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10. (★★★)某数学兴趣小组了解到一款如图①所示的电子托盘秤,它通过所称重物调节可变电阻R的大小,从而改变电路中的电流I,最终通过显示器显示物体质量.已知可变电阻R(单位:kΩ)与物体质量m(单位:kg)之间的关系如图②所示,电流I(单位:mA)与可变电阻R之间的关系为$I=\frac{6}{R+3}(R≥0)$.
(1)该小组先探究该函数的图象与性质,并根据I与R之间的关系得到如下表格:
①表格中的$p=$;
②请在图③中画出$I=\frac{6}{R+3}(R≥0)$对应的函数图象.
(2)该小组综合图②和图③发现,I随m的增大而(填“增大”或“减小”).
(3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为$0.2＜I≤0.4$(单位:mA),判断该电子托盘秤能否称出质量为2 kg的物体的质量,并说明理由.
(1)该小组先探究该函数的图象与性质,并根据I与R之间的关系得到如下表格:
①表格中的$p=$;
②请在图③中画出$I=\frac{6}{R+3}(R≥0)$对应的函数图象.
(2)该小组综合图②和图③发现,I随m的增大而(填“增大”或“减小”).
(3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为$0.2＜I≤0.4$(单位:mA),判断该电子托盘秤能否称出质量为2 kg的物体的质量,并说明理由.
答案
解：
(1)①将R=3代入$I=\frac{6}{R+3}$，得$p=\frac{6}{3+3}=1$。
②在图③的坐标系中依次描出点$(0,2),(1,1.5),(2,1.2),(3,1),(4,\frac{6}{7}),(5,0.75),(6,\frac{2}{3})$，再用平滑曲线顺次连接各点，得到$I=\frac{6}{R+3}(R\ge0)$对应的函数图象。
(2) 增大
(3) 该电子托盘秤不能称出质量为2 kg的物体的质量，理由如下：
设可变电阻R与物体质量m的函数关系式为R=km+b，将(0,24)、(3,0)代入得：
$\begin{cases}b=24\\3k+b=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-8\\b=24\end{cases}$因此$R=-8m+24\ (0\le m\le3)$。当m=2时，R=-8×2+24=8，代入$I=\frac{6}{R+3}$，得$I=\frac{6}{8+3}=\frac{6}{11}\approx0.55\ \mathrm{mA}$。因为0.55＞0.4，该电流不在设定的0.2＜I\le0.4范围内，
所以该电子托盘秤不能称出质量为2 kg的物体的质量。
(1)①将R=3代入$I=\frac{6}{R+3}$，得$p=\frac{6}{3+3}=1$。
②在图③的坐标系中依次描出点$(0,2),(1,1.5),(2,1.2),(3,1),(4,\frac{6}{7}),(5,0.75),(6,\frac{2}{3})$，再用平滑曲线顺次连接各点，得到$I=\frac{6}{R+3}(R\ge0)$对应的函数图象。
(2) 增大
(3) 该电子托盘秤不能称出质量为2 kg的物体的质量，理由如下：
设可变电阻R与物体质量m的函数关系式为R=km+b，将(0,24)、(3,0)代入得：
$\begin{cases}b=24\\3k+b=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-8\\b=24\end{cases}$因此$R=-8m+24\ (0\le m\le3)$。当m=2时，R=-8×2+24=8，代入$I=\frac{6}{R+3}$，得$I=\frac{6}{8+3}=\frac{6}{11}\approx0.55\ \mathrm{mA}$。因为0.55＞0.4，该电流不在设定的0.2＜I\le0.4范围内，
所以该电子托盘秤不能称出质量为2 kg的物体的质量。
解析
【分析】
（1）①求表格中p的值时，已知I与R的函数关系式$I=\frac{6}{R+3}$，p对应R的取值为3，直接将R=3代入关系式计算即可。②绘制函数图象时，先根据表格数据准确描出各对应点，再用平滑曲线顺次连接各点即可，注意自变量$R≥0$，仅保留R非负区间的图象。
（2）先从图②判断R与m的变化关系：m增大时R减小；再结合I与R的关系式，R越小，分母$R+3$越小，分子为定值6，因此I随R的减小而增大，即可推出I随m的变化趋势。
（3）要判断能否称出2kg的物体，首先根据图②中R与m的两组对应值，用待定系数法求出R关于m的一次函数解析式，再将$m=2$代入解析式求出对应的R值，把R代入I的关系式算出电流，最后判断该电流是否在设定的$0.2＜I≤0.4$范围内即可得出结论。
【解析】
