登录
设圆柱的高为6 cm,底面半径为r cm,底面周长为C cm,体积为V cm³.
(1)分别写出C关于r、V关于r、V关于C的函数关系式.
(2)这三个函数中,哪些是二次函数?
(1)分别写出C关于r、V关于r、V关于C的函数关系式.
(2)这三个函数中,哪些是二次函数?
答案
(1)
∵ 圆柱的底面半径为r cm,底面周长为C cm,
∴ C=2πr.
∵ 圆柱的高为6 cm,底面半径为r cm,圆柱的体积为V cm³,
∴ V=πr²×6=6πr².
∵ 圆柱的高为6 cm,底面周长为C cm,圆柱的体积为V cm³,
∴ V=π×$(\dfrac{C}{2π})^2$×6=$\dfrac{3C^2}{2π}$.
综上所述,C关于r、V关于r、V关于C的函数关系式分别是$C=2π r$、$V=6π r^2$、$V=\dfrac{3C^2}{2π}$.
(2)由二次函数的概念知,V关于r的关系式$V=6π r^2$是二次函数,V关于C的关系式$V=\dfrac{3C^2}{2π}$是二次函数.
∵ 圆柱的底面半径为r cm,底面周长为C cm,
∴ C=2πr.
∵ 圆柱的高为6 cm,底面半径为r cm,圆柱的体积为V cm³,
∴ V=πr²×6=6πr².
∵ 圆柱的高为6 cm,底面周长为C cm,圆柱的体积为V cm³,
∴ V=π×$(\dfrac{C}{2π})^2$×6=$\dfrac{3C^2}{2π}$.
综上所述,C关于r、V关于r、V关于C的函数关系式分别是$C=2π r$、$V=6π r^2$、$V=\dfrac{3C^2}{2π}$.
(2)由二次函数的概念知,V关于r的关系式$V=6π r^2$是二次函数,V关于C的关系式$V=\dfrac{3C^2}{2π}$是二次函数.
解析
【分析】
首先解决第(1)问：①求C关于r的函数关系式，直接利用圆的周长公式即可推导；②求V关于r的函数关系式，利用圆柱体积=底面积×高，把底面积的含r表达式代入即可；③求V关于C的函数关系式，先由周长公式变形得到r用C表示的式子，再代入圆柱体积公式消去r整理即可。再解决第(2)问：回忆二次函数的定义，即形如$y=ax^2+bx+c$（a、b、c为常数，$a≠0$）的函数是二次函数，逐一判断三个函数是否符合定义即可。
【解析】
(1) 已知圆柱底面半径为r cm，根据圆的周长公式，可得：
$C=2π r$
已知圆柱高为6 cm，底面半径为r cm，根据圆柱体积=底面积×高，底面积为$π r^2$，代入得：
$V=π r^2 × 6 = 6π r^2$
若用底面周长C表示体积，先由$C=2π r$变形得$r=\frac{C}{2π}$，将其代入体积公式：
$V=π × (\frac{C}{2π})^2 × 6 = π × \frac{C^2}{4π^2} × 6 = \frac{3C^2}{2π}$
综上，C关于r、V关于r、V关于C的函数关系式分别为$C=2π r$、$V=6π r^2$、$V=\frac{3C^2}{2π}$。
(2) 根据二次函数的定义判断：
$C=2π r$是一次函数，不符合二次函数定义；$V=6π r^2$、$V=\frac{3C^2}{2π}$均符合二次函数的形式要求，属于二次函数。
【答案】
(1) $C=2π r$，$V=6π r^2$，$V=\frac{3C^2}{2π}$；
(2) $V=6π r^2$和$V=\frac{3C^2}{2π}$是二次函数。
【知识点】
圆的周长公式；圆柱体积公式；二次函数的定义
【点评】
本题属于基础题，重点考查常见几何公式的应用和二次函数的判定，解题关键是熟练掌握相关几何公式，准确理解二次函数的概念。
【难度系数】
0.8
首先解决第(1)问：①求C关于r的函数关系式，直接利用圆的周长公式即可推导；②求V关于r的函数关系式，利用圆柱体积=底面积×高，把底面积的含r表达式代入即可；③求V关于C的函数关系式，先由周长公式变形得到r用C表示的式子，再代入圆柱体积公式消去r整理即可。再解决第(2)问：回忆二次函数的定义，即形如$y=ax^2+bx+c$（a、b、c为常数，$a≠0$）的函数是二次函数，逐一判断三个函数是否符合定义即可。
【解析】
(1) 已知圆柱底面半径为r cm，根据圆的周长公式，可得：
$C=2π r$
已知圆柱高为6 cm，底面半径为r cm，根据圆柱体积=底面积×高，底面积为$π r^2$，代入得：
$V=π r^2 × 6 = 6π r^2$
若用底面周长C表示体积，先由$C=2π r$变形得$r=\frac{C}{2π}$，将其代入体积公式：
$V=π × (\frac{C}{2π})^2 × 6 = π × \frac{C^2}{4π^2} × 6 = \frac{3C^2}{2π}$
综上，C关于r、V关于r、V关于C的函数关系式分别为$C=2π r$、$V=6π r^2$、$V=\frac{3C^2}{2π}$。
(2) 根据二次函数的定义判断：
$C=2π r$是一次函数，不符合二次函数定义；$V=6π r^2$、$V=\frac{3C^2}{2π}$均符合二次函数的形式要求，属于二次函数。
【答案】
(1) $C=2π r$，$V=6π r^2$，$V=\frac{3C^2}{2π}$；
(2) $V=6π r^2$和$V=\frac{3C^2}{2π}$是二次函数。
【知识点】
圆的周长公式；圆柱体积公式；二次函数的定义
【点评】
