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例1 有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为7. 将该数的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为1 300. 求原来的两位数.
归纳总结
(1)列方程解决实际问题的一般步骤：审清题意，设未知数，列出方程，解所列方程，求出所列方程的解，检验和作答.
(2)两位数的表示技巧：若个位数字为$a$，十位数字为$b$，则这个两位数表示为$10b+a$.
归纳总结
(1)列方程解决实际问题的一般步骤：审清题意，设未知数，列出方程，解所列方程，求出所列方程的解，检验和作答.
(2)两位数的表示技巧：若个位数字为$a$，十位数字为$b$，则这个两位数表示为$10b+a$.
答案
解：设原来的两位数的十位上的数字为x，则个位上的数字为7−x.
根据题意，得(10x+7−x)[10(7−x)+x]=1 300，解得x₁=2，x₂=5.
当x=2时，7−x=5，原来的两位数为25；
当x=5时，7−x=2，原来的两位数为52.
答：原来的两位数为25或52.
根据题意，得(10x+7−x)[10(7−x)+x]=1 300，解得x₁=2，x₂=5.
当x=2时，7−x=5，原来的两位数为25；
当x=5时，7−x=2，原来的两位数为52.
答：原来的两位数为25或52.
解析
【分析】
这是一道数字类应用题，解题思路如下：第一步梳理已知条件：两位数的个位与十位数字之和为7，原两位数与个位、十位对调后的新两位数的乘积为1300；第二步设未知数，设十位数字为x，根据数字和的关系可得个位数字为7-x；第三步根据两位数的表示方法（十位数字×10+个位数字），分别写出原两位数和对调后的新两位数；第四步根据“两数乘积为1300”的等量关系列一元二次方程，求解方程后验证解是否符合数位的取值要求（十位数字为1~9的整数，个位数字为0~9的整数），最后得出对应的原两位数即可。
【解析】
解：设原来的两位数的十位上的数字为x，则个位上的数字为$7-x$。
根据题意，原两位数为$10x+(7-x)$，对调后的新两位数为$10(7-x)+x$，结合两数乘积为1300列方程得：
$(10x+7-x)[10(7-x)+x]=1300$
求解方程得$x_1=2$，$x_2=5$，两个解均符合十位数字的取值要求。
当$x=2$时，$7-x=5$，原来的两位数为25；
当$x=5$时，$7-x=2$，原来的两位数为52。
答：原来的两位数为25或52。
【答案】
25或52
【知识点】
一元二次方程的应用；两位数的表示；列方程解应用题
【点评】
本题是典型的数字类实际应用题，解题核心是熟练掌握两位数的表示方法，准确找到题目中的等量关系列方程，求解后要注意检验解是否符合数位的实际取值要求，避免出现不符合实际的解，同时不要漏记符合条件的解。
【难度系数】
0.7
这是一道数字类应用题，解题思路如下：第一步梳理已知条件：两位数的个位与十位数字之和为7，原两位数与个位、十位对调后的新两位数的乘积为1300；第二步设未知数，设十位数字为x，根据数字和的关系可得个位数字为7-x；第三步根据两位数的表示方法（十位数字×10+个位数字），分别写出原两位数和对调后的新两位数；第四步根据“两数乘积为1300”的等量关系列一元二次方程，求解方程后验证解是否符合数位的取值要求（十位数字为1~9的整数，个位数字为0~9的整数），最后得出对应的原两位数即可。
【解析】
解：设原来的两位数的十位上的数字为x，则个位上的数字为$7-x$。
根据题意，原两位数为$10x+(7-x)$，对调后的新两位数为$10(7-x)+x$，结合两数乘积为1300列方程得：
$(10x+7-x)[10(7-x)+x]=1300$
求解方程得$x_1=2$，$x_2=5$，两个解均符合十位数字的取值要求。
当$x=2$时，$7-x=5$，原来的两位数为25；
当$x=5$时，$7-x=2$，原来的两位数为52。
答：原来的两位数为25或52。
【答案】
25或52
【知识点】
一元二次方程的应用；两位数的表示；列方程解应用题
【点评】
本题是典型的数字类实际应用题，解题核心是熟练掌握两位数的表示方法，准确找到题目中的等量关系列方程，求解后要注意检验解是否符合数位的实际取值要求，避免出现不符合实际的解，同时不要漏记符合条件的解。
【难度系数】
0.7
两个连续奇数的积是323，求这两个数。
答案
解：当较小奇数为17时，较大奇数为19.
