问题导引
将一根长50 cm的铁丝弯成一个长方形(铁丝全部用完且无损耗),如图所示,设这个长方形的一边长为x(单位:cm),它的面积为y(单位:cm²),则y与x之间的函数解析式为。

解：
长方形的周长为50 cm，若一边长为x cm，则其邻边长为$\frac{50-2x}{2}=(25-x)$ cm。
由长方形面积公式可得：
$y = x(25-x) = -x^2 +25x$
根据实际意义，边长需大于0，因此$\begin{cases}x＞0 \\25-x＞0 \end{cases}$，解得$0＜x＜25$。
则y与x之间的函数解析式为$y=-x^2+25x\ (0＜x＜25)$。

【分析】
要推导y与x的函数解析式，我们可以按以下思路思考：首先50cm的铁丝长度就是长方形的周长，已知一边长为x，我们可以先通过长方形周长公式求出与x相邻的另一边的长度，再用长方形面积公式建立面积y和x的关系式，最后结合边长必须为正的实际要求，确定自变量x的取值范围即可。
【解析】
已知长方形周长为50 cm，其中一边长为x cm，
则它的邻边长为$\frac{50-2x}{2}=(25-x)$ cm，
根据长方形面积=长×宽，可得：
$y = x(25-x) = -x^2 +25x$
结合实际意义，长方形的边长需大于0，因此列不等式组：
$\begin{cases}x＞0 \\25-x＞0 \end{cases}$
解得$0＜x＜25$。
因此y与x之间的函数解析式为$y=-x^2+25x\ (0＜x＜25)$。
【答案】
$y=-x^2+25x\ (0＜x＜25)$
【知识点】
二次函数的实际应用、长方形周长与面积计算、函数自变量取值范围
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题型，解题核心是熟练运用长方形的周长和面积公式，需要特别注意的是，解决实际问题的函数题时，一定要结合实际场景确定自变量的取值范围，避免遗漏隐含条件导致结果错误。
【难度系数】
0.7

知识点1）二次函数的概念
一般地，形如的函数，叫作二次函数。其中x是，a,b,c分别是函数解析式的、和。
二次函数的一般形式是。

一般地，形如$y=ax^2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)$的函数，叫作二次函数。其中x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。二次函数的一般形式是$y=ax^2+bx+c(a≠0)$。

【分析】
本题考查二次函数的基础概念，属于识记类题型。解题时只需回忆二次函数的定义内容，依次对应空缺位置填写即可，需格外注意定义中隐含的限制条件$a≠0$，若$a=0$则函数最高次项次数小于2，不符合二次函数的定义要求。
【解析】
根据二次函数的概念逐一填空：
1. 二次函数的标准定义形式为$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$是常数，$a≠0$）；
2. 式子中$x$是自变量，最高次项$ax^2$的系数$a$为二次项系数，一次项$bx$的系数$b$为一次项系数，不含未知数的项$c$为常数项；
3. 二次函数的一般形式即为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$。
【答案】
一般地，形如$y=ax^2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)$的函数，叫作二次函数。其中x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。二次函数的一般形式是$y=ax^2+bx+c(a≠0)$。
【知识点】
1.二次函数的定义 2.二次函数系数名称 3.二次函数一般形式
【点评】
本题为基础概念考察题，核心是要准确记忆二次函数定义的各个要素，尤其不能遗漏$a≠0$的限制条件，这是判断一个函数是否为二次函数的关键要点。
【难度系数】
0.9

知识点2）建立二次函数模型
从实际问题中抽象出二次函数的一般步骤：
（1）审清题意，找出实际问题中的常量与变量，并分析它们之间的关系；
（2）建立二次函数模型，列出函数解析式，一般化为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的形式。
重点提示
二次函数的特殊形式$(a≠0)$
（1）当$b=0$时，$y=$；（2）当$c=0$时，$y=$；（3）当$b=0,c=0$时，$y=$。

二次函数的特殊形式$(a≠0)$
(1)当$b=0$时，$y=ax^2+c$；(2)当$c=0$时，$y=ax^2+bx$；(3)当$b=0,c=0$时，$y=ax^2$。

