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11.以下是小聪、小明、小智描述彼此家的位置关系：
小聪:从我家向东走20米,再向南走10米就到小明家；
小明:从我家向东走30米,再向北走50米就到小智家；
小智:小慧家在我家的正西方20米。
根据三人描述,问小慧家与小聪家的距离是
小聪:从我家向东走20米,再向南走10米就到小明家；
小明:从我家向东走30米,再向北走50米就到小智家；
小智:小慧家在我家的正西方20米。
根据三人描述,问小慧家与小聪家的距离是
50
米。答案
11. 50
解析
【分析】要解决这个位置距离问题，我们可以通过建立平面直角坐标系将实际位置转化为坐标来求解：首先选择合适的点作为坐标原点，规定正方向，再根据三人的描述依次求出小明家、小智家、小慧家的坐标，最后利用勾股定理计算小慧家与小聪家的距离即可。
【解析】
解：设小聪家的位置为坐标原点$(0,0)$，规定向东为$x$轴正方向，向北为$y$轴正方向，1个单位长度代表1米。
1. 求小明家坐标：根据小聪的描述，向东走20米（$x$加20），向南走10米（$y$减10），因此小明家坐标为$(20, -10)$。
2. 求小智家坐标：根据小明的描述，从他家向东走30米（$x$加30），向北走50米（$y$加50），因此小智家坐标为$(20+30, -10+50)=(50,40)$。
3. 求小慧家坐标：根据小智的描述，小慧家在他家正西方20米（$x$减20，$y$不变），因此小慧家坐标为$(50-20,40)=(30,40)$。
4. 计算小慧家与小聪家的距离：小聪家坐标为$(0,0)$，根据勾股定理，两点距离为：
$d=\sqrt{(30-0)^2 + (40-0)^2}=\sqrt{900+1600}=\sqrt{2500}=50$（米）
【答案】50
【知识点】坐标确定位置；平面直角坐标系；勾股定理
【点评】本题将生活中的方位描述转化为数学坐标问题，解题的核心是合理建立平面直角坐标系，准确推导各地点的坐标，再结合勾股定理计算距离，解题过程中要注意方向与坐标正负的对应关系，避免计算错误。
【难度系数】0.7
【解析】
解：设小聪家的位置为坐标原点$(0,0)$，规定向东为$x$轴正方向，向北为$y$轴正方向，1个单位长度代表1米。
1. 求小明家坐标：根据小聪的描述，向东走20米（$x$加20），向南走10米（$y$减10），因此小明家坐标为$(20, -10)$。
2. 求小智家坐标：根据小明的描述，从他家向东走30米（$x$加30），向北走50米（$y$加50），因此小智家坐标为$(20+30, -10+50)=(50,40)$。
3. 求小慧家坐标：根据小智的描述，小慧家在他家正西方20米（$x$减20，$y$不变），因此小慧家坐标为$(50-20,40)=(30,40)$。
4. 计算小慧家与小聪家的距离：小聪家坐标为$(0,0)$，根据勾股定理，两点距离为：
$d=\sqrt{(30-0)^2 + (40-0)^2}=\sqrt{900+1600}=\sqrt{2500}=50$（米）
【答案】50
【知识点】坐标确定位置；平面直角坐标系；勾股定理
【点评】本题将生活中的方位描述转化为数学坐标问题，解题的核心是合理建立平面直角坐标系，准确推导各地点的坐标，再结合勾股定理计算距离，解题过程中要注意方向与坐标正负的对应关系，避免计算错误。
【难度系数】0.7
12. 如图,在一小岛C处测得一轮船在北偏西$40°$方向30海里的A处,上午8时轮船向正东方向航行,到上午10时,轮船在小岛北偏东$50°$方向40海里的B处,则轮船航行的平均速度为每小时
25
海里。答案
12. 25
解析
【分析】
解题时首先根据给出的两个方向角判断△ACB的形状：北偏西40°和北偏东50°相加为90°，可得△ACB是直角三角形，直角在点C；再利用勾股定理求出A到B的航行路程；接着计算轮船的航行时间；最后根据“速度=路程÷时间”即可算出平均速度。
【解析】
1. 求∠ACB的度数：
