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【例1】当$a=-2,b=0,c=-5,d=6$时,求下列代数式的值:
(1)$a+bc$;
(2)$c+ad$;
(3)$(a-b)(c-d)$;
(4)$(a-c)(b-d)$.
(1)$a+bc$;
(2)$c+ad$;
(3)$(a-b)(c-d)$;
(4)$(a-c)(b-d)$.
答案
(1)$a+bc=-2+0×(-5)=-2+0=-2$.
(2)$c+ad=-5+(-2)×6=-5-12=-17$.
(3)$(a-b)(c-d)=(-2-0)×(-5-6)=-2×(-11)=22$.
(4)$(a-c)(b-d)=[-2-(-5)]×(0-6)=3×(-6)=-18$.
(2)$c+ad=-5+(-2)×6=-5-12=-17$.
(3)$(a-b)(c-d)=(-2-0)×(-5-6)=-2×(-11)=22$.
(4)$(a-c)(b-d)=[-2-(-5)]×(0-6)=3×(-6)=-18$.
解析
【分析】
本题考查代数式求值，解题思路分为三步：第一步先明确每个字母对应的取值：$a=-2,b=0,c=-5,d=6$；第二步将对应字母的数值准确代入到所求代数式中，代入时注意负数要保留括号、原有运算符号不变；第三步按照有理数的运算规则计算：先算乘除，后算加减，有括号的先算括号内的运算，注意运算过程中符号的处理，遇到0参与乘法运算时可直接得0简化计算。
【解析】
(1) 将$a=-2,b=0,c=-5$代入$a+bc$得：
$a+bc=-2+0×(-5)=-2+0=-2$
(2) 将$a=-2,c=-5,d=6$代入$c+ad$得：
$c+ad=-5+(-2)×6=-5-12=-17$
(3) 将$a=-2,b=0,c=-5,d=6$代入$(a-b)(c-d)$得：
$(a-b)(c-d)=(-2-0)×(-5-6)=-2×(-11)=22$
(4) 将$a=-2,b=0,c=-5,d=6$代入$(a-c)(b-d)$得：
$(a-c)(b-d)=[-2-(-5)]×(0-6)=3×(-6)=-18$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$；(2) $\boldsymbol{-17}$；(3) $\boldsymbol{22}$；(4) $\boldsymbol{-18}$
【知识点】
代数式求值、有理数混合运算、符号运算规则
【点评】
本题属于代数式求值的基础题型，核心是掌握“先代入、后计算”的流程，代入数值时需注意负数的括号处理，运算时严格遵循有理数运算顺序即可正确求解。
【难度系数】
0.9
本题考查代数式求值，解题思路分为三步：第一步先明确每个字母对应的取值：$a=-2,b=0,c=-5,d=6$；第二步将对应字母的数值准确代入到所求代数式中，代入时注意负数要保留括号、原有运算符号不变；第三步按照有理数的运算规则计算：先算乘除，后算加减，有括号的先算括号内的运算，注意运算过程中符号的处理，遇到0参与乘法运算时可直接得0简化计算。
【解析】
(1) 将$a=-2,b=0,c=-5$代入$a+bc$得：
$a+bc=-2+0×(-5)=-2+0=-2$
(2) 将$a=-2,c=-5,d=6$代入$c+ad$得：
$c+ad=-5+(-2)×6=-5-12=-17$
(3) 将$a=-2,b=0,c=-5,d=6$代入$(a-b)(c-d)$得：
$(a-b)(c-d)=(-2-0)×(-5-6)=-2×(-11)=22$
(4) 将$a=-2,b=0,c=-5,d=6$代入$(a-c)(b-d)$得：
$(a-c)(b-d)=[-2-(-5)]×(0-6)=3×(-6)=-18$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$；(2) $\boldsymbol{-17}$；(3) $\boldsymbol{22}$；(4) $\boldsymbol{-18}$
【知识点】
代数式求值、有理数混合运算、符号运算规则
【点评】
本题属于代数式求值的基础题型，核心是掌握“先代入、后计算”的流程，代入数值时需注意负数的括号处理，运算时严格遵循有理数运算顺序即可正确求解。
【难度系数】
0.9
【变式】(2024秋巴东县期末)当$a=-2$时，代数式$3-a^2$的值是（
A.1
B.$-1$
C.7
D.$-7$
B
）A.1
B.$-1$
C.7
D.$-7$
答案
B
解析
【分析】
这是一道代数式求值的基础题，解题思路清晰：第一步先将已知的a的值代入到代数式$3-a^2$中，第二步按照有理数的运算顺序计算，先算乘方运算，再算减法运算，计算时要注意负数的平方结果为正，避免符号出错。
【解析】
解：将$a=-2$代入代数式$3-a^2$中，
先计算乘方部分：$a^2=(-2)^2=4$，
再计算减法：$3-4=-1$，
因此代数式$3-a^2$的值为$-1$。
【答案】
B
【知识点】
代数式求值；有理数乘方；有理数运算
【点评】
本题属于基础题型，考查代数式的直接代入求值，核心是掌握有理数的运算顺序，重点注意负数乘方的符号判断，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.9
这是一道代数式求值的基础题，解题思路清晰：第一步先将已知的a的值代入到代数式$3-a^2$中，第二步按照有理数的运算顺序计算，先算乘方运算，再算减法运算，计算时要注意负数的平方结果为正，避免符号出错。
【解析】
解：将$a=-2$代入代数式$3-a^2$中，
先计算乘方部分：$a^2=(-2)^2=4$，
再计算减法：$3-4=-1$，
因此代数式$3-a^2$的值为$-1$。
【答案】
B
【知识点】
代数式求值；有理数乘方；有理数运算
【点评】
本题属于基础题型，考查代数式的直接代入求值，核心是掌握有理数的运算顺序，重点注意负数乘方的符号判断，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.9
【例2】(2024秋汕头期末)如图，正方形的边长为a，小文用剪刀剪去两个直角三角形.