当较小奇数为−19时，较大奇数为−17.
当较小奇数为−19时，较大奇数为−17.
解析
【分析】
首先明确连续奇数的特征：两个连续奇数的差为2，我们可以设其中较小的奇数为未知数，用含未知数的式子表示出较大的奇数，再根据“两个连续奇数的积是323”这一等量关系列出一元二次方程，求解方程后得到两个解，分别对应正奇数和负奇数两组结果，最后检验解是否符合奇数的要求即可。
【解析】
解：设较小的奇数为$ x $，则与其连续的较大奇数为$ x+2 $。
根据题意列方程得：
$ x(x+2) = 323 $
整理为一元二次方程标准形式：
$ x^2 + 2x - 323 = 0 $
因式分解得：
$ (x - 17)(x + 19) = 0 $
解得：$ x_1 = 17 $，$ x_2 = -19 $
当$ x = 17 $时，$ x+2 = 19 $；
当$ x = -19 $时，$ x+2 = -17 $。
两组结果均符合连续奇数的定义。
【答案】
当较小奇数为17时，较大奇数为19；当较小奇数为−19时，较大奇数为−17。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 奇数的性质
3. 因式分解法解方程
【点评】
本题是典型的数字类应用题，解题关键是抓住连续奇数相差2的特点合理设元，根据乘积的等量关系建立方程，解题时要注意奇数包含正、负两类，避免遗漏负解。
【难度系数】
0.7
首先明确连续奇数的特征：两个连续奇数的差为2，我们可以设其中较小的奇数为未知数，用含未知数的式子表示出较大的奇数，再根据“两个连续奇数的积是323”这一等量关系列出一元二次方程，求解方程后得到两个解，分别对应正奇数和负奇数两组结果，最后检验解是否符合奇数的要求即可。
【解析】
解：设较小的奇数为$ x $，则与其连续的较大奇数为$ x+2 $。
根据题意列方程得：
$ x(x+2) = 323 $
整理为一元二次方程标准形式：
$ x^2 + 2x - 323 = 0 $
因式分解得：
$ (x - 17)(x + 19) = 0 $
解得：$ x_1 = 17 $，$ x_2 = -19 $
当$ x = 17 $时，$ x+2 = 19 $；
当$ x = -19 $时，$ x+2 = -17 $。
两组结果均符合连续奇数的定义。
【答案】
当较小奇数为17时，较大奇数为19；当较小奇数为−19时，较大奇数为−17。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 奇数的性质
3. 因式分解法解方程
【点评】
本题是典型的数字类应用题，解题关键是抓住连续奇数相差2的特点合理设元，根据乘积的等量关系建立方程，解题时要注意奇数包含正、负两类，避免遗漏负解。
【难度系数】
0.7
例2 如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12 m的住房墙，另外三边用25 m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门，花圃面积为80 m²，设与墙垂直的一边长为x m.
(1)用含有x的代数式表示平行于墙的一边使用的篱笆的长度；
(2)求x的值.
(1)用含有x的代数式表示平行于墙的一边使用的篱笆的长度；
(2)求x的值.
答案
(1)设与墙垂直的一边长为x m，则平行于墙的一边使用的篱笆的长度为(25+1−2x)m，即(26−2x)m.
(2)根据题意，得x(26−2x)=80，解得x₁=5，x₂=8.
当x=5时，26−2x=26−2×5=16＞12(不符合题意，舍去)；
当x=8时，26−2x=26−2×8=10＜12，符合题意.
∴x的值为8.
(2)根据题意，得x(26−2x)=80，解得x₁=5，x₂=8.
当x=5时，26−2x=26−2×5=16＞12(不符合题意，舍去)；
当x=8时，26−2x=26−2×8=10＜12，符合题意.
∴x的值为8.
