8.观察下列关于$x$的方程,并回答问题.
① $\frac{x}{6} + \frac{x}{3} = 1$ 的解是 $x = 2$；
② $\frac{x}{9} + \frac{x - 1}{3} = 1$ 的解是 $x = 3$；
③ $\frac{x}{12} + \frac{x - 2}{3} = 1$ 的解是 $x = 4$；
……
(1) 猜想方程 $\frac{x}{18} + \frac{x - 4}{3} = 1$ 的解是；
(2) 根据观察得到的规律,写出解为 $x = 101$ 的方程是；
(3) 请你根据解决上述问题的经验直接写出第$\boldsymbol{n}$个方程和它的解.

8. (1)$x = 6$ (2) $\frac{x}{303} + \frac{x - 99}{3} = 1$ (3) $\frac{x}{3(n + 1)} + \frac{x - (n - 1)}{3} = 1$,解为$x = n + 1$.

【分析】
解题时先观察已知的3组方程和对应解的特征，分别找规律：①先看解的规律：第1个方程解为x=2=1+1，第2个解为x=3=2+1，第3个解为x=4=3+1，可得第k个方程的解为x=k+1；②再看第一个分式的分母：第1个分母为6=3×2，第2个为9=3×3，第3个为12=3×4，即第一个分母等于3乘以对应方程的解；③最后看第二个分式分子的减数：第1个减数为0=2-2，第2个为1=3-2，第3个为2=4-2，即减数等于对应方程的解减2。根据上述规律即可分别求解三个小问。
【解析】
先总结已知方程的通用规律：若方程的解为$x=a$，则方程形式为$\frac{x}{3a}+\frac{x-(a-2)}{3}=1$。
(1) 方程$\frac{x}{18}+\frac{x-4}{3}=1$中，$18=3×6$，且$4=6-2$，符合上述规律，因此解为$x=6$；
(2) 当解为$x=101$时，代入规律得第一个分式分母为$3×101=303$，第二个分式分子的减数为$101-2=99$，因此方程为$\frac{x}{303}+\frac{x-99}{3}=1$；
(3) 设第$n$个方程，对应序号为$n$，根据规律得解为$x=n+1$，代入规律得第一个分式分母为$3(n+1)$，第二个分式分子的减数为$(n+1)-2=n-1$，因此第$n$个方程为$\frac{x}{3(n+1)}+\frac{x-(n-1)}{3}=1$，解为$x=n+1$。
【答案】
(1)$x = 6$；(2) $\frac{x}{303} + \frac{x - 99}{3} = 1$；(3) 第$n$个方程为$\frac{x}{3(n + 1)} + \frac{x - (n - 1)}{3} = 1$，解为$x = n + 1$
【知识点】
规律探究、一元一次方程的解
【点评】
本题属于规律探究类题型，核心是通过有限个示例提炼出通用的数量关系，再将规律应用到新的问题中，能有效锻炼观察归纳能力和代数式应用能力。
【难度系数】
0.7

1. 如果$a = b$,那么$b =$.

$\boldsymbol{a}$

【分析】
这道题考查等式的基本性质，我们知道等式代表等号左右两边的数值完全相等，当题目明确给出a等于b时，说明a和b的大小没有差异，把等号两边的内容互换位置，等式依旧成立，按照这个思路就能直接推出b的结果。
【解析】
根据等式的基本性质，等式的左右两边相等，交换等式左右两边的位置，等式仍然成立。已知$a = b$，交换等号两侧的a和b，可得$b = a$。
【答案】
$\boldsymbol{a}$
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题是对等式基本性质的基础考查，属于送分题，理解等式相等的本质即可快速作答。
【难度系数】
0.9

2. 如果$a = b,b = c$,那么$a$ $c$.

$=$

【分析】
本题考查等式的相关性质，解题时先明确已知条件给出了两组相等关系：a与b相等，b与c相等，我们可以利用等量代换的思路，既然b和a相等，那么第二个等式里的b就可以替换成a，由此就能推导出a和c的关系。
【解析】
已知$a = b$，$b = c$，根据等量代换（等式的传递性），将$b = c$中的$b$替换为和它相等的$a$，即可得到$a = c$，因此横线处应填等号。
【答案】
$=$
【知识点】
等式的性质、等量代换
【点评】
本题属于基础概念应用题，主要考察对等式传递性的理解，熟练掌握等式的基本性质即可快速作答。
【难度系数】
0.95

3. 等式的性质1： .