(1)请问剩余部分的面积是多少？
(2)若$a＝6$，$b＝3$，$c＝2$，求此时剩余部分的面积.
(1)请问剩余部分的面积是多少？
(2)若$a＝6$，$b＝3$，$c＝2$，求此时剩余部分的面积.
答案
(1)由题意得：
$a×a-\frac{1}{2}×2×b-\frac{1}{2}×1×c=a^2-b-\frac{c}{2}$；
答：剩余部分的面积为$a^2-b-\frac{c}{2}$；
(2)把$a=6,b=3,c=2$代入(1)得：
$a^2-b-\frac{c}{2}=36-3-1=32$.
所以剩余部分的面积为32.
$a×a-\frac{1}{2}×2×b-\frac{1}{2}×1×c=a^2-b-\frac{c}{2}$；
答：剩余部分的面积为$a^2-b-\frac{c}{2}$；
(2)把$a=6,b=3,c=2$代入(1)得：
$a^2-b-\frac{c}{2}=36-3-1=32$.
所以剩余部分的面积为32.
解析
【分析】
解题核心思路是“剩余面积=整体图形面积减去剪掉部分的面积”。首先先确定整体为边长是a的正方形，先算出正方形的面积；再判断剪去的两个图形均为直角三角形，直角三角形面积等于两条直角边乘积的一半，分别计算两个剪去三角形的面积；最后用正方形面积减去两个三角形的面积，即可得到剩余部分的面积。第二问只需把给定的数值代入第一问得到的代数式中，按运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 正方形边长为$a$，因此正方形面积为：$a× a=a^2$；
第一个剪去的直角三角形两条直角边为2和$b$，面积为：$\frac{1}{2}×2× b=b$；
第二个剪去的直角三角形两条直角边为1和$c$，面积为：$\frac{1}{2}×1× c=\frac{c}{2}$；
剩余部分面积=正方形面积-两个剪去三角形的面积，即：
$a^2 - b - \frac{c}{2}$。
(2) 将$a=6$，$b=3$，$c=2$代入$a^2 - b - \frac{c}{2}$得：
$6^2 - 3 - \frac{2}{2}=36-3-1=32$。
【答案】
(1) 剩余部分的面积为$a^2 - b - \frac{c}{2}$；
(2) 此时剩余部分的面积为32。
【知识点】
列代数式；代数式求值；图形面积计算
【点评】
本题是基础图形类代数题，解题关键是正确拆分图形，明确各部分面积的计算逻辑，熟练掌握常见图形的面积公式，代入求值时注意运算顺序即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题核心思路是“剩余面积=整体图形面积减去剪掉部分的面积”。首先先确定整体为边长是a的正方形，先算出正方形的面积；再判断剪去的两个图形均为直角三角形，直角三角形面积等于两条直角边乘积的一半，分别计算两个剪去三角形的面积；最后用正方形面积减去两个三角形的面积，即可得到剩余部分的面积。第二问只需把给定的数值代入第一问得到的代数式中，按运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 正方形边长为$a$，因此正方形面积为：$a× a=a^2$；
第一个剪去的直角三角形两条直角边为2和$b$，面积为：$\frac{1}{2}×2× b=b$；
第二个剪去的直角三角形两条直角边为1和$c$，面积为：$\frac{1}{2}×1× c=\frac{c}{2}$；
剩余部分面积=正方形面积-两个剪去三角形的面积，即：
$a^2 - b - \frac{c}{2}$。
(2) 将$a=6$，$b=3$，$c=2$代入$a^2 - b - \frac{c}{2}$得：
$6^2 - 3 - \frac{2}{2}=36-3-1=32$。
【答案】
(1) 剩余部分的面积为$a^2 - b - \frac{c}{2}$；
(2) 此时剩余部分的面积为32。
【知识点】
列代数式；代数式求值；图形面积计算
【点评】
本题是基础图形类代数题，解题关键是正确拆分图形，明确各部分面积的计算逻辑，熟练掌握常见图形的面积公式，代入求值时注意运算顺序即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
1. (2024秋靖西市期末)已知$a=2$，则代数式$a+1$的值为 （
A.2
B.$-2$
C.3
D.$-3$
C
）A.2
B.$-2$
C.3
D.$-3$
答案
C
解析
【分析】
本题考查代数式求值的基础应用，解题思路清晰明确：首先题目已经直接给出了字母a的取值，我们只需要将a的数值代入到待求的代数式中，按照有理数加法的运算规则算出结果，再对应选项选择即可。
【解析】
解：已知$a=2$，将$a=2$代入代数式$a+1$中，可得：
$a+1=2+1=3$
计算结果对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
代数式求值；有理数加法
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心考查代入法的应用，计算量极小，只要掌握代入求值的基本步骤就能轻松解答，是代数式求值模块的基础必掌握题型。
【难度系数】
0.9
