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12. 如图,利用一面墙(墙的长度为20 m),用34 m长的篱笆围成两个养鸡场,中间用一道篱笆隔开,每个养鸡场均留一个1 m宽的门,设AB的长为x m.
(1)若两个养鸡场的面积和为S(单位: m²),求S关于x的函数解析式.
(2)两个养鸡场的面积和S可以等于160 m²吗?如果可以,求出此时AB的值;如果不可以,请说明理由.
(1)若两个养鸡场的面积和为S(单位: m²),求S关于x的函数解析式.
(2)两个养鸡场的面积和S可以等于160 m²吗?如果可以,求出此时AB的值;如果不可以,请说明理由.
答案
12. (1)由题意,得
$S=x(34-3x+2)=x(36-3x)=-3x^2+36x$,
即S关于x的函数解析式是$S=-3x^2+36x$.
(2)不可以.理由如下:
当$S=160$时,$-3x^2+36x=160$,
即$3x^2-36x+160=0$.
∵ $\Delta=b^2-4ac=36^2-4×3×160=-624＜0$,
∴ 原方程无实数根.
∴ 两个养鸡场的面积和S不能等于$160\ \mathrm{m}^2$.
$S=x(34-3x+2)=x(36-3x)=-3x^2+36x$,
即S关于x的函数解析式是$S=-3x^2+36x$.
(2)不可以.理由如下:
当$S=160$时,$-3x^2+36x=160$,
即$3x^2-36x+160=0$.
∵ $\Delta=b^2-4ac=36^2-4×3×160=-624＜0$,
∴ 原方程无实数根.
∴ 两个养鸡场的面积和S不能等于$160\ \mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
(1) 首先明确篱笆的构成：垂直于墙的边共有3段，每段长度均为x m；两个1m宽的门不需要篱笆，因此平行于墙的边的总长度为总篱笆长度加上两个门的宽度，再减去3段垂直边的长度，再根据矩形面积=长×宽即可得到S关于x的函数解析式。
(2) 若要判断S能否等于160 m²，只需将S=160代入(1)得到的函数解析式，转化为一元二次方程，通过计算判别式Δ的值判断方程是否有实数根：若Δ≥0则可以，反之则不可以。
【解析】
(1) 由题意可知，垂直于墙的边总长为3x m，两个门共宽2 m，因此平行于墙的边的长度为$34 + 2 - 3x = 36 - 3x$ (m)。
根据矩形面积公式可得：
$S = x(36 - 3x) = -3x^2 + 36x$
即S关于x的函数解析式为$S=-3x^2+36x$。
(2) 不可以，理由如下：
当$S=160$时，代入函数解析式得：
$-3x^2 + 36x = 160$
整理为标准一元二次方程形式：$3x^2 - 36x + 160 = 0$
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = 36^2 - 4×3×160 = 1296 - 1920 = -624 ＜ 0$
因此原一元二次方程无实数根，即两个养鸡场的面积和S不能等于$160\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $S=-3x^2+36x$
(2) 不可以，理由见解析
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程判别式，矩形面积计算
【点评】
本题结合实际围栏场景考查代数知识的应用，解题的关键是准确计算平行于墙的边长，不要遗漏门的宽度，同时要熟练掌握用判别式判断一元二次方程根的情况的方法。
【难度系数】
0.6
(1) 首先明确篱笆的构成：垂直于墙的边共有3段，每段长度均为x m；两个1m宽的门不需要篱笆，因此平行于墙的边的总长度为总篱笆长度加上两个门的宽度，再减去3段垂直边的长度，再根据矩形面积=长×宽即可得到S关于x的函数解析式。
(2) 若要判断S能否等于160 m²，只需将S=160代入(1)得到的函数解析式，转化为一元二次方程，通过计算判别式Δ的值判断方程是否有实数根：若Δ≥0则可以，反之则不可以。
【解析】
(1) 由题意可知，垂直于墙的边总长为3x m，两个门共宽2 m，因此平行于墙的边的长度为$34 + 2 - 3x = 36 - 3x$ (m)。
根据矩形面积公式可得：
$S = x(36 - 3x) = -3x^2 + 36x$
即S关于x的函数解析式为$S=-3x^2+36x$。
(2) 不可以，理由如下：
当$S=160$时，代入函数解析式得：
$-3x^2 + 36x = 160$
整理为标准一元二次方程形式：$3x^2 - 36x + 160 = 0$
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = 36^2 - 4×3×160 = 1296 - 1920 = -624 ＜ 0$
因此原一元二次方程无实数根，即两个养鸡场的面积和S不能等于$160\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $S=-3x^2+36x$
(2) 不可以，理由见解析
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程判别式，矩形面积计算
【点评】
本题结合实际围栏场景考查代数知识的应用，解题的关键是准确计算平行于墙的边长，不要遗漏门的宽度，同时要熟练掌握用判别式判断一元二次方程根的情况的方法。
【难度系数】
0.6
13. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=20\ \mathrm{cm}$,$BC=15\ \mathrm{cm}$,现有一个动点$P$从点$A$出发,以$4\ \mathrm{cm/s}$的速度沿$AC$向终点$C$运动,动点$Q$同时从点$C$出发,以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度沿$CB$向终点$B$运动,当有一点到达终点时,另一点随之停止运动.设运动时间为$t\ \mathrm{s}$,$△ PCQ$的面积为$S$(单位:$\mathrm{cm}^2$),求:
(1)$S$与$t$之间的函数解析式,并写出自变量$t$的取值范围.
(2)当$t$为何值时,$S=\dfrac{4}{25}S_{△ ABC}$?
(1)$S$与$t$之间的函数解析式,并写出自变量$t$的取值范围.
(2)当$t$为何值时,$S=\dfrac{4}{25}S_{△ ABC}$?