解：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。如果$a=b$，那么$a\pm c=b\pm c$。

【分析】
本题考查等式性质1的概念识记，解题时先回忆等式性质的分类，性质1对应加减运算类的规则，记忆时需明确两个核心部分：一是文字描述要抓住“等式两边同时操作”“加或减同一个数（或式子）”“结果仍相等”这些关键词，不能缺漏限定条件；二是对应的字母表达式，要先明确前提$a=b$，再写出运算后的相等关系。
【解析】
等式的性质1的文字表述为：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。用符号可表示为：如果$a=b$，那么$a\pm c=b\pm c$。
【答案】
等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。如果$a=b$，那么$a\pm c=b\pm c$。
【知识点】
等式的性质1
【点评】
本题属于基础概念考查题，是后续学习解方程的重要基础，需准确识记性质里的限定条件，避免因漏记“同一个数（或式子）”“两边同时运算”等要求出现概念判断错误。
【难度系数】
0.9

4. 等式的性质2： .

解：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。如果$a=b$，那么$ac=bc$；如果$a=b$，且$c≠0$，那么$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$。

【分析】
本题考查等式性质2的概念识记，解题时首先回忆等式关于乘除运算的相关规则：首先明确等式进行乘法运算时，两边乘同一个数结果仍相等；进行除法运算时，要注意除数不能为0，即只能除以同一个不为0的数，结果才相等，最后对应写出文字表述和字母表示形式即可。
【解析】
等式性质2的文字表述为：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
用字母表示为：如果$a=b$，那么$ac=bc$；如果$a=b$，且$c≠0$，那么$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$。
【答案】
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。如果$a=b$，那么$ac=bc$；如果$a=b$，且$c≠0$，那么$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$。
【知识点】
1.等式的性质2
2.等式的符号表示
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查对等式性质2的记忆与理解，解题时需特别注意“除以同一个不为0的数”中不为0的限定条件，避免遗漏该易错点。
【难度系数】
0.9

1. 已知$a=b$,填写下面式子的大小关系:
$a+2$$b+2,a+c$$b+c$,
$a-3$$b-3,a-c$$b-c.$

解：
根据等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
已知$a=b$，
等式两边同时加2，得$a+2 = b+2$；
等式两边同时加$c$，得$a+c = b+c$；
等式两边同时减3，得$a-3 = b-3$；
等式两边同时减$c$，得$a-c = b-c$。
四个空依次填写：$=$，$=$，$=$，$=$。

【分析】
首先明确已知条件为$a=b$，需要判断等式两边同时进行加、减同一个数或式子后的大小关系。解题时先回忆等式的基本性质，等式的性质1规定：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。逐个观察待判断的式子：分别是等式两边同时加2、加$c$、减3、减$c$，均符合等式性质1的使用条件，因此运算后两边仍然相等。
【解析】
根据等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
已知$a=b$，
等式两边同时加2，得$a+2 = b+2$；
等式两边同时加$c$，得$a+c = b+c$；
等式两边同时减3，得$a-3 = b-3$；
等式两边同时减$c$，得$a-c = b-c$。
【答案】
$=$，$=$，$=$，$=$
【知识点】
等式的性质1
【点评】
本题属于等式性质的基础应用类题目，核心考查对等式性质1的掌握程度，解题关键是确认等式两边进行的是加或减同一个数/式子的操作，即可直接判断结果相等。
【难度系数】
0.9

2.已知$a=b$,填写下面式子的大小关系:
$2a$ $2b$,$ac$ $bc(c≠0)$,
$\frac{a}{5}$ $\frac{b}{5}$,$\frac{a}{c}$ $\frac{b}{c}(c≠0)$.

解：
已知$a=b$，根据等式的性质2：
等式两边乘同一个数，所得结果仍相等，两边同时乘2，可得$2a = 2b$；
等式两边乘同一个不为0的数$c$，所得结果仍相等，可得$ac = bc$；
等式两边除以同一个不为0的数5，所得结果仍相等，可得$\frac{a}{5} = \frac{b}{5}$；
等式两边除以同一个不为0的数$c$，所得结果仍相等，可得$\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$。
答案依次为：$=$，$=$，$=$，$=$。

