10. 在$△ ABC$中,已知$∠ ACB = 90°$,$AC = BC$,直线$MN$经过点$C$,$AD ⊥ MN$于点$D$,$BE ⊥ MN$于点$E$。

(1)当直线$MN$绕点$C$旋转到如图(1)所示的位置时:①$△ ADC$与$△ CEB$全等吗?②$DE$,$AD$与$BE$有怎样的数量关系?
(2)当直线$MN$绕点$C$旋转到如图(2)所示的位置时,$DE = AD - BE$吗?请说明理由。
(3)当直线$MN$绕点$C$旋转到如图(3)所示的位置时,$DE$,$AD$,$BE$之间具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证明。

10. 解:(1)①$△ADC≌△CEB$。
因为$∠ACB=90°$，
所以$∠ACD+∠BCE=90°$。
因为$AD⊥MN,BE⊥MN$，
所以$∠ADC=∠CEB=90°$，
所以$∠BCE+∠CBE=90°$，
所以$∠ACD=∠CBE$。
在△ADC和△CEB中，
$\begin{cases} ∠ADC=∠CEB, \\ ∠ACD=∠CBE, \\ AC=CB, \end{cases}$
所以△ADC≌△CEB(AAS)。
②$DE=AD+BE$。
因为△ADC≌△CEB，
所以$AD=CE,DC=BE$，
所以$DE=CE+DC=AD+BE$。
(2)$DE=AD-BE$。
根据(1),同理可得$∠ACD=∠CBE$。
在△ADC和△CEB中，
$\begin{cases} ∠ADC=∠CEB, \\ ∠ACD=∠CBE, \\ AC=CB, \end{cases}$
所以△ADC≌△CEB(AAS)。
所以$AD=CE,DC=BE$，
所以$DE=CE-CD=AD-BE$。
(3)$DE=BE-AD$。
易证得△ADC≌△CEB，
所以$AD=CE,DC=BE$，
所以$DE=DC-CE=BE-AD$。

【分析】
本题是等腰直角三角形结合直线旋转的几何证明题，解题思路如下：首先，利用∠ACB=90°和AD、BE垂直MN的条件，通过“同角的余角相等”推出△ADC和△CEB的一组对应锐角相等，再结合两个直角相等、AC=BC的已知条件，用AAS判定两个三角形全等；其次，根据全等三角形对应边相等，得到AD=CE、CD=BE；最后结合三个图形中DE、CE、CD的位置关系，通过线段的和差运算推导DE与AD、BE的数量关系，不同旋转位置对应不同的和差形式，注意结合图形区分线段的长短。
【解析】
(1)①△ADC≌△CEB，证明如下：
因为$∠ ACB=90°$，
所以$∠ ACD+∠ BCE=90°$。
因为$AD⊥ MN,BE⊥ MN$，
所以$∠ ADC=∠ CEB=90°$，
所以$∠ BCE+∠ CBE=90°$，
所以$∠ ACD=∠ CBE$。
在△ADC和△CEB中，
$\begin{cases} ∠ ADC=∠ CEB, \\ ∠ ACD=∠ CBE, \\ AC=CB, \end{cases}$
所以△ADC≌△CEB(AAS)。
②$DE=AD+BE$，推导如下：
因为△ADC≌△CEB，
所以$AD=CE,DC=BE$，
所以$DE=CE+DC=AD+BE$。
(2)$DE=AD-BE$，理由如下：
同理可得$∠ ACD=∠ CBE$。
在△ADC和△CEB中，
$\begin{cases} ∠ ADC=∠ CEB, \\ ∠ ACD=∠ CBE, \\ AC=CB, \end{cases}$
所以△ADC≌△CEB(AAS)。
所以$AD=CE,DC=BE$，
所以$DE=CE-CD=AD-BE$。
(3)$DE=BE-AD$，证明如下：
易证得△ADC≌△CEB，
所以$AD=CE,DC=BE$，
所以$DE=DC-CE=BE-AD$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{△ADC≌△CEB}$；②$\boldsymbol{DE=AD+BE}$
(2)$\boldsymbol{DE=AD-BE}$，理由见解析
(3)$\boldsymbol{DE=BE-AD}$，证明见解析
【知识点】
1. 全等三角形AAS判定
2. 全等三角形的性质
3. 线段和差计算
【点评】
本题是“一线三等角”模型的经典基础题，核心是抓住旋转过程中不变的角相等关系，通过全等完成边的等量转化，仅需根据直线的不同位置调整线段的和差逻辑，能很好地训练动态几何的分析能力，以及归纳共性、区分特性的数学思维。
【难度系数】
0.7