答案
13. (1)由题意,得$AP=4t,CQ=2t$.
∴ $CP=20-4t$.
∴ $S=\dfrac{1}{2}CP · CQ=\dfrac{1}{2}(20-4t)×2t=-4t^2+20t(0＜t＜5)$.
(2)由题意,得
$S=-4t^2+20t=\dfrac{4}{25}×\dfrac{1}{2}×15×20$,
整理,得$t^2-5t+6=0$.
解得$t_1=2,t_2=3$.
∴ 当t为2或3时,$S=\dfrac{4}{25}S_{△ ABC}$.
∴ $CP=20-4t$.
∴ $S=\dfrac{1}{2}CP · CQ=\dfrac{1}{2}(20-4t)×2t=-4t^2+20t(0＜t＜5)$.
(2)由题意,得
$S=-4t^2+20t=\dfrac{4}{25}×\dfrac{1}{2}×15×20$,
整理,得$t^2-5t+6=0$.
解得$t_1=2,t_2=3$.
∴ 当t为2或3时,$S=\dfrac{4}{25}S_{△ ABC}$.
解析
【分析】
(1)要推导S与t的函数解析式，首先明确△PCQ是直角三角形，面积等于两直角边乘积的一半。先根据动点的运动速度和时间，用含t的代数式表示出CP、CQ的长度，代入面积公式即可；再根据两个动点的运动时间上限确定t的取值范围：P到C的时间为20÷4=5s，Q到B的时间为15÷2=7.5s，有一点到达终点就停止，所以t最大为5，且运动时间t＞0。
(2)先计算出Rt△ABC的面积，再将$S=\frac{4}{25}S_{△ ABC}$代入(1)得到的函数解析式，得到关于t的一元二次方程，求解后验证解是否在t的取值范围内即可。
【解析】
(1) 由题意可知，动点P的运动路程$AP=4t\ \mathrm{cm}$，动点Q的运动路程$CQ=2t\ \mathrm{cm}$，
则$CP=AC-AP=(20-4t)\mathrm{cm}$，
∵$∠ C=90°$，△PCQ为直角三角形，
∴$S=\frac{1}{2} · CP · CQ = \frac{1}{2}(20-4t) × 2t$，
化简得$S=-4t^2+20t$，
∵点P到达终点C的时间为$20÷4=5\mathrm{s}$，点Q到达终点B的时间为$15÷2=7.5\mathrm{s}$，运动到5s时停止，且运动时间$t＞0$，
∴自变量t的取值范围是$0＜t＜5$。
(2) 先计算$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 20 ×15=150\mathrm{cm}^2$，
根据题意列方程：$-4t^2+20t=\frac{4}{25} ×150$，
整理得：$t^2-5t+6=0$，
因式分解得$(t-2)(t-3)=0$，
解得$t_1=2$，$t_2=3$，两个解均在$0＜t＜5$范围内，符合题意。
【答案】
(1) $S=-4t^2+20t(0＜t＜5)$
(2) 当t的值为2或3时，$S=\dfrac{4}{25}S_{△ ABC}$
【知识点】
二次函数实际应用，三角形面积计算，一元二次方程求解
【点评】
本题是典型的动点结合函数的应用型问题，解题的核心是用含时间t的代数式准确表示出运动线段的长度，再结合相关公式列式求解，注意自变量的取值范围要符合实际运动的限制条件，得到方程的解后要验证是否符合题意。
【难度系数】
0.7
(1)要推导S与t的函数解析式，首先明确△PCQ是直角三角形，面积等于两直角边乘积的一半。先根据动点的运动速度和时间，用含t的代数式表示出CP、CQ的长度，代入面积公式即可；再根据两个动点的运动时间上限确定t的取值范围：P到C的时间为20÷4=5s，Q到B的时间为15÷2=7.5s，有一点到达终点就停止，所以t最大为5，且运动时间t＞0。
(2)先计算出Rt△ABC的面积，再将$S=\frac{4}{25}S_{△ ABC}$代入(1)得到的函数解析式，得到关于t的一元二次方程，求解后验证解是否在t的取值范围内即可。
【解析】
(1) 由题意可知，动点P的运动路程$AP=4t\ \mathrm{cm}$，动点Q的运动路程$CQ=2t\ \mathrm{cm}$，
则$CP=AC-AP=(20-4t)\mathrm{cm}$，
∵$∠ C=90°$，△PCQ为直角三角形，
∴$S=\frac{1}{2} · CP · CQ = \frac{1}{2}(20-4t) × 2t$，
化简得$S=-4t^2+20t$，
∵点P到达终点C的时间为$20÷4=5\mathrm{s}$，点Q到达终点B的时间为$15÷2=7.5\mathrm{s}$，运动到5s时停止，且运动时间$t＞0$，
∴自变量t的取值范围是$0＜t＜5$。
(2) 先计算$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 20 ×15=150\mathrm{cm}^2$，
根据题意列方程：$-4t^2+20t=\frac{4}{25} ×150$，
整理得：$t^2-5t+6=0$，
因式分解得$(t-2)(t-3)=0$，
解得$t_1=2$，$t_2=3$，两个解均在$0＜t＜5$范围内，符合题意。
【答案】
(1) $S=-4t^2+20t(0＜t＜5)$
(2) 当t的值为2或3时，$S=\dfrac{4}{25}S_{△ ABC}$
【知识点】
二次函数实际应用，三角形面积计算，一元二次方程求解
【点评】
本题是典型的动点结合函数的应用型问题，解题的核心是用含时间t的代数式准确表示出运动线段的长度，再结合相关公式列式求解，注意自变量的取值范围要符合实际运动的限制条件，得到方程的解后要验证是否符合题意。
【难度系数】
0.7