由题意可知，∠ACB = 40° + 50° = 90°，因此△ACB是直角三角形，∠C为直角。
2. 用勾股定理求AB的长度：
已知AC=30海里，BC=40海里，根据勾股定理：
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500$
因此$AB = \sqrt{2500} = 50$海里。
3. 计算航行时间：
轮船从上午8时航行到上午10时，所用时间为$10 - 8 = 2$小时。
4. 计算平均速度：
平均速度 = 路程÷时间 = $50 ÷ 2 = 25$海里/小时。
【答案】
25
【知识点】
方向角识别；勾股定理；速度计算
【点评】
本题是几何与行程的结合应用题，解题的核心是通过方向角确定直角三角形，再结合勾股定理求出航行路程，考查对基础知识点的综合应用能力，理清各条件之间的关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据给出的两个方向角判断△ACB的形状：北偏西40°和北偏东50°相加为90°，可得△ACB是直角三角形，直角在点C；再利用勾股定理求出A到B的航行路程；接着计算轮船的航行时间；最后根据“速度=路程÷时间”即可算出平均速度。
【解析】
1. 求∠ACB的度数：
由题意可知，∠ACB = 40° + 50° = 90°，因此△ACB是直角三角形，∠C为直角。
2. 用勾股定理求AB的长度：
已知AC=30海里，BC=40海里，根据勾股定理：
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500$
因此$AB = \sqrt{2500} = 50$海里。
3. 计算航行时间：
轮船从上午8时航行到上午10时，所用时间为$10 - 8 = 2$小时。
4. 计算平均速度：
平均速度 = 路程÷时间 = $50 ÷ 2 = 25$海里/小时。
【答案】
25
【知识点】
方向角识别；勾股定理；速度计算
【点评】
本题是几何与行程的结合应用题，解题的核心是通过方向角确定直角三角形，再结合勾股定理求出航行路程，考查对基础知识点的综合应用能力，理清各条件之间的关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
13.如图,一个小正方形的对角线长10 m,(3,8)表示横向的数为3,纵向的数为8的点。
(1)请描出以下四个点:
①点(2,2)西偏北$45°$方向10 m处的点;
②点(1,3)东偏北$45°$方向30 m处的点;
③点(6,8)东偏南$45°$方向20 m处的点;
④点(6,0)东偏北$45°$方向30 m处的点。
(2)顺次连结(1)中四个点得到四边形,请直接写出四边形的面积占整个图形面积的
(1)请描出以下四个点:
①点(2,2)西偏北$45°$方向10 m处的点;
②点(1,3)东偏北$45°$方向30 m处的点;
③点(6,8)东偏南$45°$方向20 m处的点;
④点(6,0)东偏北$45°$方向30 m处的点。
(2)顺次连结(1)中四个点得到四边形,请直接写出四边形的面积占整个图形面积的
$18\%$
。答案
13. (1)图略 (2)$18\%$
解析
【分析】
解题分两步走，第一步先找四个点的坐标：先明确数对规则是横前纵后，方向遵循上北下南左西右东，已知小正方形对角线长10m，45°方向移动的距离除以10就是移动的对角线段数，每段45°方向移动对应横、纵坐标各变化1（西减东加，北加南减），以此求出四个点的坐标。第二步计算面积占比：判断四个点围成的四边形形状，分别计算四边形面积和整个方格图的面积，两者作比即可得到结果。
【解析】
(1) 推导四个点坐标：
① 10m对应1段小正方形对角线，点(2,2)西偏北45°方向10m，横坐标减1、纵坐标加1，得到点(1,3)；
② 30m对应3段小正方形对角线，点(1,3)东偏北45°方向30m，横坐标加3、纵坐标加3，得到点(4,6)；
③ 20m对应2段小正方形对角线，点(6,8)东偏南45°方向20m，横坐标加2、纵坐标减2，得到点(8,6)；
