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15. 盲道方便了盲人的通行，保持盲道畅通是我们每个人的义务。盲道一般由带有凸起的方形地砖铺设而成（图1），在部分盲道建立平面直角坐标系，如图2，每个正方形的边长都为相同的整数个单位长度，则图中点P的坐标为（
A.(10,1)
B.(11,1)
C.(10,2)
D.(11,3)
B
）A.(10,1)
B.(11,1)
C.(10,2)
D.(11,3)
答案
15. B
解析
【分析】
解题时先抓住“每个正方形边长为相同的整数单位长度”这一关键条件，先从纵坐标方向分析点P的纵坐标和正方形边长的关系，结合选项筛选出符合整数要求的边长，再代入横坐标方向验证，最后计算出P点的坐标。具体思路：第一步设正方形边长为正整数a，根据y轴上y=5的位置，得到P点纵坐标为5-2a，结合选项的y值判断a的取值；第二步用得到的边长a，从x=3的位置出发计算P点的横坐标，最终确定坐标。
【解析】
设每个小正方形的边长为$a$（$a$为正整数）。
1. 确定边长$a$：
观察y轴，上方第一行正方形的上边在$y=5$处，点P位于最下方一行正方形的右下角，因此P点的纵坐标为$5-2a$。
结合选项中P的纵坐标可能的取值验证：
若$5-2a=1$，解得$a=2$，符合$a$为正整数的要求；
若$5-2a=2$，解得$a=1.5$，不是整数，排除；
若$5-2a=3$，解得$a=1$，此时验证横坐标：从$x=3$开始，3个边长对应的右边界为$3+3×1=6$，但图中$x=7.8$在上方第三块正方形内部，$6＜7.8$，不符合实际，排除。
因此确定小正方形边长$a=2$。
2. 计算P点坐标：
纵坐标：$5-2×2=1$；
横坐标：最左侧正方形左边界在$x=3$处，到P点水平方向共有4个边长，因此横坐标为$3+4×2=11$。
综上，P点坐标为$(11,1)$，故选B。
【答案】B
【知识点】
1. 平面直角坐标系
2. 点的坐标确定
3. 整数性质应用
【点评】
本题结合生活中的盲道场景考查平面直角坐标系的相关知识，解题的突破口是利用“边长为整数”的条件快速确定正方形边长，再通过坐标平移规律计算点的位置，题型灵活，注重对学生观察能力和推理能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时先抓住“每个正方形边长为相同的整数单位长度”这一关键条件，先从纵坐标方向分析点P的纵坐标和正方形边长的关系，结合选项筛选出符合整数要求的边长，再代入横坐标方向验证，最后计算出P点的坐标。具体思路：第一步设正方形边长为正整数a，根据y轴上y=5的位置，得到P点纵坐标为5-2a，结合选项的y值判断a的取值；第二步用得到的边长a，从x=3的位置出发计算P点的横坐标，最终确定坐标。
【解析】
设每个小正方形的边长为$a$（$a$为正整数）。
1. 确定边长$a$：
观察y轴，上方第一行正方形的上边在$y=5$处，点P位于最下方一行正方形的右下角，因此P点的纵坐标为$5-2a$。
结合选项中P的纵坐标可能的取值验证：
若$5-2a=1$，解得$a=2$，符合$a$为正整数的要求；
若$5-2a=2$，解得$a=1.5$，不是整数，排除；
若$5-2a=3$，解得$a=1$，此时验证横坐标：从$x=3$开始，3个边长对应的右边界为$3+3×1=6$，但图中$x=7.8$在上方第三块正方形内部，$6＜7.8$，不符合实际，排除。
因此确定小正方形边长$a=2$。
2. 计算P点坐标：
纵坐标：$5-2×2=1$；
横坐标：最左侧正方形左边界在$x=3$处，到P点水平方向共有4个边长，因此横坐标为$3+4×2=11$。
综上，P点坐标为$(11,1)$，故选B。
【答案】B
【知识点】
1. 平面直角坐标系
2. 点的坐标确定
3. 整数性质应用
【点评】
本题结合生活中的盲道场景考查平面直角坐标系的相关知识，解题的突破口是利用“边长为整数”的条件快速确定正方形边长，再通过坐标平移规律计算点的位置，题型灵活，注重对学生观察能力和推理能力的考查。
【难度系数】
0.7