【分析】
这道题考查二次函数特殊形式的推导，解题思路为先明确二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，再根据题目给出的系数为0的条件，将对应系数替换为0，化简后即可得到对应的特殊形式。
【解析】
已知二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$：
(1) 当$b=0$时，将$b=0$代入一般式，可得$y=ax^2 + 0· x + c = ax^2 + c(a≠0)$；
(2) 当$c=0$时，将$c=0$代入一般式，可得$y=ax^2 + bx + 0 = ax^2 + bx(a≠0)$；
(3) 当$b=0,c=0$时，将$b=0、c=0$代入一般式，可得$y=ax^2 + 0· x + 0 = ax^2(a≠0)$。
【答案】
二次函数的特殊形式$(a≠0)$
(1)当$b=0$时，$y=ax^2+c$；(2)当$c=0$时，$y=ax^2+bx$；(3)当$b=0,c=0$时，$y=ax^2$。
【知识点】
1. 二次函数的一般形式
2. 代数式化简
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查对二次函数一般形式的理解与应用，牢记一般式的各项构成即可轻松求解，是二次函数章节的入门基础考点。
【难度系数】
0.9

例1 判断下列函数是否为二次函数,并说明原因.
(1)$y=3x$;
(2)$y=\frac{1}{x}+x$;
(3)$y=-x-5$;
(4)$y=(x+2)(x-4)$;
(5)$y=(x+1)^2 -x^2$.
答案:(1)不是,是正比例函数;
(2)不是,含分式项$\frac{1}{x}$,不符合二次函数的定义;
(3)不是,是一次函数;
(4)是,$y=(x+2)(x-4)=x^2 -2x -8$,符合二次函数的定义,是二次函数;
(5)不是,$y=(x+1)^2 -x^2=2x+1$,是一次函数.
方法点拨 本题主要考查二次函数的概念,熟练掌握二次函数的一般形式$y=ax^2 +bx +c$（$a≠0$）是解题的关键.

解：
(1) 不是二次函数，该函数是正比例函数，自变量的最高次数为1，不符合二次函数的定义。
(2) 不是二次函数，函数含分式项$\frac{1}{x}$，不属于整式函数，不符合二次函数的定义。
(3) 不是二次函数，该函数是一次函数，自变量的最高次数为1，不符合二次函数的定义。
(4) 是二次函数，将表达式展开化简得$y=(x+2)(x-4)=x^2-2x-8$，符合二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的形式，因此是二次函数。
(5) 不是二次函数，将表达式展开化简得$y=(x+1)^2-x^2=2x+1$，化简后二次项系数为0，属于一次函数，不符合二次函数的定义。

【分析】
判断函数是否为二次函数需紧扣其定义的三个核心条件：①函数表达式为整式；②化简后自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0，三个条件需同时满足。解题时按该标准逐一验证即可：先判断表达式是否为整式，非整式直接排除；是整式的先化简，再检查最高次数和二次项系数是否符合要求，就能得出结论。
【解析】
(1) 不是二次函数，该函数是正比例函数，自变量的最高次数为1，不符合二次函数的定义。
(2) 不是二次函数，函数含分式项$\frac{1}{x}$，不属于整式函数，不符合二次函数的定义。
(3) 不是二次函数，该函数是一次函数，自变量的最高次数为1，不符合二次函数的定义。
(4) 是二次函数，将表达式展开化简得$y=(x+2)(x-4)=x^2-2x-8$，符合二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的形式，因此是二次函数。
(5) 不是二次函数，将表达式展开化简得$y=(x+1)^2-x^2=2x+1$，化简后二次项系数为0，属于一次函数，不符合二次函数的定义。
【答案】
(1)不是，是正比例函数；
(2)不是，含分式项$\frac{1}{x}$，不符合二次函数的定义；
(3)不是，是一次函数；
(4)是，$y=(x+2)(x-4)=x^2 -2x -8$，符合二次函数的定义，是二次函数；
(5)不是，$y=(x+1)^2 -x^2=2x+1$，是一次函数。
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 整式的概念
【点评】
本题是二次函数概念的基础题，解题的关键是牢记二次函数的判定条件，需注意要先将函数表达式化简后再判断，避免被原式的表面形式误导。
【难度系数】
0.8