【分析】
解题时先明确已知条件为$a=b$，待判断的四个式子均是对等式两边做乘除运算变形得到的，此时需要用到等式的性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。接下来逐一验证每个变形：①两边同乘2，2是不为0的常数，符合性质要求，变形后等式仍成立；②两边同乘$c$，题目明确$c≠0$，符合性质要求；③两边同除以5，5是不为0的常数，符合要求；④两边同除以$c$，$c≠0$，符合要求，因此四个式子变形后均相等。
【解析】
已知$a=b$，根据等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，所得结果仍相等。
1. 等式两边同时乘2，可得$2a = 2b$；
2. 等式两边同时乘不为0的数$c$，可得$ac = bc$；
3. 等式两边同时除以不为0的数5，可得$\frac{a}{5} = \frac{b}{5}$；
4. 等式两边同时除以不为0的数$c$，可得$\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$。
【答案】
$=$；$=$；$=$；$=$
【知识点】
等式的性质2；等式乘法变形；等式除法变形
【点评】
本题是对等式基本性质的基础考查，解题时需注意当乘除的是字母参数时，要确认其不为0才可直接应用性质，熟练掌握该知识点能为后续方程相关内容的学习打下坚实基础。
【难度系数】
0.9

3. 解未知数为x的方程就是把方程逐步转化为的形式，是转化的重要依据。

解：
$x=a$（$a$为常数）
等式的性质

【分析】
首先明确解方程的核心目标：解关于x的方程，就是通过逐步变形，让未知数x单独出现在等号的一侧，另一侧是固定的常数，这样就能直接得到方程的解。再思考变形的依据：方程属于含有未知数的等式，所有变形都要保证方程的解不变，必须遵循等式的相关性质，因此等式的性质就是转化过程的重要依据。
【解析】
解未知数为x的方程，最终要得到x等于固定常数的形式，即$x=a$（$a$为常数）；在将原方程逐步转化为该形式的过程中，移项、系数化为1等每一步变形都要符合等式的性质，才能保证变形前后方程的解一致，因此等式的性质是转化的重要依据。
【答案】
$x=a$（$a$为常数）；等式的性质
【知识点】
1. 解方程的本质
2. 等式的性质
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查对解方程的核心目标和变形依据的理解，熟记相关基础概念即可快速解答。
【难度系数】
0.9

1. 根据等式的性质填空,并说明依据:
(1)如果$2x = 5 - x$,那么$2x +$$= 5$;
(2)如果$m + 2n = 5 + 2n$,那么$m =$;
(3)如果$x = -4$,那么$· x = 28$;
(4)如果$3m = 4n$,那么$\frac{3}{2}m =\_\_\_\_\_\_· n$.

解：
(1) 填空处为$\boldsymbol{x}$，依据：等式的性质1，等式两边同时加上同一个式子$x$，结果仍相等。
(2) 填空处为$\boldsymbol{5}$，依据：等式的性质1，等式两边同时减去同一个式子$2n$，结果仍相等。
(3) 填空处为$\boldsymbol{-7}$，依据：等式的性质2，等式两边同时乘同一个数$-7$，结果仍相等。
(4) 填空处为$\boldsymbol{2}$，依据：等式的性质2，等式两边同时乘同一个数$\frac{1}{2}$，结果仍相等。

【分析】
解决本题需先牢记等式的两个核心性质：①等式性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；②等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。再逐个分析小题的变形需求：
(1) 右侧要消去-x得到5，只需等式两边同时加x；
(2) 两侧都有2n，要得到m，只需等式两边同时减2n；
(3) 已知x=-4，求乘多少得28，用28除以-4即可得到要乘的数；
(4) 左侧3m变为$\frac{3}{2}m$是乘了$\frac{1}{2}$，右侧4n也同步乘$\frac{1}{2}$即可得到结果。
【解析】
(1) 依据等式的性质1，等式两边同时加同一个式子x，结果仍相等，得$2x + x =5 -x +x$，化简后为$2x+x=5$，故填x；
(2) 依据等式的性质1，等式两边同时减同一个式子2n，结果仍相等，得$m+2n-2n=5+2n-2n$，化简后为$m=5$，故填5；
(3) 依据等式的性质2，等式两边同时乘同一个数-7，结果仍相等，得$-7·x=-4×(-7)=28$，故填-7；
(4) 依据等式的性质2，等式两边同时乘同一个数$\frac{1}{2}$，结果仍相等，得$3m×\frac{1}{2}=4n×\frac{1}{2}$，化简后为$\frac{3}{2}m=2·n$，故填2。
【答案】
(1)$\boldsymbol{x}$；(2)$\boldsymbol{5}$；(3)$\boldsymbol{-7}$；(4)$\boldsymbol{2}$
【知识点】
等式的性质1，等式的性质2，等式变形
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，解题时要先判断变形属于加减类还是乘除类，对应选择合适的等式性质，注意乘除变形时需保证等式两边做完全一致的运算，且除数不能为0。
【难度系数】
0.85