本题属于基础题，重点考查常见几何公式的应用和二次函数的判定，解题关键是熟练掌握相关几何公式，准确理解二次函数的概念。
【难度系数】
0.8
1. 下列函数中，是二次函数的是（
A.$y=2x-3$
B.$y=x^2 -3$
C.$y=\frac{1}{x^2} +2x +3$
D.$y=x^3 -2x +1$
B
）A.$y=2x-3$
B.$y=x^2 -3$
C.$y=\frac{1}{x^2} +2x +3$
D.$y=x^3 -2x +1$
答案
1. B
解析
【分析】
解决本题的核心是依据二次函数的定义逐一判断选项。首先明确二次函数的三个判定要点：①函数表达式是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。我们按照这三个要点逐个验证选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
二次函数的定义为：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，$a\ne0$）的函数叫做二次函数。
对各选项逐一分析：
选项A：$y=2x-3$中自变量$x$的最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义；
选项B：$y=x^2-3$符合二次函数的形式，其中$a=1\ne0$，自变量最高次数为2，且是整式函数，符合二次函数定义；
选项C：$y=\frac{1}{x^2}+2x+3$中$\frac{1}{x^2}$是分式，该函数不是整式函数，不符合二次函数定义；
选项D：$y=x^3-2x+1$中自变量$x$的最高次数为3，属于三次函数，不符合二次函数定义。
综上，只有选项B是二次函数。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是牢记二次函数的判定特征，注意区分整式函数与分式函数，避免被其他次数的函数干扰。
【难度系数】
0.9
解决本题的核心是依据二次函数的定义逐一判断选项。首先明确二次函数的三个判定要点：①函数表达式是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。我们按照这三个要点逐个验证选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
二次函数的定义为：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，$a\ne0$）的函数叫做二次函数。
对各选项逐一分析：
选项A：$y=2x-3$中自变量$x$的最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义；
选项B：$y=x^2-3$符合二次函数的形式，其中$a=1\ne0$，自变量最高次数为2，且是整式函数，符合二次函数定义；
选项C：$y=\frac{1}{x^2}+2x+3$中$\frac{1}{x^2}$是分式，该函数不是整式函数，不符合二次函数定义；
选项D：$y=x^3-2x+1$中自变量$x$的最高次数为3，属于三次函数，不符合二次函数定义。
综上，只有选项B是二次函数。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是牢记二次函数的判定特征，注意区分整式函数与分式函数，避免被其他次数的函数干扰。
【难度系数】
0.9
2. 已知$y=(a+2)x^2 -5x$是关于x的二次函数，
则a的取值范围是（
A.$a=2$
B.$a≠2$
C.$a=-2$
D.$a≠-2$
则a的取值范围是（
D
）A.$a=2$
B.$a≠2$
C.$a=-2$
D.$a≠-2$
答案
2. D
解析
【分析】
解题首先需明确二次函数的定义核心要求：形如$y=Ax^2+Bx+C$（A、B、C为常数）的函数是二次函数，必须满足二次项系数$A≠0$，否则自变量最高次数不是2，就不属于二次函数。本题中我们只需找到给定函数的二次项系数，令其不等于0，解出不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
根据二次函数的定义，二次项系数不能为0。
在函数$y=(a+2)x^2 -5x$中，二次项系数为$a+2$，因此列不等式：
$a+2 ≠ 0$
解得：$a ≠ -2$
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础概念考察题，解题关键是牢记二次函数对二次项系数的限制条件，只要掌握定义就能快速得出结果，不容易出错。
【难度系数】
0.9
解题首先需明确二次函数的定义核心要求：形如$y=Ax^2+Bx+C$（A、B、C为常数）的函数是二次函数，必须满足二次项系数$A≠0$，否则自变量最高次数不是2，就不属于二次函数。本题中我们只需找到给定函数的二次项系数，令其不等于0，解出不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
根据二次函数的定义，二次项系数不能为0。
在函数$y=(a+2)x^2 -5x$中，二次项系数为$a+2$，因此列不等式：
$a+2 ≠ 0$
解得：$a ≠ -2$
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础概念考察题，解题关键是牢记二次函数对二次项系数的限制条件，只要掌握定义就能快速得出结果，不容易出错。