例2 你知道下面的每一个图形中各有多少个小圆圈吗？

(1)完成下表：

(2)如果用$n$表示六边形每条边上的小圆圈数，用$m$表示这个六边形中小圆圈的总数，那么$m$和$n$的关系是什么？
解:(1)观察每个图形的特点可以算出:第1个图形中小圆圈有1个,第2个图形中小圆圈有$2+3+2=7$(个),第3个图形中小圆圈有$3+4+5+4+3=19$(个),第4个图形中小圆圈有$4+5+6+7+6+5+4=37$(个),由此可推知第5个图形中小圆圈有$5+6+7+8+9+8+7+6+5=61$(个),将计算出的结果填入下表:

(2)由(1)得,$m$与$n$之间的函数关系为:$m=n+(n+1)+···+(n+n-2)+(n+n-1)+(n+n-2)+···+(n+1)+n$,首尾相加,得 $m=2[ n+(n+1)+···+(n+n-2) ]+(n+n-1)=2×\frac{(n-1)(3n-2)}{2}+2n-1=3n^2-3n+1$.
方法点拨 本题主要考查根据图形和数字寻找规律的知识.解决此类找规律的题目一般从特殊的数据入手,根据前后式子之间的异同推导出规律,再利用发现的规律解决相关问题,列出函数解析式.

解：
(1) 观察图形计数，表格中图形中小圆圈的总数一行，从左到右依次填入：1，7，19，37，61。
(2) 由(1)的对应数据可知，m与n符合二次函数关系，设$m=an^2+bn+c$（$a≠0$），将$(1,1)$、$(2,7)$、$(3,19)$代入解析式得：
$\begin{cases}a + b + c = 1 \\4a + 2b + c = 7 \\9a + 3b + c = 19\end{cases}$
解方程组得：
$\begin{cases}a=3 \\b=-3 \\c=1\end{cases}$
将$n=4$代入$m=3n^2-3n+1$，得$m=3×4^2-3×4+1=37$，与表格数据一致；
将$n=5$代入$m=3n^2-3n+1$，得$m=3×5^2-3×5+1=61$，与表格数据一致。
因此m和n的关系为$\boldsymbol{m=3n^2-3n+1}$（n为正整数）。

【分析】
（1）第一问可通过观察六边形图形的分层排列特点，按行累加的方式计算每个图形的小圆圈总数，将结果填入对应表格位置即可。
（2）第二问先观察得到的n与m的多组对应值，发现相邻m的差值为等差数列，可判断m是n的二次函数，因此采用待定系数法设二次函数一般式，代入3组已知对应值求解系数，再用剩余对应值验证解析式的正确性，即可得到m与n的关系。
【解析】
(1) 观察图形计数：当六边形每条边上的小圆圈数$n=1$时，小圆圈总数为1；$n=2$时，总数为$2+3+2=7$；$n=3$时，总数为$3+4+5+4+3=19$；$n=4$时，总数为$4+5+6+7+6+5+4=37$；$n=5$时，总数为$5+6+7+8+9+8+7+6+5=61$。因此表格中小圆圈总数一行从左到右依次填入对应数值即可。
(2) 由(1)得到的多组n与m的对应值，可判断m与n符合二次函数关系，设$m=an^2+bn+c$（$a≠0$），将$(1,1)$、$(2,7)$、$(3,19)$分别代入解析式，得到三元一次方程组：
$\begin{cases}a + b + c = 1 \\4a + 2b + c = 7 \\9a + 3b + c = 19\end{cases}$
解该方程组：用第二个方程减第一个方程得$3a + b = 6$，用第三个方程减第二个方程得$5a + b = 12$，两式相减得$2a=6$，解得$a=3$，代入$3a + b =6$得$b=-3$，再将a、b代入$a+b+c=1$得$c=1$。
验证：将$n=4$代入$m=3n^2-3n+1$，得$m=3×4^2-3×4+1=37$，与表格数据一致；将$n=5$代入得$m=3×5^2-3×5+1=61$，也与表格数据一致，解析式成立。
【答案】
(1) 表格对应位置从左到右依次填：$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{7}$，$\boldsymbol{19}$，$\boldsymbol{37}$，$\boldsymbol{61}$；
(2) m和n的关系为$\boldsymbol{m=3n^2-3n+1}$（n为正整数）。
【知识点】
图形规律探究；待定系数法求解析式；二次函数的概念
【点评】
本题是规律探究类典型题目，结合图形计数考察从特殊到一般的归纳能力，以及用待定系数法求解函数解析式的能力，解题时注意求出解析式后要验证所有已知数据是否符合，确保推导的规律正确。
【难度系数】
0.7