④ 30m对应3段小正方形对角线，点(6,0)东偏北45°方向30m，横坐标加3、纵坐标加3，得到点(9,3)；
按求出的坐标在图中标注即可。
(2) 顺次连接四个点得到梯形，设小正方形边长为$a$：
梯形上底长为$(8-4)a=4a$，下底长为$(9-1)a=8a$，高为$(6-3)a=3a$
梯形面积：$S_{\mathrm{梯}}=\frac{(4a+8a)×3a}{2}=18a^2$
整个图形是边长为$10a$的正方形，面积：$S_{\mathrm{总}}=10a×10a=100a^2$
面积占比：$\frac{18a^2}{100a^2}×100\%=18\%$
【答案】
(1) 描点略；(2) $18\%$
【知识点】
数对确定位置，方向与距离确定位置，梯形面积计算
【点评】
本题结合位置确定和几何面积计算考查知识点应用，解题核心是掌握45°方向移动时坐标的变化规律，再结合图形特征计算面积占比，注重基础能力的综合运用。
【难度系数】
0.7
解题分两步走，第一步先找四个点的坐标：先明确数对规则是横前纵后，方向遵循上北下南左西右东，已知小正方形对角线长10m，45°方向移动的距离除以10就是移动的对角线段数，每段45°方向移动对应横、纵坐标各变化1（西减东加，北加南减），以此求出四个点的坐标。第二步计算面积占比：判断四个点围成的四边形形状，分别计算四边形面积和整个方格图的面积，两者作比即可得到结果。
【解析】
(1) 推导四个点坐标：
① 10m对应1段小正方形对角线，点(2,2)西偏北45°方向10m，横坐标减1、纵坐标加1，得到点(1,3)；
② 30m对应3段小正方形对角线，点(1,3)东偏北45°方向30m，横坐标加3、纵坐标加3，得到点(4,6)；
③ 20m对应2段小正方形对角线，点(6,8)东偏南45°方向20m，横坐标加2、纵坐标减2，得到点(8,6)；
④ 30m对应3段小正方形对角线，点(6,0)东偏北45°方向30m，横坐标加3、纵坐标加3，得到点(9,3)；
按求出的坐标在图中标注即可。
(2) 顺次连接四个点得到梯形，设小正方形边长为$a$：
梯形上底长为$(8-4)a=4a$，下底长为$(9-1)a=8a$，高为$(6-3)a=3a$
梯形面积：$S_{\mathrm{梯}}=\frac{(4a+8a)×3a}{2}=18a^2$
整个图形是边长为$10a$的正方形，面积：$S_{\mathrm{总}}=10a×10a=100a^2$
面积占比：$\frac{18a^2}{100a^2}×100\%=18\%$
【答案】
(1) 描点略；(2) $18\%$
【知识点】
数对确定位置，方向与距离确定位置，梯形面积计算
【点评】
本题结合位置确定和几何面积计算考查知识点应用，解题核心是掌握45°方向移动时坐标的变化规律，再结合图形特征计算面积占比，注重基础能力的综合运用。
【难度系数】
0.7
14. 为进一步体会宋代的历史文化，某班来到清明上河园分组开展研学活动，其中A组在文房博物馆体验“大宋科举”，B组在九龙桥观看“东京保卫战”，约定时间到大宋校场集合观看经典节目“岳飞枪挑小梁王”。为描述集合地点，同学们想出不同的方法。
(1)小文同学想到用平面直角坐标系，如图1，网格中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若文房博物馆的坐标为$(-2,2)$，九龙桥的坐标为$(-1,-3)$。请在图1中画出平面直角坐标系，并写出大宋校场的坐标：
(2)小化同学想到用方位角和距离，如图2，以文房博物馆为基准点，九龙桥在文房博物馆的南偏东$11°$，距离7 cm处，记为(南偏东$11°$,7 cm)，进一步使用工具测量并换算，可将大宋校场的位置记为
(1)小文同学想到用平面直角坐标系，如图1，网格中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若文房博物馆的坐标为$(-2,2)$，九龙桥的坐标为$(-1,-3)$。请在图1中画出平面直角坐标系，并写出大宋校场的坐标：
