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6. 如图，$OA=OB=OC=OD=10$，点E在OB上且$BE=3$，$∠ AOB = ∠ BOC = ∠ COD = 30°$。若点A的位置是$(0°,10)$，点C的位置是$(60°,10)$，点D的位置是$(90°,10)$，则点E的位置是
$(30°,7)$
。答案
6. $(30°,7)$
解析
【分析】
首先明确题目中点的位置表示规则：观察已知点的位置信息可知，位置中第一个数是该点与点O的连线和射线OA的夹角度数，第二个数是该点到点O的距离。解题时先确定点E所在射线与OA的夹角，再计算点E到O的距离，即可得到点E的位置。
【解析】
根据已知点的位置规律：点的位置表示为（该点和O的连线与OA的夹角度数，该点到O点的距离）。
1. 求点E对应的角度：
已知$∠ AOB=30°$，点E在OB上，因此E与OA的夹角为$30°$。
2. 求点E到O的距离：
已知$OB=10$，$BE=3$，因此$OE=OB-BE=10-3=7$。
综上，点E的位置是$(30°,7)$。
【答案】
$(30°,7)$
【知识点】
用方向和距离确定位置，角度计算，线段和差计算
【点评】
本题重点考查对新的位置表示规则的理解和应用，难度较低，读懂规则后结合简单的角度和线段计算即可得出结果。
【难度系数】
0.85
首先明确题目中点的位置表示规则：观察已知点的位置信息可知，位置中第一个数是该点与点O的连线和射线OA的夹角度数，第二个数是该点到点O的距离。解题时先确定点E所在射线与OA的夹角，再计算点E到O的距离，即可得到点E的位置。
【解析】
根据已知点的位置规律：点的位置表示为（该点和O的连线与OA的夹角度数，该点到O点的距离）。
1. 求点E对应的角度：
已知$∠ AOB=30°$，点E在OB上，因此E与OA的夹角为$30°$。
2. 求点E到O的距离：
已知$OB=10$，$BE=3$，因此$OE=OB-BE=10-3=7$。
综上，点E的位置是$(30°,7)$。
【答案】
$(30°,7)$
【知识点】
用方向和距离确定位置，角度计算，线段和差计算
【点评】
本题重点考查对新的位置表示规则的理解和应用，难度较低，读懂规则后结合简单的角度和线段计算即可得出结果。
【难度系数】
0.85
7.图书馆、科技馆、博物馆的位置关系如图所示。
(1)请用两种不同的方法表示科技馆相对图书馆的位置：
①科技馆在从图书馆出发先向
②科技馆位于图书馆
(2)商场在图书馆的南偏西30°的方向上，并且距图书馆的距离与博物馆距图书馆的距离相等，请在图中画出商场的位置。
(1)请用两种不同的方法表示科技馆相对图书馆的位置：
①科技馆在从图书馆出发先向
东
走2
km，再向北
走$2\sqrt{3}$
km处；②科技馆位于图书馆
北偏东$30°$
方向，距离图书馆4
km处。(2)商场在图书馆的南偏西30°的方向上，并且距图书馆的距离与博物馆距图书馆的距离相等，请在图中画出商场的位置。
答案
7. (1)①东 2 北 $2\sqrt{3}$ ②北偏东$30°$ 4 (2)图略
解析
【分析】
解决本题要掌握两种确定位置的方法：一是通过东西、南北两个垂直方向的位移确定，二是通过方向角加距离确定。对于(1)①，可把科技馆到图书馆的连线看作直角三角形的斜边，利用三角函数分别计算正东、正北方向的路程即可；对于(1)②，先计算科技馆和正北方向的夹角，结合给出的距离就能描述位置；对于(2)，按照方向角的作图规范，结合给定的距离要求画图即可。
【解析】
(1)① 已知科技馆到图书馆的距离为4km，两点连线与正东方向夹角为$60°$：
正东方向的位移：$4×\cos60°=4×\frac{1}{2}=2(\mathrm{km})$
