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实际问题与一元二次方程
一般步骤
（1）“审”：审题，弄清已知量和
（2）“设”：设
（3）“列”：根据题中的
（4）“解”：求出所列方程的
（5）“验”：检验根是否是原方程的根，是否符合
（6）“答”：
写出
数字问题
几何图形问题
求直角三角形边长：根据
求图形面积：根据
实际问题与一元二次方程
一般步骤
（1）“审”：审题，弄清已知量和
未知
量；（2）“设”：设
未知
数；（3）“列”：根据题中的
等量
关系系列方程；（4）“解”：求出所列方程的
根
；（5）“验”：检验根是否是原方程的根，是否符合
题意
；（6）“答”：
写出实际
问题的答案数字问题
几何图形问题
求直角三角形边长：根据
勾股
定理列方程求图形面积：根据
面积
公式列方程答案
(1)未知 (2)未知 (3)等量 (4)根 (5)题意
(6)实际 勾股 面积
(6)实际 勾股 面积
解析
【分析】
这道题考查一元二次方程解决实际问题的基础流程，以及几何类问题列方程的常用依据，属于基础识记类题目。解题时回忆列方程解实际问题的通用“审、设、列、解、验、答”六步的具体要求，再结合几何问题的常见等量依据填写即可：审题要明确已知和待求的未知量，设待求的未知量为未知数，找到题目里的等量关系才能列出方程，解方程是求方程的根，检验环节要验证根是否符合实际问题的要求，最终要回答对应的实际问题；几何类里直角三角形边长关系对应勾股定理，求面积依据面积公式列方程。
【解析】
我们按照顺序逐个填写：
(1) 审题的核心是明确已知量和未知量，确定求解目标，此处填未知；
(2) 设未知数是列方程的前提，此处填未知；
(3) 列方程的核心是找到题目中的等量关系，左右两边表示同一个量才能列等式，此处填等量；
(4) 解方程就是求出所列方程的根，此处填根；
(5) 检验环节不仅要验证根是原方程的根，还要验证根是否符合题意（实际意义，比如长度不能为负等），此处填题意；
(6) 最终要回归题目，写出实际问题的答案，此处填实际。
几何图形问题中：求直角三角形边长时，依据直角三角形三边的关系即勾股定理列方程，此处填勾股；求图形面积时，依据对应的面积公式列方程，此处填面积。
【答案】
(1)未知 (2)未知 (3)等量 (4)根 (5)题意 (6)实际 勾股 面积
【知识点】
列一元二次方程解实际问题的步骤，勾股定理，面积公式
【点评】
本题属于基础概念识记题，是运用一元二次方程解决各类实际问题的知识基础，熟练掌握这些步骤和常用等量依据，能为后续解决更复杂的实际应用问题做好铺垫。
【难度系数】
0.9
这道题考查一元二次方程解决实际问题的基础流程，以及几何类问题列方程的常用依据，属于基础识记类题目。解题时回忆列方程解实际问题的通用“审、设、列、解、验、答”六步的具体要求，再结合几何问题的常见等量依据填写即可：审题要明确已知和待求的未知量，设待求的未知量为未知数，找到题目里的等量关系才能列出方程，解方程是求方程的根，检验环节要验证根是否符合实际问题的要求，最终要回答对应的实际问题；几何类里直角三角形边长关系对应勾股定理，求面积依据面积公式列方程。
【解析】
我们按照顺序逐个填写：
(1) 审题的核心是明确已知量和未知量，确定求解目标，此处填未知；
(2) 设未知数是列方程的前提，此处填未知；
(3) 列方程的核心是找到题目中的等量关系，左右两边表示同一个量才能列等式，此处填等量；
(4) 解方程就是求出所列方程的根，此处填根；
(5) 检验环节不仅要验证根是原方程的根，还要验证根是否符合题意（实际意义，比如长度不能为负等），此处填题意；
(6) 最终要回归题目，写出实际问题的答案，此处填实际。
几何图形问题中：求直角三角形边长时，依据直角三角形三边的关系即勾股定理列方程，此处填勾股；求图形面积时，依据对应的面积公式列方程，此处填面积。
【答案】
(1)未知 (2)未知 (3)等量 (4)根 (5)题意 (6)实际 勾股 面积
【知识点】
列一元二次方程解实际问题的步骤，勾股定理，面积公式
【点评】
本题属于基础概念识记题，是运用一元二次方程解决各类实际问题的知识基础，熟练掌握这些步骤和常用等量依据，能为后续解决更复杂的实际应用问题做好铺垫。
【难度系数】
0.9
任务一 应用一元二次方程解决传播问题
阅读材料，补全分析过程。
鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染用时一天，某养鸡场某日发现一例，两天后，发现共有256只鸡患病。已知每只病鸡每轮传染健康鸡的只数均相同。求每只病鸡每轮传染多少只健康鸡。
分析：(1)设每只病鸡每轮传染健康鸡$x$只，则患病的这只鸡在第一天中传染了
(2)第二天的传染中，这些鸡中的每只鸡又传染了
依题意，得
即每只病鸡每轮传染
归纳总结
传播源参与两轮传播后，被传染的总数有两种计算方法：
(1)传播源的数量＋第一轮被传染数＋第二轮被传染数＝第二轮后的总数；
(2)公式法：$m(1+x)^n = a$，其中$m$是传播源的数量，$x$是传播源一次传播的数量，$n$是传播的次数，$a$是$n$次传播的结果数。
阅读材料，补全分析过程。
鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染用时一天，某养鸡场某日发现一例，两天后，发现共有256只鸡患病。已知每只病鸡每轮传染健康鸡的只数均相同。求每只病鸡每轮传染多少只健康鸡。
分析：(1)设每只病鸡每轮传染健康鸡$x$只，则患病的这只鸡在第一天中传染了
x
只鸡，第一轮后共有x+1
只鸡患了鸡瘟；(2)第二天的传染中，这些鸡中的每只鸡又传染了
x
只鸡，第二轮后共有$(x+1)^2$
只鸡患了鸡瘟。依题意，得
$(x+1)^2=256$
，解得$x=15$或$x=-17$(舍去)
，即每只病鸡每轮传染
15
只健康鸡。归纳总结
传播源参与两轮传播后，被传染的总数有两种计算方法：
(1)传播源的数量＋第一轮被传染数＋第二轮被传染数＝第二轮后的总数；
(2)公式法：$m(1+x)^n = a$，其中$m$是传播源的数量，$x$是传播源一次传播的数量，$n$是传播的次数，$a$是$n$次传播的结果数。
答案
(1)平均每人每轮感染18人
(2)$a$的值为50
(2)$a$的值为50
如果不防范，病毒的传播速度往往很快，有一种病毒1人感染后，经过两轮传播，共有361人感染.
