数的基础概念设置问题，解题的关键是牢记二次函数需要同时满足最高次项次数为2、二次项系数不为0两个条件，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制，错误保留k=1的结果，属于基础概念考查题，掌握核心定义即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
11.某矩形的邻边长分别为6 cm和8 cm，若将其长和宽都增加x cm时，矩形的面积增加y cm².
(1)y与x之间的函数解析式为
(2)当该矩形的长和宽都增加2 cm时，矩形的面积增加多少？
(1)y与x之间的函数解析式为
$y=x^2+14x$
.(2)当该矩形的长和宽都增加2 cm时，矩形的面积增加多少？
答案
11. (1)$y=x^2+14x$
(2)
∵ 当$x=2$时,$y=2^2+14×2=32$,
∴ 当该矩形的长和宽都增加2 cm时,矩形的面积增加$32\ \mathrm{cm}^2$.
(2)
∵ 当$x=2$时,$y=2^2+14×2=32$,
∴ 当该矩形的长和宽都增加2 cm时,矩形的面积增加$32\ \mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
(1) 求解y与x的函数解析式的核心是明确等量关系：矩形增加的面积=长、宽增加后的新矩形面积 - 原矩形面积。先计算原矩形面积，再表示出增加x cm后新矩形的长、宽和面积，代入等量关系后化简即可得到函数式。(2) 第二问是求对应自变量的函数值，直接将x=2代入第一问得到的解析式计算即可。
【解析】
(1) 原矩形的邻边长为6 cm和8 cm，原矩形面积为：$6×8=48\ \mathrm{cm}^2$。
长和宽都增加$x\ \mathrm{cm}$后，新矩形的长为$(6+x)\ \mathrm{cm}$，宽为$(8+x)\ \mathrm{cm}$，新矩形面积为$(6+x)(8+x)\ \mathrm{cm}^2$。
根据面积增加量的等量关系列式：
$\begin{aligned}y&=(6+x)(8+x)-48\\&=48+14x+x^2-48\\&=x^2+14x\end{aligned}$
(2) 当长和宽都增加2 cm时，$x=2$，将$x=2$代入$y=x^2+14x$得：
$y=2^2+14×2=4+28=32$
【答案】
(1)$y=x^2+14x$
(2)$32\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
矩形面积计算，二次函数解析式，代数式求值
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题，解题关键是找准面积变化的等量关系，结合整式运算推导解析式，代入计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.85
(1) 求解y与x的函数解析式的核心是明确等量关系：矩形增加的面积=长、宽增加后的新矩形面积 - 原矩形面积。先计算原矩形面积，再表示出增加x cm后新矩形的长、宽和面积，代入等量关系后化简即可得到函数式。(2) 第二问是求对应自变量的函数值，直接将x=2代入第一问得到的解析式计算即可。
【解析】
(1) 原矩形的邻边长为6 cm和8 cm，原矩形面积为：$6×8=48\ \mathrm{cm}^2$。
长和宽都增加$x\ \mathrm{cm}$后，新矩形的长为$(6+x)\ \mathrm{cm}$，宽为$(8+x)\ \mathrm{cm}$，新矩形面积为$(6+x)(8+x)\ \mathrm{cm}^2$。
根据面积增加量的等量关系列式：
$\begin{aligned}y&=(6+x)(8+x)-48\\&=48+14x+x^2-48\\&=x^2+14x\end{aligned}$
(2) 当长和宽都增加2 cm时，$x=2$，将$x=2$代入$y=x^2+14x$得：
$y=2^2+14×2=4+28=32$
【答案】
(1)$y=x^2+14x$
(2)$32\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
矩形面积计算，二次函数解析式，代数式求值
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题，解题关键是找准面积变化的等量关系，结合整式运算推导解析式，代入计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.85