正北方向的位移：$4×\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}(\mathrm{km})$
因此科技馆在从图书馆出发先向东走2km，再向北走$2\sqrt{3}$km处。
② 两点连线与正北方向的夹角为$90°-60°=30°$，因此科技馆位于图书馆北偏东$30°$方向，距离图书馆4km处。
(2) 作图步骤：以图书馆为顶点，先画出正南方向的射线，以此为始边向西旋转$30°$画出终边，再在终边上截取长度为2.2km的线段，线段的另一端点就是商场的位置。
【答案】
(1)①东，2，北，$2\sqrt{3}$；②北偏东$30°$，4
(2)图略
【知识点】
用方向和距离确定位置，解直角三角形应用，方向角认识
【点评】
本题考查位置的两种表示方法，需要熟练掌握方向角的定义和特殊角的三角函数计算，作图时要注意角度、距离两个要素都符合要求，是结合生活实际的基础应用题。
【难度系数】
0.7
解决本题要掌握两种确定位置的方法：一是通过东西、南北两个垂直方向的位移确定，二是通过方向角加距离确定。对于(1)①，可把科技馆到图书馆的连线看作直角三角形的斜边，利用三角函数分别计算正东、正北方向的路程即可；对于(1)②，先计算科技馆和正北方向的夹角，结合给出的距离就能描述位置；对于(2)，按照方向角的作图规范，结合给定的距离要求画图即可。
【解析】
(1)① 已知科技馆到图书馆的距离为4km，两点连线与正东方向夹角为$60°$：
正东方向的位移：$4×\cos60°=4×\frac{1}{2}=2(\mathrm{km})$
正北方向的位移：$4×\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}(\mathrm{km})$
因此科技馆在从图书馆出发先向东走2km，再向北走$2\sqrt{3}$km处。
② 两点连线与正北方向的夹角为$90°-60°=30°$，因此科技馆位于图书馆北偏东$30°$方向，距离图书馆4km处。
(2) 作图步骤：以图书馆为顶点，先画出正南方向的射线，以此为始边向西旋转$30°$画出终边，再在终边上截取长度为2.2km的线段，线段的另一端点就是商场的位置。
【答案】
(1)①东，2，北，$2\sqrt{3}$；②北偏东$30°$，4
(2)图略
【知识点】
用方向和距离确定位置，解直角三角形应用，方向角认识
【点评】
本题考查位置的两种表示方法，需要熟练掌握方向角的定义和特殊角的三角函数计算，作图时要注意角度、距离两个要素都符合要求，是结合生活实际的基础应用题。
【难度系数】
0.7
8. 如图，已知雷达探测器在一次探测中发现了两个目标A，B，其中A的位置可以表示成$(60°,6)$，那么B可以表示为
$(150°,4)$
，A与B的距离为$2\sqrt{13}$
。答案
8. $(150°,4)$ $2\sqrt{13}$
解析
【分析】
首先根据A的坐标$(60°,6)$总结位置表示规则：有序数对的第一个数为该点与中心的连线沿逆时针方向和$0°$射线的夹角，第二个数为该点到中心的距离。接下来计算每格对应的角度：观察图形可知$0°$到$90°$被平均分为6等份，因此每等份角度为$15°$。再观察B点：角度上，B在$180°$顺时针方向2个间隔，可算出角度为$150°$；距离上，B在从内向外第4个同心圆上，到中心距离为4，即可得到B的坐标。求AB距离时，先计算A、B与中心的夹角为$150°-60°=90°$，可知$△ AOB$是直角三角形，结合OA、OB的长度，用勾股定理即可算出AB的长度。
【解析】
1. 确定B的坐标：
由A的表示方法可知，坐标第一个值为逆时针角度，第二个值为到中心的距离。
$0°$到$90°$共6个等分间隔，每个间隔角度：$90°÷6=15°$。
B点的角度：$180°-2×15°=150°$，B到中心的距离为4，因此B的位置为$(150°,4)$。