(1)平均每人每轮感染多少人？
(2)第二轮传播后，人们加强防范，使病毒的传播力度减少到原来的$a\%$，这样第三轮传播后感染的人数只是第二轮传播后感染人数的10倍，求$a$的值.
(1)平均每人每轮感染多少人？
(2)第二轮传播后，人们加强防范，使病毒的传播力度减少到原来的$a\%$，这样第三轮传播后感染的人数只是第二轮传播后感染人数的10倍，求$a$的值.
答案
(1)18人
(2)50
(2)50
解析
【分析】
（1）本题属于传播类一元二次方程应用题，解题核心是掌握传播问题的数量关系：初始1个感染者，若平均每人每轮感染x人，那么每轮结束后总感染人数是上一轮总人数的(1+x)倍，两轮后总感染人数为(1+x)²，结合题目给出的两轮后共361人感染的条件，列方程求解即可，注意舍去不符合实际意义的负根。
（2）第二问是变化率类问题，首先明确传播力度减少到原来的a%，即第三轮平均每人每轮感染的人数为原来的a%，也就是18×a%；再根据“第三轮传播后总感染人数是第二轮的10倍”建立等量关系：第二轮总感染人数 + 第二轮所有感染者第三轮新感染的人数 = 第二轮总感染人数×10，列方程求解a即可。
【解析】
(1) 设平均每人每轮感染$ x $人。
由传播问题的数量关系可知，两轮传播后总感染人数为$ (1+x)^2 $，列方程：
$(1+x)^2 = 361$
开平方得$ 1+x = \pm19 $，
∵ 感染人数为正数，$ 1+x＞0 $，
∴ $ 1+x=19 $，解得$ x=18 $。
(2) 第二轮传播后总感染人数为361人，传播力度减少到原来的$ a\% $，则第三轮平均每人每轮感染$ 18× a\% $人。
根据题意，第三轮传播后总感染人数为$ 361×10 $，列方程：
$361 + 361× 18× a\% = 361× 10$
两边同时除以361，得：
$1 + 18× a\% = 10$
整理得$ 0.18a = 9 $，解得$ a=50 $。
【答案】
(1) 18人
(2) 50
【知识点】
1. 传播问题应用题
2. 平均变化率问题
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是实际应用类基础题，重点考查对传播问题数量关系的理解，解题关键是找准每轮总感染人数的计算逻辑，注意解出的根要符合实际意义，第二问需准确理解“传播力度减少到原来的a%”的含义，找准等量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
（1）本题属于传播类一元二次方程应用题，解题核心是掌握传播问题的数量关系：初始1个感染者，若平均每人每轮感染x人，那么每轮结束后总感染人数是上一轮总人数的(1+x)倍，两轮后总感染人数为(1+x)²，结合题目给出的两轮后共361人感染的条件，列方程求解即可，注意舍去不符合实际意义的负根。
（2）第二问是变化率类问题，首先明确传播力度减少到原来的a%，即第三轮平均每人每轮感染的人数为原来的a%，也就是18×a%；再根据“第三轮传播后总感染人数是第二轮的10倍”建立等量关系：第二轮总感染人数 + 第二轮所有感染者第三轮新感染的人数 = 第二轮总感染人数×10，列方程求解a即可。
【解析】
(1) 设平均每人每轮感染$ x $人。
由传播问题的数量关系可知，两轮传播后总感染人数为$ (1+x)^2 $，列方程：
$(1+x)^2 = 361$
开平方得$ 1+x = \pm19 $，
∵ 感染人数为正数，$ 1+x＞0 $，
∴ $ 1+x=19 $，解得$ x=18 $。
(2) 第二轮传播后总感染人数为361人，传播力度减少到原来的$ a\% $，则第三轮平均每人每轮感染$ 18× a\% $人。
根据题意，第三轮传播后总感染人数为$ 361×10 $，列方程：
$361 + 361× 18× a\% = 361× 10$
两边同时除以361，得：
$1 + 18× a\% = 10$
整理得$ 0.18a = 9 $，解得$ a=50 $。
【答案】
(1) 18人
(2) 50
【知识点】
1. 传播问题应用题
2. 平均变化率问题
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是实际应用类基础题，重点考查对传播问题数量关系的理解，解题关键是找准每轮总感染人数的计算逻辑，注意解出的根要符合实际意义，第二问需准确理解“传播力度减少到原来的a%”的含义，找准等量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
