登录
9. 过平面上不共线的四个点中的任意三个点画圆，一共能确定的圆有 （
A.1个
B.1个或3个
C.1个或4个
D.1个或3个或4个
D
）A.1个
B.1个或3个
C.1个或4个
D.1个或3个或4个
答案
9.D
解析
【分析】
解题首先要明确核心定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆。由于题目只给出四个点不共线，点的位置关系存在多种可能，因此需要分类讨论所有符合条件的位置情况，分别计算每种情况能确定的圆的数量，即可得到最终结果。
【解析】
我们分三种情况讨论四个不共线点的位置：
1. 若四个点在同一个圆上（四点共圆）：此时任意选取三个点确定的都是同一个圆，因此一共能确定1个圆；
2. 若四个点中有且仅有三个点共线：共线的三个点无法确定圆，从共线的三个点中任选2个，搭配第四个不共线的点，共有3种组合，每种组合可确定1个圆，因此一共能确定3个圆；
3. 若四个点中任意三个点都不共线，且四点不共圆：从四个点中任选3个的组合共有4种，每组不共线的三个点均可确定1个不同的圆，因此一共能确定4个圆。
综上，一共能确定的圆有1个或3个或4个，故选D。
【答案】
D
【知识点】
圆的确定条件、分类讨论思想、三点共线性质
【点评】
本题易出现漏解的问题，解题时要全面考虑点的所有可能位置关系，不能仅考虑四点共圆或任意三点不共线的情况，忽略有三点共线的特殊情形。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确核心定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆。由于题目只给出四个点不共线，点的位置关系存在多种可能，因此需要分类讨论所有符合条件的位置情况，分别计算每种情况能确定的圆的数量，即可得到最终结果。
【解析】
我们分三种情况讨论四个不共线点的位置：
1. 若四个点在同一个圆上（四点共圆）：此时任意选取三个点确定的都是同一个圆，因此一共能确定1个圆；
2. 若四个点中有且仅有三个点共线：共线的三个点无法确定圆，从共线的三个点中任选2个，搭配第四个不共线的点，共有3种组合，每种组合可确定1个圆，因此一共能确定3个圆；
3. 若四个点中任意三个点都不共线，且四点不共圆：从四个点中任选3个的组合共有4种，每组不共线的三个点均可确定1个不同的圆，因此一共能确定4个圆。
综上，一共能确定的圆有1个或3个或4个，故选D。
【答案】
D
【知识点】
圆的确定条件、分类讨论思想、三点共线性质
【点评】
本题易出现漏解的问题，解题时要全面考虑点的所有可能位置关系，不能仅考虑四点共圆或任意三点不共线的情况，忽略有三点共线的特殊情形。
【难度系数】
0.7
10. [与T12互为孪生题][2025·合肥四十二中二模]
如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$AB=AC=2\sqrt{2}$，圆心$O$到弦$BC$的距离$OD=2$，则$\odot O$的半径为
如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$AB=AC=2\sqrt{2}$，圆心$O$到弦$BC$的距离$OD=2$，则$\odot O$的半径为
$\sqrt{5}-1$
。答案
10.$\sqrt{5}-1$
11.如图,已知矩形$ABCD$,$AD＞AB$.假设点$B$,$D$在以$O$为圆心、$OA$长为半径的圆上,$AB=OB$.
(1)画出$\odot O$;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)求证:$\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{AB}$.
(1)画出$\odot O$;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)求证:$\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{AB}$.