$(3,3)$
。(2)小化同学想到用方位角和距离，如图2，以文房博物馆为基准点，九龙桥在文房博物馆的南偏东$11°$，距离7 cm处，记为(南偏东$11°$,7 cm)，进一步使用工具测量并换算，可将大宋校场的位置记为
$(北偏东79°,7\ \mathrm{cm})$
。答案
14. (1)$(3,3)$ (2)$(北偏东79°,7\ \mathrm{cm})$
解析
【分析】
(1) 要解决平面直角坐标系中点坐标的问题，首先根据已知两点坐标确定坐标系的原点和坐标轴：已知文房博物馆坐标为$(-2,2)$，说明该点在原点左侧2个单位、上方2个单位，由此可确定原点位置，建立坐标系后数出大宋校场对应的横纵坐标即可。
(2) 用方位角和距离确定位置时，先通过网格计算文房博物馆到两个地点的距离，可发现两者距离相等；再结合九龙桥的方位角和两条连线垂直的特点，计算得出大宋校场的方位角，即可写出对应位置表示。
【解析】
(1) ①建立坐标系：以文房博物馆向右2个单位、向下2个单位的交点为坐标原点，水平向右为$x$轴正方向，竖直向上为$y$轴正方向，画出平面直角坐标系。
②确定大宋校场坐标：观察坐标系中大宋校场的位置，横坐标为3，纵坐标为3，因此坐标为$(3,3)$。
(2) ①计算距离：根据勾股定理，文房博物馆到九龙桥的距离为$\sqrt{(-1+2)^2+(-3-2)^2}=\sqrt{26}$，文房博物馆到大宋校场的距离为$\sqrt{(3+2)^2+(3-2)^2}=\sqrt{26}$，因此两个距离相等，均为7 cm。
②确定方位角：已知九龙桥在文房博物馆南偏东$11°$，且两条连线互相垂直，因此大宋校场的方位角为北偏东$90°-11°=79°$，因此位置记为(北偏东$79°$,7 cm)。
【答案】
(1)$(3,3)$ (2)$(北偏东79°,7\ \mathrm{cm})$
【知识点】
平面直角坐标系、方位角确定位置、勾股定理
【点评】
本题结合实际研学场景考查两种常见的位置确定方法，既考查了坐标系中点坐标的识别能力，也考查了方位角的理解和计算，题型贴近生活，能够锻炼知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要解决平面直角坐标系中点坐标的问题，首先根据已知两点坐标确定坐标系的原点和坐标轴：已知文房博物馆坐标为$(-2,2)$，说明该点在原点左侧2个单位、上方2个单位，由此可确定原点位置，建立坐标系后数出大宋校场对应的横纵坐标即可。
(2) 用方位角和距离确定位置时，先通过网格计算文房博物馆到两个地点的距离，可发现两者距离相等；再结合九龙桥的方位角和两条连线垂直的特点，计算得出大宋校场的方位角，即可写出对应位置表示。
【解析】
(1) ①建立坐标系：以文房博物馆向右2个单位、向下2个单位的交点为坐标原点，水平向右为$x$轴正方向，竖直向上为$y$轴正方向，画出平面直角坐标系。
②确定大宋校场坐标：观察坐标系中大宋校场的位置，横坐标为3，纵坐标为3，因此坐标为$(3,3)$。
(2) ①计算距离：根据勾股定理，文房博物馆到九龙桥的距离为$\sqrt{(-1+2)^2+(-3-2)^2}=\sqrt{26}$，文房博物馆到大宋校场的距离为$\sqrt{(3+2)^2+(3-2)^2}=\sqrt{26}$，因此两个距离相等，均为7 cm。
②确定方位角：已知九龙桥在文房博物馆南偏东$11°$，且两条连线互相垂直，因此大宋校场的方位角为北偏东$90°-11°=79°$，因此位置记为(北偏东$79°$,7 cm)。
【答案】
(1)$(3,3)$ (2)$(北偏东79°,7\ \mathrm{cm})$
【知识点】
平面直角坐标系、方位角确定位置、勾股定理
【点评】
本题结合实际研学场景考查两种常见的位置确定方法，既考查了坐标系中点坐标的识别能力，也考查了方位角的理解和计算，题型贴近生活，能够锻炼知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
