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任务二
应用一元二次方程解决平均变化率问题
阅读材料，补全解题过程.
某制药厂两年前生产1 t甲种药品的成本是4 000元，生产1 t乙种药品的成本是5 500元.随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种药品的成本是1 440元，生产1 t乙种药品的成本是2 695元.哪种药品成本的年平均下降率较大？
分析：①从绝对量来看，甲种药品成本的年平均下降额为$(4\ 000 - 1\ 440) ÷ 2 = 1\ 280$(元)，乙种药品成本的年平均下降额为$(5\ 500 - 2\ 695) ÷ 2 = 1\ 402.5$(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大.
②从相对量来看，上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢？也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢？下面我们通过计算来说明这个问题.
解：(1)设甲种药品成本的年平均下降率为$x$，则一年后甲种药品成本为
依题意，得
解得
根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为
(2)设乙种药品成本的年平均下降率为$y$.
依题意，得
解得
根据实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为30%.
答：
归纳总结
(1)增长率问题：设基数为$a$，平均增长率为$x$，一次增长后的值为$a(1+x)$，二次增长后的值为$a(1+x)^2$，以此类推，$n$次增长后的值为$a(1+x)^n$.
(2)降低率问题：设基数为$a$，平均降低率为$x$，一次降低后的值为$a(1-x)$，二次降低后的值为$a(1-x)^2$，以此类推，$n$次降低后的值为$a(1-x)^n$.
应用一元二次方程解决平均变化率问题
阅读材料，补全解题过程.
某制药厂两年前生产1 t甲种药品的成本是4 000元，生产1 t乙种药品的成本是5 500元.随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种药品的成本是1 440元，生产1 t乙种药品的成本是2 695元.哪种药品成本的年平均下降率较大？
分析：①从绝对量来看，甲种药品成本的年平均下降额为$(4\ 000 - 1\ 440) ÷ 2 = 1\ 280$(元)，乙种药品成本的年平均下降额为$(5\ 500 - 2\ 695) ÷ 2 = 1\ 402.5$(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大.
②从相对量来看，上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢？也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢？下面我们通过计算来说明这个问题.
解：(1)设甲种药品成本的年平均下降率为$x$，则一年后甲种药品成本为
$4\ 000(1-x)$
元，两年后，甲种药品成本为$4\ 000(1-x)^2$
元.依题意，得
$4\ 000(1-x)^2=1\ 440$
，解得
$x_1=0.4$，$x_2=1.6$(不符合题意，舍去)
.根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为
$40\%$
.(2)设乙种药品成本的年平均下降率为$y$.
依题意，得
$5\ 500(1-y)^2=2\ 695$
，解得
$y_1=0.3$，$y_2=1.7$(不符合题意，舍去)
.根据实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为30%.
答：
甲
种药品成本的年平均下降率较大.归纳总结
(1)增长率问题：设基数为$a$，平均增长率为$x$，一次增长后的值为$a(1+x)$，二次增长后的值为$a(1+x)^2$，以此类推，$n$次增长后的值为$a(1+x)^n$.
(2)降低率问题：设基数为$a$，平均降低率为$x$，一次降低后的值为$a(1-x)$，二次降低后的值为$a(1-x)^2$，以此类推，$n$次降低后的值为$a(1-x)^n$.
