8.如图,已知点 D,E 是△ABC 内的两点,且∠BAE=∠CAD,AB=AC,AD=AE。
(1)△ABD与△ACE全等吗?请说明理由；
(2)延长 BD,CE 交于点 F,若∠BAC=80°,∠ABD=20°,求∠BFC 的度数。

8. 解:(1)$△ABD≌△ACE$。
因为$∠BAE=∠CAD$，
所以$∠BAE-∠DAE=∠CAD-∠DAE$，
即$∠BAD=∠CAE$。
在△ABD和△ACE中，$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
所以△ABD≌△ACE(SAS)。
(2)因为$∠BAC=80°$，
所以$∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°$。
因为△ABD≌△ACE，
所以$∠ABD=∠ACE=20°$，
所以 $∠FBC + ∠FCB = ∠ABC + ∠ACB - ∠ABD - ∠ACE=100°-20°-20°=60°$，
所以$∠BFC=180°-(∠FBC+∠FCB)=180°-60°=120°$。

【分析】
（1）要判断△ABD和△ACE是否全等，先梳理已知条件：已有两组边相等AB=AC、AD=AE，还缺一组对应夹角相等。结合已知∠BAE=∠CAD，两个角同时减去公共角∠DAE，即可推出∠BAD=∠CAE，满足SAS全等判定的条件，即可证明两个三角形全等。
（2）求∠BFC的度数，可利用三角形内角和定理，先求∠FBC+∠FCB的度数：首先在△ABC中，由∠BAC的度数可算出∠ABC+∠ACB的和；再借助第一问全等的结论，得到∠ACE=∠ABD，用∠ABC+∠ACB的和减去∠ABD、∠ACE的度数，就能得到∠FBC+∠FCB的和，最后用180°减去这个和即可求出∠BFC的度数。
【解析】
(1) $△ ABD ≌ △ ACE$，理由如下：
$\because ∠ BAE = ∠ CAD$
$\therefore ∠ BAE - ∠ DAE = ∠ CAD - ∠ DAE$，即$∠ BAD = ∠ CAE$
在$△ ABD$和$△ ACE$中：
$\begin{cases}AB = AC \\∠ BAD = ∠ CAE \\AD = AE\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACE(\mathrm{SAS})$
(2) 在$△ ABC$中，$∠ BAC = 80°$
$\therefore ∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ BAC = 180° - 80° = 100°$
由(1)知$△ ABD ≌ △ ACE$，$\therefore ∠ ACE = ∠ ABD = 20°$
$\therefore ∠ FBC + ∠ FCB = ∠ ABC + ∠ ACB - ∠ ABD - ∠ ACE = 100° - 20° - 20° = 60°$
在$△ BFC$中：
$∠ BFC = 180° - (∠ FBC + ∠ FCB) = 180° - 60° = 120°$
【答案】
(1) $△ ABD ≌ △ ACE$，理由见解析；
(2) $∠ BFC = 120°$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是先通过角的和差关系推导全等所需的等角条件，证明三角形全等后，利用全等的对应角相等的性质转化角的关系，再结合三角形内角和定理求解角度，是全等三角形与三角形内角和知识点结合的典型常考题。
【难度系数】
0.7

9.如图,已知 AE 与 BD 相交于点 C,AC=EC,BC=DC,AB=8 cm。点 P 从点 A 出发,沿 A→B→A 以 2 cm/s 的速度运动;点 Q 同时从点 D 出发,沿 D→E 以 1 cm/s 的速度运动。当点 P 到达点 A 时,P,Q 两点同时停止运动,设点 P 的运动时间为 t s。
(1)当点 P 沿 A→B 运动时,BP=(用含 t 的代数式表示);
(2)AB 与 ED 相等吗?请说明理由;
(3)当 P,Q,C 三点共线时,求 t 的值。