答案
解：(1) 作图：作线段BD的垂直平分线，以点A为圆心、AB长为半径画弧，该弧与BD的垂直平分线的交点即为圆心O，以O为圆心、OA长为半径作⊙O，保留所有作图痕迹。
(2) 证明：连接OA，OB，OD。
∵ OA=OB，AB=OB，
∴ OA=OB=AB，
∴ △OAB是等边三角形，
∴ ∠AOB=60°。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠BAD=90°。
又∵ 点B，D在以O为圆心、OA长为半径的圆上，
∴ OA=OB=OD，即点A，B，D都在⊙O上，
∴ BD是⊙O的直径，
∴ ∠AOD=180°-∠AOB=120°，
∴ ∠AOD=2∠AOB。
∵ 在同圆中，圆心角的度数等于它所对应弧的度数，
∴ $\overset{\frown}{AD}$的度数为120°，$\overset{\frown}{AB}$的度数为60°，
∴ $\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{AB}$。
(2) 证明：连接OA，OB，OD。
∵ OA=OB，AB=OB，
∴ OA=OB=AB，
∴ △OAB是等边三角形，
∴ ∠AOB=60°。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠BAD=90°。
又∵ 点B，D在以O为圆心、OA长为半径的圆上，
∴ OA=OB=OD，即点A，B，D都在⊙O上，
∴ BD是⊙O的直径，
∴ ∠AOD=180°-∠AOB=120°，
∴ ∠AOD=2∠AOB。
∵ 在同圆中，圆心角的度数等于它所对应弧的度数，
∴ $\overset{\frown}{AD}$的度数为120°，$\overset{\frown}{AB}$的度数为60°，
∴ $\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{AB}$。
解析
【分析】
(1) 作图思路：要确定圆心O，需满足两个条件：①因为B、D都在⊙O上，所以OB=OD，即O在BD的垂直平分线上；②题目要求OA=OB且AB=OB，所以OB=AB，即O在以A为圆心、AB长为半径的弧上，两个轨迹的交点就是圆心O，再以O为圆心OA长为半径画圆即可。
(2) 证明思路：同圆中弧的度数等于对应圆心角的度数，要证$\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{AB}$，只需证明$\overset{\frown}{AD}$对应的圆心角∠AOD是$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角∠AOB的2倍。先连接OA、OB、OD，通过AB=OB=OA证明△OAB是等边三角形得到∠AOB=60°，再结合矩形的直角和圆周角定理的推论得到BD是⊙O的直径，即∠BOD=180°，进而求出∠AOD=120°，得到两个圆心角的倍数关系后即可推导出弧的关系。
【解析】
(1) 作图：①作线段BD的垂直平分线；②以点A为圆心，AB长为半径画弧，该弧与BD的垂直平分线的交点即为圆心O；③以O为圆心，OA长为半径作⊙O，保留所有作图痕迹。
(2) 证明：
连接OA，OB，OD。
∵ OA、OB都是⊙O的半径，
∴ OA=OB，
又
∵ AB=OB，
∴ OA=OB=AB，
∴ △OAB是等边三角形，
∴ ∠AOB=60°。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠BAD=90°。
∵ 点B，D在以O为圆心、OA长为半径的圆上，
∴ OA=OB=OD，即点A，B，D都在⊙O上，
∴ ∠BAD是⊙O中弦BD所对的圆周角，且∠BAD=90°，
∴ BD是⊙O的直径，即∠BOD=180°，
∴ ∠AOD=180°-∠AOB=180°-60°=120°，
∴ ∠AOD=2∠AOB。
∵ 在同圆中，圆心角的度数等于它所对应弧的度数，
∴ $\overset{\frown}{AD}$的度数为120°，$\overset{\frown}{AB}$的度数为60°，
∴ $\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{AB}$。
【答案】
(1) 作线段BD的垂直平分线，以点A为圆心、AB长为半径画弧，该弧与BD的垂直平分线的交点即为圆心O，以O为圆心、OA长为半径作⊙O，保留所有作图痕迹。
(2) 证明成立，$\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{AB}$。
【知识点】
1. 尺规作图作圆
2. 等边三角形的判定与性质
3. 圆心角与弧的关系
【点评】
本题综合考查了尺规作图、矩形性质和圆的基本性质，解题的核心是将弧的数量关系转化为对应圆心角的数量关系，注重对基础知识点的灵活运用和逻辑推导能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 作图思路：要确定圆心O，需满足两个条件：①因为B、D都在⊙O上，所以OB=OD，即O在BD的垂直平分线上；②题目要求OA=OB且AB=OB，所以OB=AB，即O在以A为圆心、AB长为半径的弧上，两个轨迹的交点就是圆心O，再以O为圆心OA长为半径画圆即可。