答案
(1)甲种药品成本的年平均下降率为40%
(2)甲种药品成本的年平均下降率较大
(2)甲种药品成本的年平均下降率较大
解析
【分析】
本题属于平均下降率类的一元二次方程应用题，解题思路如下：1. 回忆平均下降率的数量关系：若初始成本为a，年平均下降率为x，则经过1年成本变为a(1-x)，经过2年成本变为a(1-x)²；2. 分别对甲、乙两种药品设出年平均下降率，结合各自的初始成本和当前成本列出一元二次方程；3. 解方程后根据“下降率小于1”的实际意义舍去不合题意的根，得到两种药品的年平均下降率；4. 比较两个下降率的大小得出最终结论。
【解析】
(1) 设甲种药品成本的年平均下降率为$x$，则一年后甲种药品成本为$4000(1-x)$元，两年后甲种药品成本为$4000(1-x)^2$元。
依题意，得 $4000(1-x)^2=1440$，
解方程：两边同时除以4000得$(1-x)^2=0.36$，开平方得$1-x=\pm0.6$，
解得 $x_1=0.4，x_2=1.6$（不合题意，舍去）。
根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为$40\%$。
(2) 设乙种药品成本的年平均下降率为$y$。
依题意，得 $5500(1-y)^2=2695$，
解方程：两边同时除以5500得$(1-y)^2=0.49$，开平方得$1-y=\pm0.7$，
解得 $y_1=0.3，y_2=1.7$（不合题意，舍去）。
根据实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为30%。
因为$40\%＞30\%$，可知甲种药品成本的年平均下降率较大。
【答案】
(1)甲种药品成本的年平均下降率为40%
(2)甲种药品成本的年平均下降率较大
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均变化率问题
【点评】
本题重点考查平均下降率问题的求解，解题时要熟练掌握平均变化率的公式，同时注意方程的根要符合实际意义，需注意年平均下降额与年平均下降率是不同的概念，不能直接通过下降额的大小判断下降率的大小。
【难度系数】
0.8
本题属于平均下降率类的一元二次方程应用题，解题思路如下：1. 回忆平均下降率的数量关系：若初始成本为a，年平均下降率为x，则经过1年成本变为a(1-x)，经过2年成本变为a(1-x)²；2. 分别对甲、乙两种药品设出年平均下降率，结合各自的初始成本和当前成本列出一元二次方程；3. 解方程后根据“下降率小于1”的实际意义舍去不合题意的根，得到两种药品的年平均下降率；4. 比较两个下降率的大小得出最终结论。
【解析】
(1) 设甲种药品成本的年平均下降率为$x$，则一年后甲种药品成本为$4000(1-x)$元，两年后甲种药品成本为$4000(1-x)^2$元。
依题意，得 $4000(1-x)^2=1440$，
解方程：两边同时除以4000得$(1-x)^2=0.36$，开平方得$1-x=\pm0.6$，
解得 $x_1=0.4，x_2=1.6$（不合题意，舍去）。
根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为$40\%$。
(2) 设乙种药品成本的年平均下降率为$y$。
依题意，得 $5500(1-y)^2=2695$，
解方程：两边同时除以5500得$(1-y)^2=0.49$，开平方得$1-y=\pm0.7$，
解得 $y_1=0.3，y_2=1.7$（不合题意，舍去）。
根据实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为30%。
因为$40\%＞30\%$，可知甲种药品成本的年平均下降率较大。
【答案】
(1)甲种药品成本的年平均下降率为40%
(2)甲种药品成本的年平均下降率较大
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均变化率问题
【点评】
本题重点考查平均下降率问题的求解，解题时要熟练掌握平均变化率的公式，同时注意方程的根要符合实际意义，需注意年平均下降额与年平均下降率是不同的概念，不能直接通过下降额的大小判断下降率的大小。
【难度系数】
0.8
某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动. 4月投入资金20万元，6月投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同.
(1)求该商场投入资金的月平均增长率；
(2)按照这个增长率，预计该商场7月投入资金将达到多少万元.
(1)求该商场投入资金的月平均增长率；
(2)按照这个增长率，预计该商场7月投入资金将达到多少万元.
答案
(1)10%
(2)26.62万元
(2)26.62万元
解析
【分析】
本题属于平均增长率类的实际应用题，解题思路如下：(1) 求月平均增长率时，先设月平均增长率为x，根据“初始资金×(1+增长率)ⁿ = 第n期后的资金”的规律，4月到6月间隔2个月，可列出关于x的一元二次方程，求解后结合增长率为正数的实际意义舍去不符合的根，即可得到增长率；(2) 求7月的投入资金，只需用6月的投入资金乘以(1+增长率)计算即可。
【解析】
(1) 设该商场投入资金的月平均增长率为x。
根据题意，4月投入20万元，经过2个月增长到6月的24.2万元，列方程得：
