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1.已知下列方程:①$x - 2 = \frac{3}{x}$；②$0.3x = 1$；③$\frac{x}{2} = 5x - 1$；④$x^2 - 4x = 3$；⑤$x = 0$；⑥$x + 2y = 0$。其中一元一次方程的个数是(
A.2
B.3
C.4
D.5
B
)A.2
B.3
C.4
D.5
答案
1.B
解析
【分析】
解题前先明确一元一次方程的三个判断标准：1.只含有1个未知数；2.未知数的最高次数为1；3.等式两边都是整式（分母不含未知数）。我们只需将给出的6个方程逐个对照三个标准判断，统计符合条件的数量即可得到答案。
【解析】
首先回忆一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
逐个判断各方程：
①$x - 2 = \frac{3}{x}$：等号右边分母含未知数x，属于分式，不满足整式要求，不是一元一次方程；
②$0.3x = 1$：仅含未知数x，x的次数为1，两边都是整式，符合定义，是一元一次方程；
③$\frac{x}{2} = 5x - 1$：仅含未知数x，x的次数为1，两边都是整式，符合定义，是一元一次方程；
④$x^2 - 4x = 3$：未知数x的最高次数为2，不满足次数为1的要求，不是一元一次方程；
⑤$x = 0$：仅含未知数x，x的次数为1，两边都是整式，符合定义，是一元一次方程；
⑥$x + 2y = 0$：含有x、y两个未知数，不满足仅含一个未知数的要求，不是一元一次方程。
综上，符合一元一次方程的是②③⑤，共3个。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的定义
【点评】
本题考查一元一次方程的识别，解题关键是牢记一元一次方程的三个判断条件逐一排查，注意不要忽略“整式方程”“仅含一个未知数”的隐含要求。
【难度系数】
0.8
解题前先明确一元一次方程的三个判断标准：1.只含有1个未知数；2.未知数的最高次数为1；3.等式两边都是整式（分母不含未知数）。我们只需将给出的6个方程逐个对照三个标准判断，统计符合条件的数量即可得到答案。
【解析】
首先回忆一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
逐个判断各方程：
①$x - 2 = \frac{3}{x}$：等号右边分母含未知数x，属于分式，不满足整式要求，不是一元一次方程；
②$0.3x = 1$：仅含未知数x，x的次数为1，两边都是整式，符合定义，是一元一次方程；
③$\frac{x}{2} = 5x - 1$：仅含未知数x，x的次数为1，两边都是整式，符合定义，是一元一次方程；
④$x^2 - 4x = 3$：未知数x的最高次数为2，不满足次数为1的要求，不是一元一次方程；
⑤$x = 0$：仅含未知数x，x的次数为1，两边都是整式，符合定义，是一元一次方程；
⑥$x + 2y = 0$：含有x、y两个未知数，不满足仅含一个未知数的要求，不是一元一次方程。
综上，符合一元一次方程的是②③⑤，共3个。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的定义
【点评】
本题考查一元一次方程的识别，解题关键是牢记一元一次方程的三个判断条件逐一排查，注意不要忽略“整式方程”“仅含一个未知数”的隐含要求。
【难度系数】
0.8
2. 方程$x^2 -7=2(x-2)$的解是(
A.$x=1$
B.$x=-2$
C.$x=3$
D.$x=-4$
C
)A.$x=1$
B.$x=-2$
C.$x=3$
D.$x=-4$
答案
2.C
解析
【分析】
本题可以用两种思路求解：思路一，根据方程的解的定义，将各个选项的x值分别代入方程左右两边，能使左右两边相等的x就是方程的解，这种方法符合当前学段的知识要求，操作简单不易出错；思路二，先对原方程去括号、移项整理后，再结合选项验证，也能快速得到答案。
【解析】
我们采用代入验证法求解，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值，逐一验证选项：
A. 当$x=1$时，左边$=1^2-7=1-7=-6$，右边$=2×(1-2)=2×(-1)=-2$，左边≠右边，不是方程的解；
B. 当$x=-2$时，左边$=(-2)^2-7=4-7=-3$，右边$=2×(-2-2)=2×(-4)=-8$，左边≠右边，不是方程的解；
C. 当$x=3$时，左边$=3^2-7=9-7=2$，右边$=2×(3-2)=2×1=2$，左边=右边，是方程的解；