2. 计算A、B的距离：
A、B与中心O的夹角$∠ AOB=150°-60°=90°$，$OA=6$，$OB=4$，$△ AOB$为直角三角形。
根据勾股定理：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$
【答案】
$(150°,4)$；$2\sqrt{13}$
【知识点】
用方向和距离确定位置；勾股定理
【点评】
本题结合雷达探测的实际场景，考查了位置的表示方法和勾股定理的应用，解题关键是明确有序数对的实际含义，准确计算两点与中心的夹角，再结合几何性质计算距离。
【难度系数】
0.7
首先根据A的坐标$(60°,6)$总结位置表示规则：有序数对的第一个数为该点与中心的连线沿逆时针方向和$0°$射线的夹角，第二个数为该点到中心的距离。接下来计算每格对应的角度：观察图形可知$0°$到$90°$被平均分为6等份，因此每等份角度为$15°$。再观察B点：角度上，B在$180°$顺时针方向2个间隔，可算出角度为$150°$；距离上，B在从内向外第4个同心圆上，到中心距离为4，即可得到B的坐标。求AB距离时，先计算A、B与中心的夹角为$150°-60°=90°$，可知$△ AOB$是直角三角形，结合OA、OB的长度，用勾股定理即可算出AB的长度。
【解析】
1. 确定B的坐标：
由A的表示方法可知，坐标第一个值为逆时针角度，第二个值为到中心的距离。
$0°$到$90°$共6个等分间隔，每个间隔角度：$90°÷6=15°$。
B点的角度：$180°-2×15°=150°$，B到中心的距离为4，因此B的位置为$(150°,4)$。
2. 计算A、B的距离：
A、B与中心O的夹角$∠ AOB=150°-60°=90°$，$OA=6$，$OB=4$，$△ AOB$为直角三角形。
根据勾股定理：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$
【答案】
$(150°,4)$；$2\sqrt{13}$
【知识点】
用方向和距离确定位置；勾股定理
【点评】
本题结合雷达探测的实际场景，考查了位置的表示方法和勾股定理的应用，解题关键是明确有序数对的实际含义，准确计算两点与中心的夹角，再结合几何性质计算距离。
【难度系数】
0.7
9. 如图,以灯塔A为观测点,小岛B在灯塔A的北偏东$30°$,距灯塔20 km处,则以B为观测点,灯塔A在小岛B的
(第9题) (第10题)
南偏西$30°$
方向,距小岛B20 km
处。(第9题) (第10题)
答案
9. 南偏西$30°$ 20 km
解析
【分析】
解题时首先要明确相对位置的规律：两个地点的相对位置，当观测点互换时，方向是相反的（北对应南、东对应西），偏转的角度大小不变，两点之间的距离也不会改变。本题已知以A为观测点时B的位置，只需按照上述规律反向推导，就能得到以B为观测点时A的位置。
【解析】
根据方向的相对性可知：北与南相对，东与西相对，观测点互换时偏转角度大小不变，两点间距离不变。
已知以A为观测点，B在A的北偏东30°方向，AB间距为20km，因此以B为观测点时，灯塔A的方向为南偏西30°，距离小岛B的长度等于AB间距，为20km。
【答案】
南偏西$30°$；20 km
【知识点】
1. 方向角的概念
2. 相对位置的特征
【点评】
本题是基础常考题，解题核心是掌握观测点互换时“方向相反、角度和距离不变”的规律，熟练掌握该规律即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确相对位置的规律：两个地点的相对位置，当观测点互换时，方向是相反的（北对应南、东对应西），偏转的角度大小不变，两点之间的距离也不会改变。本题已知以A为观测点时B的位置，只需按照上述规律反向推导，就能得到以B为观测点时A的位置。
【解析】