解析
【分析】
(1) 首先梳理篱笆使用逻辑：垂直于住房墙的边共2条，每条长x m，其中1条边有1m宽的门无需使用篱笆，因此篱笆总长加门宽的总长度，等于2条垂直边的总长度加平行于墙的边的篱笆长度，据此即可推导平行边的代数式。
(2) 利用矩形面积=垂直边长×平行边长的公式，结合已知面积80m²列一元二次方程，求解后需注意平行于墙的边长度不能超过住房墙的12m长度限制，要对根进行实际意义检验，舍去不符合要求的解即可得到x的值。
【解析】
(1) 已知与墙垂直的边长为x m，两条垂直边总长度为2x m，由于有1m宽的门不需要篱笆，因此平行于墙的篱笆长度为篱笆总长加上门宽，再减去两条垂直边的长度：
$25 + 1 - 2x = (26 - 2x)\ \mathrm{m}$
(2) 根据矩形面积公式列方程：
$x(26 - 2x) = 80$
整理得$x^2 - 13x + 40 = 0$，因式分解得$(x-5)(x-8)=0$，解得$x_1=5$，$x_2=8$。
进行实际意义检验：
当$x=5$时，平行于墙的边长为$26-2×5=16\ \mathrm{m}$，$16＞12$，超过住房墙长度，不符合题意，舍去；
当$x=8$时，平行于墙的边长为$26-2×8=10\ \mathrm{m}$，$10＜12$，符合题意。
【答案】
(1) $\boxed{(26-2x)\ \mathrm{m}}$
(2) $\boxed{8}$
【知识点】
列代数式；一元二次方程应用；实际问题根检验
【点评】
本题是一元二次方程在几何面积问题中的典型应用，解题易错点为忽略墙的长度限制，未对所得的根进行合理性筛选，做题时要注意结合实际场景判断解的可行性，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
(1) 首先梳理篱笆使用逻辑：垂直于住房墙的边共2条，每条长x m，其中1条边有1m宽的门无需使用篱笆，因此篱笆总长加门宽的总长度，等于2条垂直边的总长度加平行于墙的边的篱笆长度，据此即可推导平行边的代数式。
(2) 利用矩形面积=垂直边长×平行边长的公式，结合已知面积80m²列一元二次方程，求解后需注意平行于墙的边长度不能超过住房墙的12m长度限制，要对根进行实际意义检验，舍去不符合要求的解即可得到x的值。
【解析】
(1) 已知与墙垂直的边长为x m，两条垂直边总长度为2x m，由于有1m宽的门不需要篱笆，因此平行于墙的篱笆长度为篱笆总长加上门宽，再减去两条垂直边的长度：
$25 + 1 - 2x = (26 - 2x)\ \mathrm{m}$
(2) 根据矩形面积公式列方程：
$x(26 - 2x) = 80$
整理得$x^2 - 13x + 40 = 0$，因式分解得$(x-5)(x-8)=0$，解得$x_1=5$，$x_2=8$。
进行实际意义检验：
当$x=5$时，平行于墙的边长为$26-2×5=16\ \mathrm{m}$，$16＞12$，超过住房墙长度，不符合题意，舍去；
当$x=8$时，平行于墙的边长为$26-2×8=10\ \mathrm{m}$，$10＜12$，符合题意。
【答案】
(1) $\boxed{(26-2x)\ \mathrm{m}}$
(2) $\boxed{8}$
【知识点】
列代数式；一元二次方程应用；实际问题根检验
【点评】
本题是一元二次方程在几何面积问题中的典型应用，解题易错点为忽略墙的长度限制，未对所得的根进行合理性筛选，做题时要注意结合实际场景判断解的可行性，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
归纳总结
几何图形中面积问题的解题技巧(以矩形为例)：
(1)明确几何图形的长和宽；
(2)设关键的量为$x$，其他有关量用含$x$的式子表示出来；
(3)根据图形的面积公式列方程；
(4)方程的解要符合实际题意.
即时测评
如图，要利用一面墙(墙长为$60\ \mathrm{m}$)，用$100\ \mathrm{m}$的围栏建菜园(围栏无剩余)，基本结构为三个大小相同的矩形.
(1)如果围成菜园的总面积为$400\ \mathrm{m}^2$，求菜园的边$AB$，$BC$的长.
(2)保持菜园的基本结构，菜园的总面积能否达到$640\ \mathrm{m}^2$？请说明理由.
几何图形中面积问题的解题技巧(以矩形为例)：
(1)明确几何图形的长和宽；
(2)设关键的量为$x$，其他有关量用含$x$的式子表示出来；
(3)根据图形的面积公式列方程；
(4)方程的解要符合实际题意.
即时测评
如图，要利用一面墙(墙长为$60\ \mathrm{m}$)，用$100\ \mathrm{m}$的围栏建菜园(围栏无剩余)，基本结构为三个大小相同的矩形.
(1)如果围成菜园的总面积为$400\ \mathrm{m}^2$，求菜园的边$AB$，$BC$的长.