D. 当$x=-4$时，左边$=(-4)^2-7=16-7=9$，右边$=2×(-4-2)=2×(-6)=-12$，左边≠右边，不是方程的解。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
方程的解的检验、去括号运算
【点评】
本题是基础题型，重点考查对方程的解的概念的掌握，代入验证法是这类选择题的常用解题技巧，计算量小、正确率高，解题时要注意平方运算和去括号时不要出现符号错误。
【难度系数】
0.8
本题可以用两种思路求解：思路一，根据方程的解的定义，将各个选项的x值分别代入方程左右两边，能使左右两边相等的x就是方程的解，这种方法符合当前学段的知识要求，操作简单不易出错；思路二，先对原方程去括号、移项整理后，再结合选项验证，也能快速得到答案。
【解析】
我们采用代入验证法求解，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值，逐一验证选项：
A. 当$x=1$时，左边$=1^2-7=1-7=-6$，右边$=2×(1-2)=2×(-1)=-2$，左边≠右边，不是方程的解；
B. 当$x=-2$时，左边$=(-2)^2-7=4-7=-3$，右边$=2×(-2-2)=2×(-4)=-8$，左边≠右边，不是方程的解；
C. 当$x=3$时，左边$=3^2-7=9-7=2$，右边$=2×(3-2)=2×1=2$，左边=右边，是方程的解；
D. 当$x=-4$时，左边$=(-4)^2-7=16-7=9$，右边$=2×(-4-2)=2×(-6)=-12$，左边≠右边，不是方程的解。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
方程的解的检验、去括号运算
【点评】
本题是基础题型，重点考查对方程的解的概念的掌握，代入验证法是这类选择题的常用解题技巧，计算量小、正确率高，解题时要注意平方运算和去括号时不要出现符号错误。
【难度系数】
0.8
3. 下列方程中，解是$x = 5$的方程是(
A.$11x + 1 = 5(2x + 1)$
B.$2x - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}x + 2$
C.$21 + 5x = 7 - 2x$
D.$2x = x + 5$
D
)A.$11x + 1 = 5(2x + 1)$
B.$2x - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}x + 2$
C.$21 + 5x = 7 - 2x$
D.$2x = x + 5$
答案
3.D
解析
【分析】
要判断哪个方程的解是$x=5$，有两种常用思路：①代入检验法：把$x=5$分别代入每个选项的方程，分别计算方程左右两边的值，若左右两边相等，则$x=5$是该方程的解；②求解验证法：分别解出每个选项中一元一次方程的解，看解是否等于5。其中代入检验法计算量更小，更简便。
【解析】
我们用代入检验法逐一验证：
A选项：把$x=5$代入方程，左边$=11×5+1=56$，右边$=5×(2×5+1)=5×11=55$，左边≠右边，故A不符合要求；
B选项：把$x=5$代入方程，左边$=2×5 - \frac{1}{2}=9.5$，右边$=\frac{1}{2}×5 + 2=4.5$，左边≠右边，故B不符合要求；
C选项：把$x=5$代入方程，左边$=21+5×5=46$，右边$=7-2×5=-3$，左边≠右边，故C不符合要求；
D选项：把$x=5$代入方程，左边$=2×5=10$，右边$=5+5=10$，左边=右边，故D符合要求。
也可通过解方程验证：D选项移项得$2x-x=5$，解得$x=5$，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
方程的解、一元一次方程求解、代入检验
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查对“方程的解”这一概念的理解，两种解题方法都属于一元一次方程部分的基础技能，熟练掌握即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要判断哪个方程的解是$x=5$，有两种常用思路：①代入检验法：把$x=5$分别代入每个选项的方程，分别计算方程左右两边的值，若左右两边相等，则$x=5$是该方程的解；②求解验证法：分别解出每个选项中一元一次方程的解，看解是否等于5。其中代入检验法计算量更小，更简便。
【解析】
我们用代入检验法逐一验证：
A选项：把$x=5$代入方程，左边$=11×5+1=56$，右边$=5×(2×5+1)=5×11=55$，左边≠右边，故A不符合要求；
B选项：把$x=5$代入方程，左边$=2×5 - \frac{1}{2}=9.5$，右边$=\frac{1}{2}×5 + 2=4.5$，左边≠右边，故B不符合要求；