根据方向的相对性可知：北与南相对，东与西相对，观测点互换时偏转角度大小不变，两点间距离不变。
已知以A为观测点，B在A的北偏东30°方向，AB间距为20km，因此以B为观测点时，灯塔A的方向为南偏西30°，距离小岛B的长度等于AB间距，为20km。
【答案】
南偏西$30°$；20 km
【知识点】
1. 方向角的概念
2. 相对位置的特征
【点评】
本题是基础常考题，解题核心是掌握观测点互换时“方向相反、角度和距离不变”的规律，熟练掌握该规律即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
10.如图，A地在某快递公司转运中心B的正西方向，C地在A地的东北方向。该快递公司要在B地的北偏西$60°$方向上设置快递驿站D，使得快递驿站D到A，C两地的距离之和最短。
根据以上信息，回答下列问题：
(1)请描述快递驿站D的位置：
(2)确定快递驿站D的位置的理由是
根据以上信息，回答下列问题：
(1)请描述快递驿站D的位置：
在B地的北偏西$60°$,A地的东北方向上的交点处
。(2)确定快递驿站D的位置的理由是
两点之间,线段最短
。答案
10. (1)在B地的北偏西$60°$,A地的东北方向上的交点处 (2)两点之间,线段最短
解析
【分析】
解题时首先明确D需要同时满足两个条件：①在B地的北偏西60°方向上；②到A、C两地的距离之和最短。首先思考距离和最短的几何原理：两点之间线段最短，因此满足到A、C距离和最短的点一定在线段AC上，结合“C地在A地的东北方向”可知，线段AC在A地的东北方向线上。因此D就是B地北偏西60°方向的射线与A地东北方向线的交点，据此即可描述D的位置和说明理由。
【解析】
(1) 首先，要使D到A、C的距离之和最短，根据两点之间线段最短，D需在线段AC上，已知C在A的东北方向，即AC在A地的东北方向线上；同时题目要求D在B地北偏西60°方向上，因此D是两条方向线的交点，即D在B地的北偏西60°，A地的东北方向上的交点处。
(2) 当D在线段AC上时，AD+CD=AC，此时到A、C的距离之和最小，依据的是两点之间线段最短的原理。
【答案】
(1)在B地的北偏西$60°$,A地的东北方向上的交点处 (2)两点之间,线段最短
【知识点】
方向角的应用；最短路径原理
【点评】
本题结合生活实际考查方向角的识别和最短路径的应用，解题的关键是理清点D需要满足的两个约束条件，结合几何原理找到两条线的交点即可，注重对基础知识和应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确D需要同时满足两个条件：①在B地的北偏西60°方向上；②到A、C两地的距离之和最短。首先思考距离和最短的几何原理：两点之间线段最短，因此满足到A、C距离和最短的点一定在线段AC上，结合“C地在A地的东北方向”可知，线段AC在A地的东北方向线上。因此D就是B地北偏西60°方向的射线与A地东北方向线的交点，据此即可描述D的位置和说明理由。
【解析】
(1) 首先，要使D到A、C的距离之和最短，根据两点之间线段最短，D需在线段AC上，已知C在A的东北方向，即AC在A地的东北方向线上；同时题目要求D在B地北偏西60°方向上，因此D是两条方向线的交点，即D在B地的北偏西60°，A地的东北方向上的交点处。
(2) 当D在线段AC上时，AD+CD=AC，此时到A、C的距离之和最小，依据的是两点之间线段最短的原理。
【答案】
(1)在B地的北偏西$60°$,A地的东北方向上的交点处 (2)两点之间,线段最短
【知识点】
方向角的应用；最短路径原理
【点评】
本题结合生活实际考查方向角的识别和最短路径的应用，解题的关键是理清点D需要满足的两个约束条件，结合几何原理找到两条线的交点即可，注重对基础知识和应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