16. 如图1，将射线Ox按逆时针方向旋转角β，得到射线Oy。如果P为射线Oy上的一点，且OP=a，那么我们规定用$(a,β)$表示点P在平面内的位置，并记为$P(a,β)$。例如，在图2中，如果$OM=8$，$∠ xOM=110°$，那么点M在平面内的位置记为$M(8,110°)$。根据图形，解答下列问题：
(1)如图3，若点N在平面内的位置记为$N(6,30°)$，则$ON=$
(2)若A，B两点在平面内的位置分别记为$A(4,30°)$，$B(4,90°)$，则A，B两点间的距离是多少？请说明理由。
(1)如图3，若点N在平面内的位置记为$N(6,30°)$，则$ON=$
6
。(2)若A，B两点在平面内的位置分别记为$A(4,30°)$，$B(4,90°)$，则A，B两点间的距离是多少？请说明理由。
答案
16. (1)6
(2)因为$∠AOB=60°,OA=OB$,所以$△AOB$是等边三角形,那么$AB=OA=4$。
(2)因为$∠AOB=60°,OA=OB$,所以$△AOB$是等边三角形,那么$AB=OA=4$。
解析
【分析】
(1) 先明确题目给出的新定义规则：点的位置记为$(a,β)$时，$a$代表该点到原点$O$的距离，$β$代表该点所在射线与$Ox$逆时针方向的夹角，直接根据规则就能得出$ON$的长度。
(2) 先根据新定义提取$A$、$B$两点的相关信息：到$O$的距离、与$Ox$的夹角，计算出$∠ AOB$的度数，再结合$OA=OB$的条件判断$△ AOB$的形状，进而求出$AB$的长度。
【解析】
(1) 根据题中位置表示规则，$N(6,30°)$中第一个数值是点$N$到$O$的距离，因此$ON=6$。
(2) 由$A(4,30°)$、$B(4,90°)$可得：
$OA=4$，$OB=4$，即$OA=OB$；
$∠ xOA=30°$，$∠ xOB=90°$，则$∠ AOB=90°-30°=60°$。
有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形，因此$△ AOB$是等边三角形，故$AB=OA=4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$；(2) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
位置的表示方法，等边三角形的判定，角度计算
【点评】
本题是新定义类基础题，重点考查对新规则的理解和基础几何知识的应用，只要读懂定义，结合等腰、等边三角形的性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1) 先明确题目给出的新定义规则：点的位置记为$(a,β)$时，$a$代表该点到原点$O$的距离，$β$代表该点所在射线与$Ox$逆时针方向的夹角，直接根据规则就能得出$ON$的长度。
(2) 先根据新定义提取$A$、$B$两点的相关信息：到$O$的距离、与$Ox$的夹角，计算出$∠ AOB$的度数，再结合$OA=OB$的条件判断$△ AOB$的形状，进而求出$AB$的长度。
【解析】
(1) 根据题中位置表示规则，$N(6,30°)$中第一个数值是点$N$到$O$的距离，因此$ON=6$。
(2) 由$A(4,30°)$、$B(4,90°)$可得：
$OA=4$，$OB=4$，即$OA=OB$；
$∠ xOA=30°$，$∠ xOB=90°$，则$∠ AOB=90°-30°=60°$。
有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形，因此$△ AOB$是等边三角形，故$AB=OA=4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$；(2) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
位置的表示方法，等边三角形的判定，角度计算
【点评】
本题是新定义类基础题，重点考查对新规则的理解和基础几何知识的应用，只要读懂定义，结合等腰、等边三角形的性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