C选项：把$x=5$代入方程，左边$=21+5×5=46$，右边$=7-2×5=-3$，左边≠右边，故C不符合要求；
D选项：把$x=5$代入方程，左边$=2×5=10$，右边$=5+5=10$，左边=右边，故D符合要求。
也可通过解方程验证：D选项移项得$2x-x=5$，解得$x=5$，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
方程的解、一元一次方程求解、代入检验
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查对“方程的解”这一概念的理解，两种解题方法都属于一元一次方程部分的基础技能，熟练掌握即可快速作答。
【难度系数】
0.9
4.已知方程$3x^m + (n + 3)y - 2 = 0$（m，n为常数）是关于x的一元一次方程，则m的值为
1
，n的值为-3
。答案
4. 1；-3
解析
【分析】
首先回忆一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程。题目明确该方程是关于x的一元一次方程，对应有两个隐含条件：一是x的次数必须等于1，二是不能含有其他未知数，也就是y的系数必须为0，根据这两个条件分别计算m和n的值即可。
【解析】
解：根据一元一次方程的定义分析：
1. 方程为关于x的一次方程，因此x的次数为1，可得$m=1$；
2. 方程只含有x一个未知数，因此y的系数必须为0，即$n+3=0$，解得$n=-3$。
【答案】
1；-3
【知识点】
一元一次方程的定义
【点评】
本题重点考查一元一次方程定义的应用，解题时要注意“关于某一未知数的一元一次方程”的隐含要求：其他未知数的系数需为0，避免漏看条件导致出错。
【难度系数】
0.8
首先回忆一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程。题目明确该方程是关于x的一元一次方程，对应有两个隐含条件：一是x的次数必须等于1，二是不能含有其他未知数，也就是y的系数必须为0，根据这两个条件分别计算m和n的值即可。
【解析】
解：根据一元一次方程的定义分析：
1. 方程为关于x的一次方程，因此x的次数为1，可得$m=1$；
2. 方程只含有x一个未知数，因此y的系数必须为0，即$n+3=0$，解得$n=-3$。
【答案】
1；-3
【知识点】
一元一次方程的定义
【点评】
本题重点考查一元一次方程定义的应用，解题时要注意“关于某一未知数的一元一次方程”的隐含要求：其他未知数的系数需为0，避免漏看条件导致出错。
【难度系数】
0.8
5.某同学买了1元邮票和2元邮票共12枚,花了20元钱,求该同学买的1元邮票和2元邮票各多少枚. 在解决这个问题时,若设该同学买1元邮票x枚,列出下列一元一次方程,其中错误的是(
A.$x + 2(12 - x) = 20$
B.$2(12 - x) - 20 = x$
C.$2(12 - x) = 20 - x$
D.$x = 20 - 2(12 - x)$
B
)A.$x + 2(12 - x) = 20$
B.$2(12 - x) - 20 = x$
C.$2(12 - x) = 20 - x$
D.$x = 20 - 2(12 - x)$
答案
5.B
解析
【分析】
这是一道一元一次方程应用的正误判断题，解题思路分为三步：第一步根据设出的1元邮票数量，表示出2元邮票的数量；第二步结合总花费找到正确的等量关系，列出原始方程；第三步根据等式的性质对原始方程进行移项变形，逐一对比四个选项，判断哪个不符合变形规则即可，注意移项时移动的项需要改变符号。
【解析】
设该同学买1元邮票$x$枚，则2元邮票买了$(12-x)$枚。
根据“1元邮票总费用+2元邮票总费用=总花费20元”，可列原始方程：
$x + 2(12 - x) = 20$
对原始方程变形逐一判断选项：
A选项与原始方程完全一致，表述正确。
将原始方程左边的$x$移到等号右侧，变号可得$2(12 - x) = 20 - x$，对应C选项，C表述正确。
将原始方程左边的$2(12 - x)$移到等号右侧，变号可得$x = 20 - 2(12 - x)$，对应D选项，D表述正确。
B选项$2(12 - x) - 20 = x$整理后为$2(12 - x) - x = 20$，与原始方程$x + 2(12 - x) = 20$不符，表述错误。
【答案】
B
【知识点】
列一元一次方程，等式的性质，移项规则
【点评】
本题既考察根据实际问题列方程的能力，也考察等式变形的规则，解题关键是先找准正确的等量关系列出原始方程，再判断变形是否正确，需格外注意移项时符号的变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