$20(1+x)^2 = 24.2$
方程两边同时除以20，得：
$(1+x)^2 = 1.21$
开平方得：
$1+x = ±1.1$
解得：$x_1 = 0.1 = 10\%$，$x_2 = -2.1$（增长率不能为负，不符合实际意义，舍去）
(2) 按照10%的增长率，7月投入资金为6月资金乘以(1+增长率)：
$24.2 × (1+10\%) = 24.2 × 1.1 = 26.62$（万元）
【答案】
(1) 10%；(2) 26.62万元
【知识点】
平均增长率问题、一元二次方程的应用、有理数运算
【点评】
本题是平均变化率的典型基础应用题，解题核心是熟练掌握变化率的计算公式，求解方程后要注意结合实际问题的取值范围舍去不合题意的根，计算时注意小数乘法的准确性即可。
【难度系数】
0.8
本题属于平均增长率类的实际应用题，解题思路如下：(1) 求月平均增长率时，先设月平均增长率为x，根据“初始资金×(1+增长率)ⁿ = 第n期后的资金”的规律，4月到6月间隔2个月，可列出关于x的一元二次方程，求解后结合增长率为正数的实际意义舍去不符合的根，即可得到增长率；(2) 求7月的投入资金，只需用6月的投入资金乘以(1+增长率)计算即可。
【解析】
(1) 设该商场投入资金的月平均增长率为x。
根据题意，4月投入20万元，经过2个月增长到6月的24.2万元，列方程得：
$20(1+x)^2 = 24.2$
方程两边同时除以20，得：
$(1+x)^2 = 1.21$
开平方得：
$1+x = ±1.1$
解得：$x_1 = 0.1 = 10\%$，$x_2 = -2.1$（增长率不能为负，不符合实际意义，舍去）
(2) 按照10%的增长率，7月投入资金为6月资金乘以(1+增长率)：
$24.2 × (1+10\%) = 24.2 × 1.1 = 26.62$（万元）
【答案】
(1) 10%；(2) 26.62万元
【知识点】
平均增长率问题、一元二次方程的应用、有理数运算
【点评】
本题是平均变化率的典型基础应用题，解题核心是熟练掌握变化率的计算公式，求解方程后要注意结合实际问题的取值范围舍去不合题意的根，计算时注意小数乘法的准确性即可。
【难度系数】
0.8
课时小结
请根据本课所学，构建知识体系。
实际问题与一元二次方程
传播问题
平均增长（降低）率问题
设变化前后的量分别为a，b，变化的平均增长率（降低率）为x，增长或降低的次数为n，则b=
请根据本课所学，构建知识体系。
实际问题与一元二次方程
传播问题
平均增长（降低）率问题
设变化前后的量分别为a，b，变化的平均增长率（降低率）为x，增长或降低的次数为n，则b=
$a(1\pm x)^n$
答案
$a(1\pm x)^n$
解析
【分析】
解决本题可从单次变化的规律逐步推导到n次变化的通用公式：首先明确各字母的含义，a是变化前的初始量，x是每次的平均变化率，n是变化的次数，b是变化后的最终量。若为增长率，每次变化后数值变为之前的(1+x)倍，变化几次就乘几次(1+x)；若为降低率，每次变化后数值变为之前的(1-x)倍，变化几次就乘几次(1-x)，最后整合两种情况即可得到通用表达式。
【解析】
我们分两种情况推导：
1. 平均增长率场景：初始量为a，每次增长率为x，增长1次后数值为$a(1+x)$，增长2次后数值为$a(1+x)·(1+x)=a(1+x)^2$，以此类推，增长n次后，最终量$b=a(1+x)^n$；
2. 平均降低率场景：初始量为a，每次降低率为x，降低1次后数值为$a(1-x)$，降低2次后数值为$a(1-x)·(1-x)=a(1-x)^2$，以此类推，降低n次后，最终量$b=a(1-x)^n$。
将两种情况合并，可得通用公式：$b=a(1\pm x)^n$（增长时取“+”，降低时取“-”）。
【答案】
$a(1\pm x)^n$
【知识点】
平均变化率公式；一元二次方程实际应用
【点评】
本题是平均变化率问题的基础核心考点，考查公式的推导逻辑和记忆，该公式是解决同类实际应用题的核心工具，解题时要注意区分增长、降低场景对应的符号，避免混淆。
【难度系数】
0.85
解决本题可从单次变化的规律逐步推导到n次变化的通用公式：首先明确各字母的含义，a是变化前的初始量，x是每次的平均变化率，n是变化的次数，b是变化后的最终量。若为增长率，每次变化后数值变为之前的(1+x)倍，变化几次就乘几次(1+x)；若为降低率，每次变化后数值变为之前的(1-x)倍，变化几次就乘几次(1-x)，最后整合两种情况即可得到通用表达式。
【解析】
我们分两种情况推导：
1. 平均增长率场景：初始量为a，每次增长率为x，增长1次后数值为$a(1+x)$，增长2次后数值为$a(1+x)·(1+x)=a(1+x)^2$，以此类推，增长n次后，最终量$b=a(1+x)^n$；
2. 平均降低率场景：初始量为a，每次降低率为x，降低1次后数值为$a(1-x)$，降低2次后数值为$a(1-x)·(1-x)=a(1-x)^2$，以此类推，降低n次后，最终量$b=a(1-x)^n$。
将两种情况合并，可得通用公式：$b=a(1\pm x)^n$（增长时取“+”，降低时取“-”）。
【答案】
$a(1\pm x)^n$
【知识点】
平均变化率公式；一元二次方程实际应用
【点评】
本题是平均变化率问题的基础核心考点，考查公式的推导逻辑和记忆，该公式是解决同类实际应用题的核心工具，解题时要注意区分增长、降低场景对应的符号，避免混淆。
【难度系数】
0.85
