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13. 若关于$x$的多项式$(a-4)x^3 - x^b + x - ab$为二次三项式，则当$x=-1$时，这个二次三项式的值是（
A.$-8$
B.$-10$
C.$-12$
D.$-14$
B
）A.$-8$
B.$-10$
C.$-12$
D.$-14$
答案
13. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确二次三项式的定义：①多项式中最高次项的次数为2；②多项式共有3个单项式组成。据此我们可以先求出参数a、b的值：首先，原式中存在三次项$(a-4)x^3$，要让多项式最高次为2，必须消去三次项，即三次项系数为0；其次，剩下的项中最高次项应为二次，即可确定b的值；最后将a、b代入多项式，再把$x=-1$代入计算即可得到结果。
【解析】
∵ 多项式$(a-4)x^3 - x^b + x - ab$是二次三项式
∴ 三次项系数为0，即$a-4=0$，解得$a=4$
同时最高次项的次数为2，即$b=2$
将$a=4$，$b=2$代入原多项式，可得：
原式$=-x^2 + x - 4×2 = -x^2 + x - 8$
当$x=-1$时，代入得：
$-(-1)^2 + (-1) - 8 = -1 -1 -8 = -10$
【答案】
B
【知识点】
多项式的项与次数；代数式求值；解一元一次方程
【点评】
本题重点考查多项式相关概念的应用，解题的核心是根据二次三项式的定义准确求出参数a、b的取值，代入计算时要注意负数乘方的符号问题，避免因符号运算出错导致结果错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确二次三项式的定义：①多项式中最高次项的次数为2；②多项式共有3个单项式组成。据此我们可以先求出参数a、b的值：首先，原式中存在三次项$(a-4)x^3$，要让多项式最高次为2，必须消去三次项，即三次项系数为0；其次，剩下的项中最高次项应为二次，即可确定b的值；最后将a、b代入多项式，再把$x=-1$代入计算即可得到结果。
【解析】
∵ 多项式$(a-4)x^3 - x^b + x - ab$是二次三项式
∴ 三次项系数为0，即$a-4=0$，解得$a=4$
同时最高次项的次数为2，即$b=2$
将$a=4$，$b=2$代入原多项式，可得：
原式$=-x^2 + x - 4×2 = -x^2 + x - 8$
当$x=-1$时，代入得：
$-(-1)^2 + (-1) - 8 = -1 -1 -8 = -10$
【答案】
B
【知识点】
多项式的项与次数；代数式求值；解一元一次方程
【点评】
本题重点考查多项式相关概念的应用，解题的核心是根据二次三项式的定义准确求出参数a、b的取值，代入计算时要注意负数乘方的符号问题，避免因符号运算出错导致结果错误。
【难度系数】
0.7
14. 已知多项式$a^{10} - 3a^{9}b + 5a^{8}b^{2} - 7a^{7}b^{3} + \dots + mb^{10}$。
（1）这个多项式是
（2）m的值为
（3）这个多项式的第七项与第八项分别为
（1）这个多项式是
十
次十一
项式。（2）m的值为
21
。（3）这个多项式的第七项与第八项分别为
$13a^4b^6$
和$-15a^3b^7$
。答案
(1)十 十一 (2)21 (3)$13a^4b^6$ $-15a^3b^7$
解析
【分析】
（1）判断多项式的次数看最高次项的次数，观察该多项式每一项中a的次数与b的次数之和均为10，可得最高次数；数项数时，从a的10次项到b的10次项，a的次数从10逐次减1到0，共11项。（2）先找系数规律：符号为奇数项正、偶数项负，系数绝对值是连续奇数，第n项系数绝对值为$2n-1$，最后一项是第11项，代入即可算出m。（3）求第n项时，先确定a的次数为$10-(n-1)$，b的次数为$n-1$，再结合符号和系数绝对值规律，即可得到对应项。
【解析】
（1）多项式的次数由最高次项的次数决定，该多项式每一项的次数都是a的次数加b的次数，均为10，因此是十次多项式；项数从$a^{10}$到$b^{10}$，共$10+1=11$项，所以是十次十一项式。
（2）观察系数：符号上第奇数项为正、第偶数项为负，系数绝对值依次为1、3、5、7……，第n项的系数绝对值为$2n-1$。最后一项是第11项，为奇数项，符号为正，系数绝对值为$2×11-1=21$，因此$m=21$。
（3）第七项：$n=7$，为奇数项，符号为正，系数绝对值为$2×7-1=13$；a的次数为$10-(7-1)=4$，b的次数为$7-1=6$，即第七项为$13a^4b^6$。
第八项：$n=8$，为偶数项，符号为负，系数绝对值为$2×8-1=15$；a的次数为$10-(8-1)=3$，b的次数为$8-1=7$，即第八项为$-15a^3b^7$。
【答案】
(1)十 十一 (2)21 (3)$13a^4b^6$ $-15a^3b^7$
【知识点】
多项式的概念，数字规律探究，列代数式
【点评】
本题围绕多项式的基础概念和规律探究展开，解题核心是准确梳理出每一项的符号、系数绝对值、字母次数的变化规律，结合多项式的次数、项数定义即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
（1）判断多项式的次数看最高次项的次数，观察该多项式每一项中a的次数与b的次数之和均为10，可得最高次数；数项数时，从a的10次项到b的10次项，a的次数从10逐次减1到0，共11项。（2）先找系数规律：符号为奇数项正、偶数项负，系数绝对值是连续奇数，第n项系数绝对值为$2n-1$，最后一项是第11项，代入即可算出m。（3）求第n项时，先确定a的次数为$10-(n-1)$，b的次数为$n-1$，再结合符号和系数绝对值规律，即可得到对应项。