本题考查代数式求值的基础应用，解题思路清晰明确：首先题目已经直接给出了字母a的取值，我们只需要将a的数值代入到待求的代数式中，按照有理数加法的运算规则算出结果，再对应选项选择即可。
【解析】
解：已知$a=2$，将$a=2$代入代数式$a+1$中，可得：
$a+1=2+1=3$
计算结果对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
代数式求值；有理数加法
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心考查代入法的应用，计算量极小，只要掌握代入求值的基本步骤就能轻松解答，是代数式求值模块的基础必掌握题型。
【难度系数】
0.9
2. 当$a=3,b=1$时，代数式$\frac{2a - b}{2}$的值为（
A.3
B.$\frac{5}{2}$
C.2
D.1
B
）A.3
B.$\frac{5}{2}$
C.2
D.1
答案
B
解析
【分析】
本题考查代数式求值的基本方法，解题思路分为两步：第一步是“代入”，即将题目给出的a、b的取值，对应替换到代数式$\frac{2a - b}{2}$里的字母a、b的位置，替换时保留原式的运算符号和运算顺序不变；第二步是“计算”，按照有理数混合运算的规则，先算乘法、再算减法、最后算除法，算出结果后匹配对应选项即可。
【解析】
解：当$a=3$，$b=1$时，将数值代入代数式：
$\frac{2a - b}{2}=\frac{2×3 - 1}{2}$
先计算分子部分：$2×3=6$，$6-1=5$，
因此原式$=\frac{5}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
1.代数式求值
2.有理数混合运算
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心是掌握“先代入、后计算”的求值步骤，计算时注意遵循有理数运算顺序，避免因运算顺序错误或者粗心计算丢分。
【难度系数】
0.9
本题考查代数式求值的基本方法，解题思路分为两步：第一步是“代入”，即将题目给出的a、b的取值，对应替换到代数式$\frac{2a - b}{2}$里的字母a、b的位置，替换时保留原式的运算符号和运算顺序不变；第二步是“计算”，按照有理数混合运算的规则，先算乘法、再算减法、最后算除法，算出结果后匹配对应选项即可。
【解析】
解：当$a=3$，$b=1$时，将数值代入代数式：
$\frac{2a - b}{2}=\frac{2×3 - 1}{2}$
先计算分子部分：$2×3=6$，$6-1=5$，
因此原式$=\frac{5}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
1.代数式求值
2.有理数混合运算
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心是掌握“先代入、后计算”的求值步骤，计算时注意遵循有理数运算顺序，避免因运算顺序错误或者粗心计算丢分。
【难度系数】
0.9
3.如果$m-n=2$,那么$(m-n)^2 -3(m-n)-5$的值为（
A.7
B.$-7$
C.5
D.$-8$
B
）A.7
B.$-7$
C.5
D.$-8$
答案
B
解析
【分析】
观察所求代数式可发现，式子中多处出现$(m-n)$这个整体，题目已经直接给出$m-n=2$，因此不需要单独求出$m$和$n$的数值，直接将$m-n=2$作为一个整体代入到所求代数式中，再按照有理数的运算规则计算即可得到结果。
【解析】
已知$m-n=2$，将$m-n=2$代入$(m-n)^2 -3(m-n)-5$中，计算过程如下：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2^2 - 3×2 -5\\&=4 - 6 -5\\&=-7\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
代数式求值，整体代入法
【点评】
本题属于代数式求值的基础题型，核心考查整体代入的数学思想，避免拆分计算带来的不必要麻烦，掌握整体代入法可大幅提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.8
观察所求代数式可发现，式子中多处出现$(m-n)$这个整体，题目已经直接给出$m-n=2$，因此不需要单独求出$m$和$n$的数值，直接将$m-n=2$作为一个整体代入到所求代数式中，再按照有理数的运算规则计算即可得到结果。
【解析】
已知$m-n=2$，将$m-n=2$代入$(m-n)^2 -3(m-n)-5$中，计算过程如下：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2^2 - 3×2 -5\\&=4 - 6 -5\\&=-7\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
代数式求值，整体代入法
【点评】
本题属于代数式求值的基础题型，核心考查整体代入的数学思想，避免拆分计算带来的不必要麻烦，掌握整体代入法可大幅提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.8