(2) 证明思路：同圆中弧的度数等于对应圆心角的度数，要证$\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{AB}$，只需证明$\overset{\frown}{AD}$对应的圆心角∠AOD是$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角∠AOB的2倍。先连接OA、OB、OD，通过AB=OB=OA证明△OAB是等边三角形得到∠AOB=60°，再结合矩形的直角和圆周角定理的推论得到BD是⊙O的直径，即∠BOD=180°，进而求出∠AOD=120°，得到两个圆心角的倍数关系后即可推导出弧的关系。
【解析】
(1) 作图：①作线段BD的垂直平分线；②以点A为圆心，AB长为半径画弧，该弧与BD的垂直平分线的交点即为圆心O；③以O为圆心，OA长为半径作⊙O，保留所有作图痕迹。
(2) 证明：
连接OA，OB，OD。
∵ OA、OB都是⊙O的半径，
∴ OA=OB，
又
∵ AB=OB，
∴ OA=OB=AB，
∴ △OAB是等边三角形，
∴ ∠AOB=60°。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠BAD=90°。
∵ 点B，D在以O为圆心、OA长为半径的圆上，
∴ OA=OB=OD，即点A，B，D都在⊙O上，
∴ ∠BAD是⊙O中弦BD所对的圆周角，且∠BAD=90°，
∴ BD是⊙O的直径，即∠BOD=180°，
∴ ∠AOD=180°-∠AOB=180°-60°=120°，
∴ ∠AOD=2∠AOB。
∵ 在同圆中，圆心角的度数等于它所对应弧的度数，
∴ $\overset{\frown}{AD}$的度数为120°，$\overset{\frown}{AB}$的度数为60°，
∴ $\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{AB}$。
【答案】
(1) 作线段BD的垂直平分线，以点A为圆心、AB长为半径画弧，该弧与BD的垂直平分线的交点即为圆心O，以O为圆心、OA长为半径作⊙O，保留所有作图痕迹。
(2) 证明成立，$\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{AB}$。
【知识点】
1. 尺规作图作圆
2. 等边三角形的判定与性质
3. 圆心角与弧的关系
【点评】
本题综合考查了尺规作图、矩形性质和圆的基本性质，解题的核心是将弧的数量关系转化为对应圆心角的数量关系，注重对基础知识点的灵活运用和逻辑推导能力的考查。
【难度系数】
0.7
12. [与T10互为孪生题]如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=2\sqrt{10}$，$BC=4$，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆.
(1)求$\odot O$的半径；
(2)在同一平面内，若$\odot P$也经过$B$，$C$两点，且$PA=2$，求$\odot P$的半径长.
(1)求$\odot O$的半径；
(2)在同一平面内，若$\odot P$也经过$B$，$C$两点，且$PA=2$，求$\odot P$的半径长.
答案
12.(1)如题图,过点 A 作$AD⊥BC$,垂足为点 D,连接 OB,OC.
$\because AB=AC,AD⊥BC,\therefore AD$ 垂直平分 BC.
$\because OB=OC$,
$\therefore$ 点 O 在 BC 的垂直平分线上,即点 O 在 AD 上.
$\because BC=4,\therefore BD=\frac{1}{2}BC=2.$
在$\mathrm{Rt}△ABD$ 中,$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=6.$
设 $OA=OB=r$,则 $OD=6-r$.
在$\mathrm{Rt}△OBD$ 中,$OD^2+BD^2=OB^2$,即$(6-r)^2+2^2=r^2$,
解得 $r=\frac{10}{3}$,即$\odot O$ 的半径为$\frac{10}{3}$.
(2)当$\odot P$ 也经过 B,C 两点时,点 P 在 BC 的垂直平分线上,连接 PB.
$\because PA=2,\therefore PD=6-2=4$ 或 $PD=6+2=8.$
$\because BD=2,$
$\therefore PB=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$ 或 $PB=\sqrt{8^2+2^2}=2\sqrt{17}.$
$\therefore\odot P$ 的半径长为 $2\sqrt{5}$ 或 $2\sqrt{17}.$
$\because AB=AC,AD⊥BC,\therefore AD$ 垂直平分 BC.
$\because OB=OC$,
$\therefore$ 点 O 在 BC 的垂直平分线上,即点 O 在 AD 上.
$\because BC=4,\therefore BD=\frac{1}{2}BC=2.$
在$\mathrm{Rt}△ABD$ 中,$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=6.$
设 $OA=OB=r$,则 $OD=6-r$.
在$\mathrm{Rt}△OBD$ 中,$OD^2+BD^2=OB^2$,即$(6-r)^2+2^2=r^2$,
解得 $r=\frac{10}{3}$,即$\odot O$ 的半径为$\frac{10}{3}$.
(2)当$\odot P$ 也经过 B,C 两点时,点 P 在 BC 的垂直平分线上,连接 PB.