这是一道一元一次方程应用的正误判断题，解题思路分为三步：第一步根据设出的1元邮票数量，表示出2元邮票的数量；第二步结合总花费找到正确的等量关系，列出原始方程；第三步根据等式的性质对原始方程进行移项变形，逐一对比四个选项，判断哪个不符合变形规则即可，注意移项时移动的项需要改变符号。
【解析】
设该同学买1元邮票$x$枚，则2元邮票买了$(12-x)$枚。
根据“1元邮票总费用+2元邮票总费用=总花费20元”，可列原始方程：
$x + 2(12 - x) = 20$
对原始方程变形逐一判断选项：
A选项与原始方程完全一致，表述正确。
将原始方程左边的$x$移到等号右侧，变号可得$2(12 - x) = 20 - x$，对应C选项，C表述正确。
将原始方程左边的$2(12 - x)$移到等号右侧，变号可得$x = 20 - 2(12 - x)$，对应D选项，D表述正确。
B选项$2(12 - x) - 20 = x$整理后为$2(12 - x) - x = 20$，与原始方程$x + 2(12 - x) = 20$不符，表述错误。
【答案】
B
【知识点】
列一元一次方程，等式的性质，移项规则
【点评】
本题既考察根据实际问题列方程的能力，也考察等式变形的规则，解题关键是先找准正确的等量关系列出原始方程，再判断变形是否正确，需格外注意移项时符号的变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
6. 某市在端午节准备举行划龙舟大赛，预计15个队共330人参加. 已知每个队一条船，每条船上人数相等，且每条船上有1人击鼓，1人掌舵，其余的人同时划桨. 设每条船上划桨的有x人，那么可列出一元一次方程为
15(x + 2) = 330
.答案
6. $15(x + 2) = 330$
解析
【分析】
解题时首先要明确题目中的核心等量关系：总参赛人数=队伍数量×每条船的人数。接下来确定每条船的人数：已知每条船上划桨的有x人，另外还有1人击鼓、1人掌舵，因此每条船的总人数为划桨人数、击鼓人数、掌舵人数之和，即(x+1+1)=(x+2)人。最后把对应数值代入等量关系即可列出方程。
【解析】
1. 计算每条船的总人数：
每条船上有x人划桨，搭配1名击鼓人员、1名掌舵人员，因此单条船总人数为：$x + 1 + 1 = x + 2$（人）
2. 根据等量关系列方程：
本次共有15个参赛队伍（对应15条船），总参赛人数为330人，根据“总人数=队伍数×单条船人数”的等量关系，可列方程：
$15(x + 2) = 330$
【答案】
$15(x + 2) = 330$
【知识点】
列一元一次方程、等量关系分析
【点评】
本题是基础的方程应用题型，解题核心是理清场景内的人员构成，找准数量间的等量关系，熟练掌握这类题型可以为后续解决更复杂的方程应用题打好基础。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确题目中的核心等量关系：总参赛人数=队伍数量×每条船的人数。接下来确定每条船的人数：已知每条船上划桨的有x人，另外还有1人击鼓、1人掌舵，因此每条船的总人数为划桨人数、击鼓人数、掌舵人数之和，即(x+1+1)=(x+2)人。最后把对应数值代入等量关系即可列出方程。
【解析】
1. 计算每条船的总人数：
每条船上有x人划桨，搭配1名击鼓人员、1名掌舵人员，因此单条船总人数为：$x + 1 + 1 = x + 2$（人）
2. 根据等量关系列方程：
本次共有15个参赛队伍（对应15条船），总参赛人数为330人，根据“总人数=队伍数×单条船人数”的等量关系，可列方程：
$15(x + 2) = 330$
【答案】
$15(x + 2) = 330$
【知识点】
列一元一次方程、等量关系分析
【点评】
本题是基础的方程应用题型，解题核心是理清场景内的人员构成，找准数量间的等量关系，熟练掌握这类题型可以为后续解决更复杂的方程应用题打好基础。
【难度系数】
0.8
7. 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的3倍小3，将十位和个位的数字对调，得到的新两位数比原两位数小27，原来的两位数是多少？（只列方程）
红红:设原两位数的个位数字是$ x $，则十位数字是$ (3x - 3) $，列出方程$ 3x - 3 + x - (x + 3x - 3) = 27 $。
请问红红列出的方程对吗？如果不对，请说明理由并列出正确的方程，列出的方程是一元一次方程吗？
红红:设原两位数的个位数字是$ x $，则十位数字是$ (3x - 3) $，列出方程$ 3x - 3 + x - (x + 3x - 3) = 27 $。
请问红红列出的方程对吗？如果不对，请说明理由并列出正确的方程，列出的方程是一元一次方程吗？
答案
不对. 理由:十位数应乘10. 方程为$10(3x - 3) + x - (10x + 3x - 3) = 27$.
