12.如图,将两根钢条$AA'$,$BB'$的中点O连在一起,使$AA'$,$BB'$可以绕着点O自由转动,这样就做成了一个测量工具,则$A'B'$的宽等于内槽宽AB,请用全等的知识来解释其中的道理。

12. 提示:利用“SAS”证全等

【分析】
要解释A'B'的宽等于内槽宽AB，需证明△AOB与△A'OB'全等。首先从已知条件入手：O是AA'和BB'的中点，可得到两组对应边相等；其次△AOB和△A'OB'的夹角是对顶角，对顶角相等，刚好满足“SAS”的全等判定条件，证明全等后根据全等三角形对应边相等即可得出结论。
【解析】
证明：
∵ 点O是AA'、BB'的中点，
∴ $OA=OA'$，$OB=OB'$。
在$△ AOB$和$△ A'OB'$中：
$\begin{cases}OA=OA' \\∠ AOB=∠ A'OB' \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\OB=OB'\end{cases}$
∴ $△ AOB ≌ △ A'OB'$（SAS）。
根据全等三角形的对应边相等，可得$AB=A'B'$，即A'B'的宽等于内槽宽AB。
【答案】
利用“SAS”证$△ AOB ≌ △ A'OB'$，由全等三角形对应边相等可得$AB=A'B'$。
【知识点】
SAS全等判定、全等三角形的性质、对顶角相等
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的典型应用，解题时需挖掘对顶角相等这一隐含条件，结合中点得到的边相等关系，用SAS判定三角形全等即可求解，能考查学生对全等判定的掌握和实际应用能力。
【难度系数】
0.8

13. 如图，点E，A，C在同一条直线上，AB//CD，AB＝CE，请你添加一个条件，使得△ABC≌△CED，并说明理由。

13. 添加条件:$AC=CD$,理由略

【分析】
解题时首先梳理已知条件：①由AB//CD，根据平行线的性质可得到一组内错角相等，即∠BAC=∠ECD；②已知AB=CE。此时要证明△ABC≌△CED，已经满足“一组边对应相等、一组角对应相等”的条件。结合三角形全等的判定定理，若选择SAS判定，只需补充夹这组等角的另一组对应边相等，即AC=CD即可；也可根据ASA、AAS判定补充对应角相等的条件，本题以参考答案给出的AC=CD为例求解。
【解析】
添加的条件为$AC=CD$（答案不唯一），理由如下：
$\because AB// CD$
$\therefore ∠ BAC=∠ ECD$（两直线平行，内错角相等）
在$△ ABC$和$△ CED$中：
$\{\begin{array}{l}AB=CE(已知)\\ ∠ BAC=∠ ECD(已证)\\ AC=CD(添加的条件)\end{array} $
$\therefore △ ABC≌△ CED(SAS)$
【答案】
添加条件:$AC=CD$（答案不唯一），理由见解析。
【知识点】
平行线的性质；三角形全等的SAS判定
【点评】
本题属于全等判定的开放性基础题，解题的关键是先推导已知条件中的隐含相等关系，再结合全等判定定理补充缺少的条件，能有效考查对全等判定定理的掌握和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

14.已知:如图,△AOD≌△BOC,其中点A,D的对应点分别为点B,C。求证:AC=BD。

14. 证明:$\because △AOD≌△BOC,\therefore AO=BO,CO=DO,∠AOD=∠BOC,\therefore ∠AOD-∠COD=∠BOC-∠COD$,即$∠AOC=∠BOD$。在$△AOC$和$△BOD$中,$\because \begin{cases} AO=BO, \\ ∠AOC=∠BOD, \\ CO=DO, \end{cases}$
$\therefore △AOC≌△BOD(\mathrm{SAS}),\therefore AC=BD$

【分析】
要证明线段AC=BD，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等来实现。首先从已知的△AOD≌△BOC出发，利用全等三角形的性质可得对应边AO=BO、CO=DO，对应角∠AOD=∠BOC；再通过角的和差关系，将两个相等的角同时减去公共角∠COD，即可得到△AOC和△BOD的夹角∠AOC=∠BOD，此时已满足SAS的全等判定条件，证明两个三角形全等后就能推出对应边AC=BD。
【解析】
证明：$\because △AOD≌△BOC$
$\therefore AO=BO,CO=DO,∠AOD=∠BOC$
$\therefore ∠AOD-∠COD=∠BOC-∠COD$，即$∠AOC=∠BOD$
在$△AOC$和$△BOD$中，
$\because \begin{cases} AO=BO, \\ ∠AOC=∠BOD, \\ CO=DO, \end{cases}$
$\therefore △AOC≌△BOD(\mathrm{SAS})$
$\therefore AC=BD$
【答案】
证明过程如上，AC=BD得证。
【知识点】
全等三角形的性质；三角形全等的SAS判定
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题核心是明确待证线段所属的三角形，结合已知全等的性质推导新全等所需的边、角条件，注意公共角在角的等量代换中的运用。
【难度系数】
0.8

15.已知:如图,在$△ ABC$中,AD为BC边上的中线。求证:$2AD＜AB+AC$。(提示:延长AD到E,使DE=AD)

证明：
延长AD到点E，使DE=AD，连接BE。
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD。
在△ADC和△EDB中，
$\{\begin{array}{l}AD=ED \\∠ADC=∠EDB \\CD=BD\end{array} $
∴△ADC≌△EDB（SAS）。
∴AC=BE。
在△ABE中，由三角形三边关系可得：AE ＜ AB + BE。
又∵AE = AD + DE = 2AD，
∴2AD ＜ AB + AC。

【分析】
要证明$2AD＜AB+AC$这类线段不等关系，通常利用三角形三边关系“两边之和大于第三边”求解，但当前AD、AB、AC不在同一个三角形中，因此需要构造辅助线转化线段。根据提示延长AD到E使$DE=AD$，即可得到$2AD=AE$；再结合AD是BC中线的条件，可证明$△ ADC$和$△ EDB$全等，将AC转化为BE，此时AB、BE、AE都在$△ ABE$中，利用三边关系即可推导出结论。
【解析】
证明：延长AD到点E，使$DE=AD$，连接BE。
∵AD是BC边上的中线，
∴$BD=CD$。
在$△ ADC$和$△ EDB$中，
$\{\begin{array}{l}AD=ED \\∠ADC=∠EDB \\CD=BD\end{array} $
∴$△ ADC≌△ EDB$（SAS）。
∴$AC=BE$。
在$△ ABE$中，由三角形三边关系可得：$AE ＜ AB + BE$。
又
∵$AE = AD + DE = 2AD$，
∴$2AD ＜ AB + AC$。
【答案】
证明过程见解析，可证得$2AD＜AB+AC$成立。
【知识点】
SAS判定全等，三角形三边关系，中线定义
【点评】
本题是倍长中线辅助线的典型应用，通过倍长中线构造全等三角形，可将分散的线段转移到同一个三角形中，结合三角形三边关系即可证明线段不等关系，是几何证明中常用的技巧。
【难度系数】
0.7