9. 解:(1)根据题意得$AP=2t$ cm，
则$BP=(8-2t)$ cm。
(2)$AB=ED$。
在△ABC和△EDC中，
$\begin{cases} AC=EC, \\ ∠ACB=∠ECD, \\ BC=DC, \end{cases}$
所以△ABC≌△EDC(SAS)，
所以$AB=ED$。
(3)因为△ABC≌△EDC，
所以$∠A=∠E,DE=AB=8$ cm。
因为 P,Q,C 三点共线，
所以$∠ACP=∠ECQ$。
在△ACP和△ECQ中，
$\begin{cases} ∠A=∠E, \\ AC=EC, \\ ∠ACP=∠ECQ, \end{cases}$
所以△ACP≌△ECQ(ASA)，
所以$AP=EQ$。
根据题意得$DQ=t$ cm,则$EQ=(8-t)$ cm。
当$0≤ t≤ 4$时,$AP=2t$ cm，
所以$2t=8-t$，
解得$t=\frac{8}{3}$；
当$4＜ t≤ 8$时,$AP=(16-2t)$ cm，
所以$16-2t=8-t$，
解得$t=8$。
综上所述,当 P,Q,C 三点共线时,t 的值为 8 或$\frac{8}{3}$。

【分析】
(1) 点P沿A→B运动时，根据“路程=速度×时间”先求出AP的长度，再用AB的总长度减去AP的长度，即可得到BP的表达式。
(2) 要判断AB与ED是否相等，可通过证明两条边所在的三角形全等来推导。已知AC=EC，BC=DC，结合对顶角相等的性质，可利用SAS判定△ABC和△EDC全等，根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
(3) 首先由全等三角形的性质得到∠A=∠E、DE=AB=8cm，当P、Q、C三点共线时，∠ACP和∠ECQ是对顶角，二者相等，可利用ASA判定△ACP≌△ECQ，得到AP=EQ的等量关系。注意点P是往返运动，需分两种情况讨论：①0≤t≤4时，点P从A向B运动，AP=2t；②4＜t≤8时，点P从B向A运动，AP的长度为总往返路程减去已走路程，即16-2t。再结合EQ=DE-DQ=8-t，分别列一元一次方程求解，得到符合取值范围的t值即可。
【解析】
(1) 点P从A出发沿A→B运动，速度为2cm/s，运动时间为t s，因此AP=2t cm，已知AB=8cm，所以BP=AB-AP=(8-2t)cm。
(2) AB=ED，理由如下：
在△ABC和△EDC中，
$\begin{cases} AC=EC, \\ ∠ACB=∠ECD（对顶角相等）, \\ BC=DC, \end{cases}$
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴AB=ED（全等三角形对应边相等）。
(3) 由△ABC≌△EDC可得：∠A=∠E，DE=AB=8cm。
当P、Q、C三点共线时，∠ACP=∠ECQ（对顶角相等）。
在△ACP和△ECQ中，
$\begin{cases} ∠A=∠E, \\ AC=EC, \\ ∠ACP=∠ECQ, \end{cases}$
∴△ACP≌△ECQ（ASA），
∴AP=EQ（全等三角形对应边相等）。
点Q从D出发沿D→E运动，速度为1cm/s，运动时间为t s，因此DQ=t cm，EQ=DE-DQ=(8-t)cm。
分两种情况讨论：
①当$0≤ t≤ 4$时，点P沿A→B运动，AP=2t cm，
∴$2t=8-t$，
解得$t=\frac{8}{3}$，符合取值范围；
②当$4＜ t≤ 8$时，点P沿B→A运动，AP=$8-(2t-8)=(16-2t)$ cm，
∴$16-2t=8-t$，
解得$t=8$，符合取值范围。
综上，t的值为$\frac{8}{3}$或8。
【答案】
(1) $(8-2t)\ \mathrm{cm}$；
(2) $AB=ED$，理由见解析；
(3) $t$的值为$\frac{8}{3}$或$8$。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 动点分段讨论
3. 一元一次方程的应用
【点评】
本题将三角形全等知识与动点问题结合，既考查了全等三角形的判定定理和性质，也考查了分类讨论的数学思想，解题的关键是根据动点的运动方向分情况找到等量关系列方程求解，需注意验证解是否符合运动时间的取值范围。
【难度系数】
0.6