例1 如图，在$△ ABC$与$△ A'B'C'$中，边$BC$与边$B'C'$上的中线分别为$AD$与$A'D'$，$AB=A'B'$，$BC=B'C'$，$AD=A'D'$。$△ ABC$与$△ A'B'C'$全等吗？请说明理由。
[点拨] 先说明$△ ABD ≌ △ A'B'D'$（SSS），从而推出$∠ B=∠ B'$，再根据“SAS”说明$△ ABC ≌ △ A'B'C'$。
[解] $△ ABC ≌ △ A'B'C'$。
因为$AD$，$A'D'$分别是$△ ABC$，$△ A'B'C'$的中线，
所以$BD=\frac{1}{2}BC$，$B'D'=\frac{1}{2}B'C'$。
又因为$BC=B'C'$，
所以$BD=B'D'$。
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中，
$\begin{cases}AB=A'B', \\AD=A'D', \\BD=B'D',\end{cases}$
所以$△ ABD ≌ △ A'B'D'$（SSS），
所以$∠ B=∠ B'$。
在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中，
$\begin{cases}AB=A'B', \\∠ B=∠ B', \\BC=B'C',\end{cases}$
所以$△ ABC ≌ △ A'B'C'$（SAS）。

解：$△ ABC ≌ △ A'B'C'$，理由如下：
因为$AD$，$A'D'$分别是$△ ABC$，$△ A'B'C'$的边$BC$，$B'C'$上的中线，
所以$BD=\frac{1}{2}BC$，$B'D'=\frac{1}{2}B'C'$。
又因为$BC=B'C'$，
所以$BD=B'D'$。
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中，
$\begin{cases}AB=A'B', \\AD=A'D', \\BD=B'D',\end{cases}$
所以$△ ABD ≌ △ A'B'D'(\mathrm{SSS})$，
所以$∠ B = ∠ B'$。
在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中，
$\begin{cases}AB=A'B', \\∠ B = ∠ B', \\BC=B'C',\end{cases}$
所以$△ ABC ≌ △ A'B'C'(\mathrm{SAS})$。

【分析】
要判断两个三角形是否全等，已知两组对应边$AB=A'B'$、$BC=B'C'$，若使用SAS判定全等，还需证明两边的夹角$∠B=∠B'$。结合已知$AD$、$A'D'$是对应边上的中线，根据中线定义可推出$BD=B'D'$，此时$△ ABD$和$△ A'B'D'$三边对应相等，可先通过SSS证明这两个小三角形全等，得到对应角$∠B=∠B'$，进而即可证明$△ ABC$和$△ A'B'C'$全等。
【解析】
$△ ABC≌△ A'B'C'$，理由如下：
因为$AD$，$A'D'$分别是$△ ABC$，$△ A'B'C'$的边$BC$，$B'C'$上的中线，
所以$BD=\frac{1}{2}BC$，$B'D'=\frac{1}{2}B'C'$。
又因为$BC=B'C'$，
所以$BD=B'D'$。
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中，
$\begin{cases}AB=A'B', \\AD=A'D', \\BD=B'D',\end{cases}$
所以$△ ABD≌△ A'B'D'(\mathrm{SSS})$，
所以$∠B = ∠B'$。
在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中，
$\begin{cases}AB=A'B', \\∠B = ∠B', \\BC=B'C',\end{cases}$
所以$△ ABC≌△ A'B'C'(\mathrm{SAS})$。
【答案】
$△ ABC≌△ A'B'C'$
【知识点】
三角形中线的定义，全等三角形的判定
【点评】
本题是全等三角形判定的常规应用题，解题时需要灵活运用中线的性质，通过先证明小三角形全等得到所需的对应角相等，进而证明目标三角形全等，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7