解析
【分析】
解题首先要明确两位数的计数规则：两位数的数值=10×十位数字+个位数字，这是本题的核心易错点。首先验证红红的设元是正确的，个位数字为x时，十位数字确实是3x-3，但她列方程时未考虑十位数字的位值，直接将两个数位数字相加当作两位数的数值，因此方程错误。接下来我们先分别正确表示出原两位数和对调后的新两位数，再根据“新数比原数小27”的等量关系列方程，最后根据一元一次方程的定义（只含1个未知数、未知数次数为1、整式方程）判断方程类型即可。
【解析】
红红列出的方程不对，理由如下：
两位数的数值由十位和个位的位值共同决定，十位上的数字表示几个十，需乘10后再加个位数字才是两位数的实际大小，红红未将十位数字乘10，错误地直接把两个数位的数字之和当作两位数的数值，因此列的方程错误。
正确列方程过程：
设原两位数的个位数字为$x$，则十位数字为$3x-3$，
原两位数的数值为：$10(3x-3) + x$，
对调后新两位数的十位数字为$x$，个位数字为$3x-3$，新两位数的数值为：$10x + (3x-3)$，
根据“新两位数比原两位数小27”，即原数-新数=27，列方程得：
$10(3x - 3) + x - (10x + 3x - 3) = 27$。
观察该方程：只含有1个未知数$x$，未知数的最高次数为1，且等号两边都是整式，因此该方程是一元一次方程。
【答案】
不对。理由:十位数应乘10。正确方程为$10(3x - 3) + x - (10x + 3x - 3) = 27$，该方程是一元一次方程。
【知识点】
1. 两位数的表示方法
2. 一元一次方程的定义
3. 根据等量关系列方程
【点评】
本题易错点是忽略数位的位值意义，误将数位上的数字直接相加作为多位数的数值，解题时需先明确多位数的计数规则，再找准等量关系列方程即可。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确两位数的计数规则：两位数的数值=10×十位数字+个位数字，这是本题的核心易错点。首先验证红红的设元是正确的，个位数字为x时，十位数字确实是3x-3，但她列方程时未考虑十位数字的位值，直接将两个数位数字相加当作两位数的数值，因此方程错误。接下来我们先分别正确表示出原两位数和对调后的新两位数，再根据“新数比原数小27”的等量关系列方程，最后根据一元一次方程的定义（只含1个未知数、未知数次数为1、整式方程）判断方程类型即可。
【解析】
红红列出的方程不对，理由如下：
两位数的数值由十位和个位的位值共同决定，十位上的数字表示几个十，需乘10后再加个位数字才是两位数的实际大小，红红未将十位数字乘10，错误地直接把两个数位的数字之和当作两位数的数值，因此列的方程错误。
正确列方程过程：
设原两位数的个位数字为$x$，则十位数字为$3x-3$，
原两位数的数值为：$10(3x-3) + x$，
对调后新两位数的十位数字为$x$，个位数字为$3x-3$，新两位数的数值为：$10x + (3x-3)$，
根据“新两位数比原两位数小27”，即原数-新数=27，列方程得：
$10(3x - 3) + x - (10x + 3x - 3) = 27$。
观察该方程：只含有1个未知数$x$，未知数的最高次数为1，且等号两边都是整式，因此该方程是一元一次方程。
【答案】
不对。理由:十位数应乘10。正确方程为$10(3x - 3) + x - (10x + 3x - 3) = 27$，该方程是一元一次方程。
【知识点】
1. 两位数的表示方法
2. 一元一次方程的定义
3. 根据等量关系列方程
【点评】
本题易错点是忽略数位的位值意义，误将数位上的数字直接相加作为多位数的数值，解题时需先明确多位数的计数规则，再找准等量关系列方程即可。
【难度系数】
0.7