17.有A，B两个边防哨所，B哨所在A哨所东南方向30 km处，在A哨所测得走私船C在它的北偏东$75°$方向上，在B哨所测得走私船在它的东北方向，请用适当的方法分别表示走私船相对于A，B两个哨所的位置。
答案
17. 走私船在A 哨所北偏东$75°$方向 60 km 处,在 B 哨所东北方向 $30\sqrt{3}$ km 处
解析
【分析】
要表示走私船相对于两个哨所的位置，需要明确方向和距离两个要素，题目已给出观测方向，核心是求走私船到A、B的距离。解题思路如下：
1. 先以A为原点建立方位坐标系（上北下南、左西右东），根据B在A东南方向30km的条件，先确定AB的长度和相对方位；
2. 结合两个哨所观测到的走私船的方位角，计算△ABC的三个内角度数，可判断出△ABC是含30°角的直角三角形；
3. 利用直角三角形的性质和勾股定理计算AC、BC的长度，最后结合方向描述位置即可。
【解析】
步骤1：画方位示意图，设A为观测原点，规定正北向上、正东向右：
已知B哨所在A哨所东南（即南偏东45°）方向30km处，因此AB=30km，A点正南方向与AB的夹角为45°。
步骤2：计算△ABC的内角：
① A哨所测得走私船C在北偏东75°方向，因此A点正北方向与AC的夹角为75°，可得∠CAB=180°-75°-45°=60°；
② B哨所测得走私船C在东北（即北偏东45°）方向，且A在B的西北（即北偏西45°）方向，因此∠ABC=45°+45°=90°，即△ABC为直角三角形，∠B=90°；
③ 由三角形内角和得∠ACB=180°-90°-60°=30°。
步骤3：计算边长：
Rt△ABC中，30°角∠ACB对的直角边为AB=30km，因此斜边AC=2AB=2×30=60km；
由勾股定理得BC=√(AC²-AB²)=√(60²-30²)=√2700=30√3 km。
步骤4：结合已知观测方向描述位置即可。
【答案】
走私船在A哨所北偏东$75°$方向 60 km 处,在 B 哨所东北方向 $30\sqrt{3}$ km 处
【知识点】
1. 方位角的应用
2. 直角三角形的性质
3. 勾股定理
【点评】
本题结合实际场景考查用方向和距离确定位置的方法，解题的关键是准确绘制方位示意图，正确转换两个观测点的相对方位，识别出特殊直角三角形的特征即可快速求解，易错点是方位角的判断易出现方向偏差。
【难度系数】
0.6
要表示走私船相对于两个哨所的位置，需要明确方向和距离两个要素，题目已给出观测方向，核心是求走私船到A、B的距离。解题思路如下：
1. 先以A为原点建立方位坐标系（上北下南、左西右东），根据B在A东南方向30km的条件，先确定AB的长度和相对方位；
2. 结合两个哨所观测到的走私船的方位角，计算△ABC的三个内角度数，可判断出△ABC是含30°角的直角三角形；
3. 利用直角三角形的性质和勾股定理计算AC、BC的长度，最后结合方向描述位置即可。
【解析】
步骤1：画方位示意图，设A为观测原点，规定正北向上、正东向右：
已知B哨所在A哨所东南（即南偏东45°）方向30km处，因此AB=30km，A点正南方向与AB的夹角为45°。
步骤2：计算△ABC的内角：
① A哨所测得走私船C在北偏东75°方向，因此A点正北方向与AC的夹角为75°，可得∠CAB=180°-75°-45°=60°；
② B哨所测得走私船C在东北（即北偏东45°）方向，且A在B的西北（即北偏西45°）方向，因此∠ABC=45°+45°=90°，即△ABC为直角三角形，∠B=90°；
③ 由三角形内角和得∠ACB=180°-90°-60°=30°。
步骤3：计算边长：
Rt△ABC中，30°角∠ACB对的直角边为AB=30km，因此斜边AC=2AB=2×30=60km；
由勾股定理得BC=√(AC²-AB²)=√(60²-30²)=√2700=30√3 km。
步骤4：结合已知观测方向描述位置即可。
【答案】
走私船在A哨所北偏东$75°$方向 60 km 处,在 B 哨所东北方向 $30\sqrt{3}$ km 处
【知识点】
1. 方位角的应用
2. 直角三角形的性质
3. 勾股定理
【点评】
本题结合实际场景考查用方向和距离确定位置的方法，解题的关键是准确绘制方位示意图，正确转换两个观测点的相对方位，识别出特殊直角三角形的特征即可快速求解，易错点是方位角的判断易出现方向偏差。
【难度系数】
0.6