【难度系数】
0.9
3. 如果函数$y=(m+1)x^{m^2 - 2m -1}$是二次函数，那么m的值是
3
.答案
3. 3
解析
【分析】
要确定m的值，需紧扣二次函数的定义思考：二次函数需同时满足两个条件：①自变量x的最高次数为2；②二次项的系数不为0。解题时先根据x的次数为2列一元二次方程求出m的可能取值，再根据二次项系数不为0排除不符合要求的解，即可得到最终m的值。
【解析】
根据二次函数的定义可得：
1. 自变量x的次数为2，即：
$m^2 - 2m -1 = 2$
整理得：$m^2 - 2m - 3 = 0$
因式分解得：$(m-3)(m+1)=0$
解得：$m_1=3$，$m_2=-1$
2. 二次项系数不为0，即：
$m+1 ≠ 0$，解得$m ≠ -1$
综上，舍去$m=-1$，得$m=3$。
【答案】
3
【知识点】
二次函数的定义；一元二次方程的求解
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，易错点是容易忽略二次项系数不能为0的限制条件，导致多解错误，解题时要注意对特殊函数的系数限制条件优先验证或最后排查，避免漏判。
【难度系数】
0.7
要确定m的值，需紧扣二次函数的定义思考：二次函数需同时满足两个条件：①自变量x的最高次数为2；②二次项的系数不为0。解题时先根据x的次数为2列一元二次方程求出m的可能取值，再根据二次项系数不为0排除不符合要求的解，即可得到最终m的值。
【解析】
根据二次函数的定义可得：
1. 自变量x的次数为2，即：
$m^2 - 2m -1 = 2$
整理得：$m^2 - 2m - 3 = 0$
因式分解得：$(m-3)(m+1)=0$
解得：$m_1=3$，$m_2=-1$
2. 二次项系数不为0，即：
$m+1 ≠ 0$，解得$m ≠ -1$
综上，舍去$m=-1$，得$m=3$。
【答案】
3
【知识点】
二次函数的定义；一元二次方程的求解
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，易错点是容易忽略二次项系数不能为0的限制条件，导致多解错误，解题时要注意对特殊函数的系数限制条件优先验证或最后排查，避免漏判。
【难度系数】
0.7
4. 二次函数$y=(x-2)(5-2x)$的二次项系数是
-2
，一次项系数是9
，常数项是-10
。答案
4. -2 9 -10
解析
【分析】
要确定二次函数的各项系数，首先需要将函数表达式化为二次函数的一般形式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数、$b$为一次项系数、$c$为常数项。解题时先利用多项式乘多项式的法则展开原式右侧的乘积式，再合并同类项整理为一般形式，最后对应提取各项系数即可，注意系数需要连带前面的正负号。
【解析】
先将给定的二次函数表达式展开并整理为一般形式：
$\begin{aligned}y&=(x-2)(5-2x)\\&=x×5 + x×(-2x) + (-2)×5 + (-2)×(-2x)\\&=5x - 2x^2 - 10 + 4x\\&=-2x^2 + 9x - 10\end{aligned}$
对照二次函数的一般形式$y=ax^2+bx+c$，可得：二次项系数为$-2$，一次项系数为$9$，常数项为$-10$。
【答案】
$-2$；$9$；$-10$
【知识点】
1. 二次函数的项与系数
2. 多项式乘多项式运算
3. 合并同类项
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二次函数一般形式的理解，以及整式乘法的运算能力，解题的关键是先将函数化为一般形式，提取系数时要注意连带符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.9
要确定二次函数的各项系数，首先需要将函数表达式化为二次函数的一般形式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数、$b$为一次项系数、$c$为常数项。解题时先利用多项式乘多项式的法则展开原式右侧的乘积式，再合并同类项整理为一般形式，最后对应提取各项系数即可，注意系数需要连带前面的正负号。
【解析】
先将给定的二次函数表达式展开并整理为一般形式：
$\begin{aligned}y&=(x-2)(5-2x)\\&=x×5 + x×(-2x) + (-2)×5 + (-2)×(-2x)\\&=5x - 2x^2 - 10 + 4x\\&=-2x^2 + 9x - 10\end{aligned}$
对照二次函数的一般形式$y=ax^2+bx+c$，可得：二次项系数为$-2$，一次项系数为$9$，常数项为$-10$。
【答案】
$-2$；$9$；$-10$
【知识点】
1. 二次函数的项与系数
2. 多项式乘多项式运算
3. 合并同类项
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二次函数一般形式的理解，以及整式乘法的运算能力，解题的关键是先将函数化为一般形式，提取系数时要注意连带符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.9