(2)保持菜园的基本结构，菜园的总面积能否达到$640\ \mathrm{m}^2$？请说明理由.
答案
(1)菜园的边AB的长为20 m，BC的长为20 m.
(2)不能. 理由略.
(2)不能. 理由略.
解析
【分析】
首先观察图形结构，围栏由4条垂直于墙的等长边（长度均等于AB）和1条平行于墙的边（长度等于BC）组成，AD段为墙无需围栏。解题时先设AB的长为$x\ \mathrm{m}$，即可用含$x$的代数式表示BC的长，同时注意BC的长不能超过墙长60m的隐含限制。第一问根据矩形面积公式列一元二次方程求解，解后验证是否符合实际意义；第二问同样列方程，通过判断一元二次方程根的情况，即可判断能否达到指定面积。
【解析】
(1) 设$AB$的长为$x\ \mathrm{m}$，则$BC$的长为$(100-4x)\ \mathrm{m}$。
由墙长限制可得：$100-4x ≤ 60$，解得$x≥10$，且$x＞0$。
根据总面积为$400\ \mathrm{m}^2$列方程：
$x(100-4x)=400$
整理得：$x^2-25x+100=0$
因式分解得：$(x-5)(x-20)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=20$。
当$x=5$时，$BC=100-4×5=80\ \mathrm{m}＞60\ \mathrm{m}$，不符合墙长限制，舍去；
当$x=20$时，$BC=100-4×20=20\ \mathrm{m}＜60\ \mathrm{m}$，符合题意。
(2) 不能达到$640\ \mathrm{m}^2$，理由如下：
假设总面积能达到$640\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$x(100-4x)=640$
整理得：$x^2-25x+160=0$
计算判别式：$\Delta=(-25)^2-4×1×160=625-640=-15＜0$
因此该一元二次方程无实数根，说明不存在符合条件的边长，即总面积不能达到$640\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1)菜园的边$AB$的长为$20\ \mathrm{m}$，$BC$的长为$20\ \mathrm{m}$；(2)不能。
【知识点】
一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，矩形面积计算
【点评】
本题属于几何与方程结合的常规应用题，解题关键是理清围栏边长的构成，尤其要注意题目中隐含的实际限制条件，求出方程的解后必须验证是否符合实际意义，判断面积能否达标时可通过判别式判断方程是否有实根快速求解。
【难度系数】
0.7
首先观察图形结构，围栏由4条垂直于墙的等长边（长度均等于AB）和1条平行于墙的边（长度等于BC）组成，AD段为墙无需围栏。解题时先设AB的长为$x\ \mathrm{m}$，即可用含$x$的代数式表示BC的长，同时注意BC的长不能超过墙长60m的隐含限制。第一问根据矩形面积公式列一元二次方程求解，解后验证是否符合实际意义；第二问同样列方程，通过判断一元二次方程根的情况，即可判断能否达到指定面积。
【解析】
(1) 设$AB$的长为$x\ \mathrm{m}$，则$BC$的长为$(100-4x)\ \mathrm{m}$。
由墙长限制可得：$100-4x ≤ 60$，解得$x≥10$，且$x＞0$。
根据总面积为$400\ \mathrm{m}^2$列方程：
$x(100-4x)=400$
整理得：$x^2-25x+100=0$
因式分解得：$(x-5)(x-20)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=20$。
当$x=5$时，$BC=100-4×5=80\ \mathrm{m}＞60\ \mathrm{m}$，不符合墙长限制，舍去；
当$x=20$时，$BC=100-4×20=20\ \mathrm{m}＜60\ \mathrm{m}$，符合题意。
(2) 不能达到$640\ \mathrm{m}^2$，理由如下：
假设总面积能达到$640\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$x(100-4x)=640$
整理得：$x^2-25x+160=0$
计算判别式：$\Delta=(-25)^2-4×1×160=625-640=-15＜0$
因此该一元二次方程无实数根，说明不存在符合条件的边长，即总面积不能达到$640\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1)菜园的边$AB$的长为$20\ \mathrm{m}$，$BC$的长为$20\ \mathrm{m}$；(2)不能。
【知识点】
一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，矩形面积计算
【点评】
本题属于几何与方程结合的常规应用题，解题关键是理清围栏边长的构成，尤其要注意题目中隐含的实际限制条件，求出方程的解后必须验证是否符合实际意义，判断面积能否达标时可通过判别式判断方程是否有实根快速求解。
【难度系数】
0.7