$\because PA=2,\therefore PD=6-2=4$ 或 $PD=6+2=8.$
$\because BD=2,$
$\therefore PB=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$ 或 $PB=\sqrt{8^2+2^2}=2\sqrt{17}.$
$\therefore\odot P$ 的半径长为 $2\sqrt{5}$ 或 $2\sqrt{17}.$
解析
【分析】
(1) 已知△ABC是等腰三角形，求外接圆半径时，先利用等腰三角形三线合一的性质作AD⊥BC，可得AD是BC的垂直平分线；而三角形外心是三边垂直平分线的交点，因此圆心O在AD上。先在Rt△ABD中求出AD的长度，再设外接圆半径为r，在Rt△OBD中用勾股定理列方程即可求解。
(2) 因为⊙P经过B、C两点，所以点P也在BC的垂直平分线AD上；已知PA=2，需分两种情况讨论点P的位置：点P在A靠近BC的一侧、点P在A远离BC的一侧，分别求出PD长度后，在Rt△PBD中用勾股定理计算PB，即为⊙P的半径。
【解析】
(1) 过点A作$AD⊥BC$，垂足为点D，连接OB、OC。
$\because AB=AC,AD⊥BC$，$\therefore AD$垂直平分BC。
$\because OB=OC$，$\therefore$ 点O在BC的垂直平分线上，即点O在AD上。
$\because BC=4$，$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=2$。
在$\mathrm{Rt}△ABD$ 中，$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{(2\sqrt{10})^2-2^2}=6$。
设 $OA=OB=r$，则 $OD=6-r$。
在$\mathrm{Rt}△OBD$ 中，由勾股定理得$OD^2+BD^2=OB^2$，即$(6-r)^2+2^2=r^2$，
解得 $r=\frac{10}{3}$。
(2) $\because \odot P$经过B、C两点，$\therefore$ 点P在BC的垂直平分线AD上，连接PB。
$\because PA=2$，分两种情况：
①若点P在线段AD上，$PD=6-2=4$，则$PB=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$；
②若点P在DA的延长线上，$PD=6+2=8$，则$PB=\sqrt{8^2+2^2}=2\sqrt{17}$。
【答案】
(1) $\odot O$的半径为$\frac{10}{3}$；
(2) $\odot P$的半径长为$2\sqrt{5}$或$2\sqrt{17}$。
【知识点】
等腰三角形性质，外心的性质，勾股定理
【点评】
本题重点考查三角形外接圆的相关计算，解题核心是明确过同一条弦的所有圆的圆心都在该弦的垂直平分线上，第二问需要注意分类讨论圆心的位置，避免漏解，对分类讨论思想的运用有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 已知△ABC是等腰三角形，求外接圆半径时，先利用等腰三角形三线合一的性质作AD⊥BC，可得AD是BC的垂直平分线；而三角形外心是三边垂直平分线的交点，因此圆心O在AD上。先在Rt△ABD中求出AD的长度，再设外接圆半径为r，在Rt△OBD中用勾股定理列方程即可求解。
(2) 因为⊙P经过B、C两点，所以点P也在BC的垂直平分线AD上；已知PA=2，需分两种情况讨论点P的位置：点P在A靠近BC的一侧、点P在A远离BC的一侧，分别求出PD长度后，在Rt△PBD中用勾股定理计算PB，即为⊙P的半径。
【解析】
(1) 过点A作$AD⊥BC$，垂足为点D，连接OB、OC。
$\because AB=AC,AD⊥BC$，$\therefore AD$垂直平分BC。
$\because OB=OC$，$\therefore$ 点O在BC的垂直平分线上，即点O在AD上。
$\because BC=4$，$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=2$。
在$\mathrm{Rt}△ABD$ 中，$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{(2\sqrt{10})^2-2^2}=6$。
设 $OA=OB=r$，则 $OD=6-r$。
在$\mathrm{Rt}△OBD$ 中，由勾股定理得$OD^2+BD^2=OB^2$，即$(6-r)^2+2^2=r^2$，
解得 $r=\frac{10}{3}$。
(2) $\because \odot P$经过B、C两点，$\therefore$ 点P在BC的垂直平分线AD上，连接PB。
$\because PA=2$，分两种情况：
①若点P在线段AD上，$PD=6-2=4$，则$PB=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$；
②若点P在DA的延长线上，$PD=6+2=8$，则$PB=\sqrt{8^2+2^2}=2\sqrt{17}$。
【答案】
(1) $\odot O$的半径为$\frac{10}{3}$；
(2) $\odot P$的半径长为$2\sqrt{5}$或$2\sqrt{17}$。
【知识点】
等腰三角形性质，外心的性质，勾股定理
【点评】
本题重点考查三角形外接圆的相关计算，解题核心是明确过同一条弦的所有圆的圆心都在该弦的垂直平分线上，第二问需要注意分类讨论圆心的位置，避免漏解，对分类讨论思想的运用有一定要求。
【难度系数】
0.6
