16.已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,E,F为边AB,AC上的任意一点,且AE=AF。连结EF并延长,交BC的延长线于点M。求证:2∠M=∠BAC。

16. 提示:证明$∠APF=90°$

【分析】
要证明2∠M=∠BAC，结合已知AD平分∠BAC，可转化为证明∠M=∠CAD。首先观察已知条件AE=AF，AD是∠BAC的角平分线，可通过SAS证明△AEP和△AFP全等，得到AD⊥EF即∠APF=90°，再利用直角三角形两锐角互余、对顶角相等推导角的等量关系，即可得出结论。
【解析】
设AD与EF交于点P，证明过程如下：
1.
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAP=∠FAP。
2. 在△AEP和△AFP中：
$\{\begin{array}{l} AE=AF(\mathrm{已知})\\ ∠ EAP=∠ FAP(\mathrm{已证})\\ AP=AP(\mathrm{公共边}) \end{array} $

∴△AEP≌△AFP（SAS）。
3.
∴∠APE=∠APF，又
∵∠APE+∠APF=180°，
∴∠APF=90°，即AD⊥EF。
4. 在Rt△APF中，∠AFP + ∠CAD = 90°。
5.
∵∠ACB=90°，
∴∠ACM=90°，在Rt△MCF中，∠M + ∠CFM = 90°。
6. 又
∵∠AFP=∠CFM（对顶角相等），
∴∠M=∠CAD。
7.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠CAD，
∴∠BAC=2∠M，即2∠M=∠BAC，得证。
【答案】
2∠M=∠BAC，证明成立。
【知识点】
1. 三角形全等SAS判定
2. 角平分线的定义
3. 直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础几何证明题，解题核心是通过全等三角形得到垂直关系，再结合角的等量代换完成推导，要求熟练掌握全等三角形的判定条件，能快速梳理角之间的互余、相等关系。
【难度系数】
0.7

17. 如图，$AB=CD=AE=BC+DE=2$，$∠ ABC=∠ AED=90°$，求五边形ABCDE的面积。

17. 4(提示:延长DE至F,使$EF=BC$,连结AC,AD,AF)

【分析】
这是一道不规则五边形面积求解问题，直接套用面积公式无法计算，因此考虑用割补法将其转化为熟悉的三角形面积计算。观察已知条件可得：AB=AE，∠B和∠E都是直角，且BC+DE=CD，因此可以通过延长DE构造EF=BC，先证明△ABC和△AEF全等得到AC=AF，再结合DF=CD、公共边AD证明△ACD和△AFD全等，最终将五边形面积转化为2倍的△ADF的面积即可求解。
【解析】
延长DE至点F，使$EF=BC$，连结AC、AD、AF。
1. 证明$△ ABC ≌ △ AEF$：
∵$∠ABC=∠AED=90°$，
∴$∠AEF=∠ABC=90°$
在$△ ABC$和$△ AEF$中：
$\begin{cases}AB=AE \\∠ABC=∠AEF \\BC=EF\end{cases}$
∴$△ ABC ≌ △ AEF(\mathrm{SAS})$，得$AC=AF$，$S_{△ ABC}=S_{△ AEF}$。
2. 证明$△ ACD ≌ △ AFD$：
∵$BC+DE=2$，$EF=BC$，
∴$DF=DE+EF=DE+BC=2$
又
∵$CD=2$，
∴$CD=DF$
在$△ ACD$和$△ AFD$中：
$\begin{cases}AC=AF \\CD=DF \\AD=AD\end{cases}$
∴$△ ACD ≌ △ AFD(\mathrm{SSS})$，得$S_{△ ACD}=S_{△ AFD}$。
3. 计算五边形面积：
$S_{\mathrm{五边形}ABCDE}=S_{△ ABC}+S_{\mathrm{四边形}ACDE}=S_{△ AEF}+S_{\mathrm{四边形}ACDE}=S_{△ ACD}+S_{△ AFD}=2S_{△ AFD}$
$△ AFD$中，底$DF=2$，DF边上的高为$AE=2$，因此：
$S_{△ AFD}=\frac{1}{2} × DF × AE=\frac{1}{2} × 2 × 2=2$
∴$S_{\mathrm{五边形}ABCDE}=2 × 2=4$
【答案】
4
【知识点】
三角形全等的判定；全等三角形的性质；割补法求面积
【点评】
本题是全等三角形在不规则图形面积计算中的典型应用，解题核心是结合已知边、角的关系合理构造全等三角形，实现不规则图形面积到规则三角形面积的等价转化，能有效考查学生的辅助线构造能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.6