(1)①将$R=3$代入$I=\frac{6}{R+3}$，得：
$p=\frac{6}{3+3}=1$
②在坐标系中依次描出点$(0,2),(1,1.5),(2,1.2),(3,1),(4,\frac{6}{7}),(5,0.75),(6,\frac{2}{3})$，再用平滑曲线顺次连接各点，即可得到$I=\frac{6}{R+3}(R\ge0)$对应的函数图象。
(2)由图②可知，m增大时R减小，在$I=\frac{6}{R+3}$中，R越小I的值越大，因此I随m的增大而增大。
(3)该电子托盘秤不能称出质量为2 kg的物体的质量，理由如下：
设可变电阻R与物体质量m的函数关系式为$R=km+b\ (k\ne0)$，将$(0,24)$、$(3,0)$代入得：
$\begin{cases}b=24\\3k+b=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-8\\b=24\end{cases}$，因此$R=-8m+24\ (0\le m\le3)$。
当$m=2$时，$R=-8×2+24=8$，
将$R=8$代入$I=\frac{6}{R+3}$，得$I=\frac{6}{8+3}=\frac{6}{11}\approx0.55\ \mathrm{mA}$。
因为$0.55＞0.4$，该电流不在设定的$0.2＜I\le0.4$范围内，所以该电子托盘秤不能称出质量为2 kg的物体的质量。
【答案】
(1)①$\boxed{1}$；②见上述图象绘制步骤；
(2)$\boxed{增大}$；
(3)不能，理由见上述解析。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数实际应用，反比例函数实际应用
【点评】
本题以生活中常见的电子托盘秤为背景，将一次函数与反比例函数的知识结合考查，既检验了学生读取图像信息、运用函数基本性质的能力，也锻炼了学生用数学知识解决实际问题的思维，解题的核心是理清两个函数中变量的对应关系，逐步推导求解。
【难度系数】
0.6
（1）①求表格中p的值时，已知I与R的函数关系式$I=\frac{6}{R+3}$，p对应R的取值为3，直接将R=3代入关系式计算即可。②绘制函数图象时，先根据表格数据准确描出各对应点，再用平滑曲线顺次连接各点即可，注意自变量$R≥0$，仅保留R非负区间的图象。
（2）先从图②判断R与m的变化关系：m增大时R减小；再结合I与R的关系式，R越小，分母$R+3$越小，分子为定值6，因此I随R的减小而增大，即可推出I随m的变化趋势。
（3）要判断能否称出2kg的物体，首先根据图②中R与m的两组对应值，用待定系数法求出R关于m的一次函数解析式，再将$m=2$代入解析式求出对应的R值，把R代入I的关系式算出电流，最后判断该电流是否在设定的$0.2＜I≤0.4$范围内即可得出结论。
【解析】
(1)①将$R=3$代入$I=\frac{6}{R+3}$，得：
$p=\frac{6}{3+3}=1$
②在坐标系中依次描出点$(0,2),(1,1.5),(2,1.2),(3,1),(4,\frac{6}{7}),(5,0.75),(6,\frac{2}{3})$，再用平滑曲线顺次连接各点，即可得到$I=\frac{6}{R+3}(R\ge0)$对应的函数图象。
(2)由图②可知，m增大时R减小，在$I=\frac{6}{R+3}$中，R越小I的值越大，因此I随m的增大而增大。
(3)该电子托盘秤不能称出质量为2 kg的物体的质量，理由如下：
设可变电阻R与物体质量m的函数关系式为$R=km+b\ (k\ne0)$，将$(0,24)$、$(3,0)$代入得：
$\begin{cases}b=24\\3k+b=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-8\\b=24\end{cases}$，因此$R=-8m+24\ (0\le m\le3)$。
当$m=2$时，$R=-8×2+24=8$，
将$R=8$代入$I=\frac{6}{R+3}$，得$I=\frac{6}{8+3}=\frac{6}{11}\approx0.55\ \mathrm{mA}$。
因为$0.55＞0.4$，该电流不在设定的$0.2＜I\le0.4$范围内，所以该电子托盘秤不能称出质量为2 kg的物体的质量。
【答案】
(1)①$\boxed{1}$；②见上述图象绘制步骤；
(2)$\boxed{增大}$；
(3)不能，理由见上述解析。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数实际应用，反比例函数实际应用
【点评】
本题以生活中常见的电子托盘秤为背景，将一次函数与反比例函数的知识结合考查，既检验了学生读取图像信息、运用函数基本性质的能力，也锻炼了学生用数学知识解决实际问题的思维，解题的核心是理清两个函数中变量的对应关系，逐步推导求解。
【难度系数】
0.6