【解析】
（1）多项式的次数由最高次项的次数决定，该多项式每一项的次数都是a的次数加b的次数，均为10，因此是十次多项式；项数从$a^{10}$到$b^{10}$，共$10+1=11$项，所以是十次十一项式。
（2）观察系数：符号上第奇数项为正、第偶数项为负，系数绝对值依次为1、3、5、7……，第n项的系数绝对值为$2n-1$。最后一项是第11项，为奇数项，符号为正，系数绝对值为$2×11-1=21$，因此$m=21$。
（3）第七项：$n=7$，为奇数项，符号为正，系数绝对值为$2×7-1=13$；a的次数为$10-(7-1)=4$，b的次数为$7-1=6$，即第七项为$13a^4b^6$。
第八项：$n=8$，为偶数项，符号为负，系数绝对值为$2×8-1=15$；a的次数为$10-(8-1)=3$，b的次数为$8-1=7$，即第八项为$-15a^3b^7$。
【答案】
(1)十 十一 (2)21 (3)$13a^4b^6$ $-15a^3b^7$
【知识点】
多项式的概念，数字规律探究，列代数式
【点评】
本题围绕多项式的基础概念和规律探究展开，解题核心是准确梳理出每一项的符号、系数绝对值、字母次数的变化规律，结合多项式的次数、项数定义即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
15. 为美化校园，学校在图书馆门口要铺设一条宽为1 m的等宽度石板路(
中阴影部分)，围起来的空白部分DEFG种上草坪。这条石板路的总铺设面积为21 m²，设AB段的长度为x m。
(1)石板路AFHB部分的铺设面积为
(2)当x＝15时，求草坪的面积。
(3)要使草坪面积最大，则DE段的长度应为
中阴影部分)，围起来的空白部分DEFG种上草坪。这条石板路的总铺设面积为21 m²，设AB段的长度为x m。(1)石板路AFHB部分的铺设面积为
$x$
m²，石板路CDEH部分的铺设面积为$(21-x)$
m²，DE段的长度为$(21-x)$
m。(均用含x的代数式表示)(2)当x＝15时，求草坪的面积。
(3)要使草坪面积最大，则DE段的长度应为
10
m(直接写出答案)答案
(1)$x$ $(21-x)$ $(21-x)$ (2)$84\ \mathrm{m^2}$ (3)10
解析
【分析】
(1) 先观察石板路AFHB的形状，它是宽为1m、长为x m的长方形，根据长方形面积公式可直接计算其面积；已知石板路总铺设面积为21m²，用总面积减去AFHB的面积即可得到CDEH部分的面积；CDEH也是宽为1m的长方形，用面积除以宽就能得到DE的长度。
(2) 空白草坪DEFG是长方形，它的长等于DE的长度，宽等于AB的长度减去1m的路宽，先写出草坪面积的代数式，再把x=15代入计算即可得到结果。
(3) 结合草坪面积的表达式找到最大值对应的DE长度即可。
【解析】
(1) 石板路AFHB为长方形，长为x m，宽为1 m，面积为$1× x=x\ \mathrm{m^2}$；
石板路总面积为21 $\mathrm{m^2}$，因此CDEH部分的面积为$21-x\ \mathrm{m^2}$；
CDEH的宽为1 m，因此DE的长度为$(21-x)÷1=21-x\ \mathrm{m}$。
(2) 草坪DEFG为长方形，长为$DE=(21-x)\ \mathrm{m}$，宽为$(x-1)\ \mathrm{m}$，因此草坪面积$S=(21-x)(x-1)$。
当$x=15$时，代入得：
$S=(21-15)×(15-1)=6×14=84\ \mathrm{m^2}$
(3) 经计算，当草坪面积最大时，DE段的长度为10 m。
【答案】
(1) $x$；$21-x$；$21-x$
(2) $84\ \mathrm{m^2}$
(3) $10$
【知识点】
列代数式；代数式求值；长方形面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查代数式的应用，解题关键是理清图形各部分的长度、面积关系，结合长方形面积公式正确列代数式，注意不要重复计算重叠部分的面积。
【难度系数】
0.7
(1) 先观察石板路AFHB的形状，它是宽为1m、长为x m的长方形，根据长方形面积公式可直接计算其面积；已知石板路总铺设面积为21m²，用总面积减去AFHB的面积即可得到CDEH部分的面积；CDEH也是宽为1m的长方形，用面积除以宽就能得到DE的长度。
(2) 空白草坪DEFG是长方形，它的长等于DE的长度，宽等于AB的长度减去1m的路宽，先写出草坪面积的代数式，再把x=15代入计算即可得到结果。
(3) 结合草坪面积的表达式找到最大值对应的DE长度即可。
【解析】
(1) 石板路AFHB为长方形，长为x m，宽为1 m，面积为$1× x=x\ \mathrm{m^2}$；
石板路总面积为21 $\mathrm{m^2}$，因此CDEH部分的面积为$21-x\ \mathrm{m^2}$；
CDEH的宽为1 m，因此DE的长度为$(21-x)÷1=21-x\ \mathrm{m}$。
(2) 草坪DEFG为长方形，长为$DE=(21-x)\ \mathrm{m}$，宽为$(x-1)\ \mathrm{m}$，因此草坪面积$S=(21-x)(x-1)$。
当$x=15$时，代入得：
$S=(21-15)×(15-1)=6×14=84\ \mathrm{m^2}$
(3) 经计算，当草坪面积最大时，DE段的长度为10 m。
【答案】
(1) $x$；$21-x$；$21-x$
(2) $84\ \mathrm{m^2}$
(3) $10$
【知识点】
列代数式；代数式求值；长方形面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查代数式的应用，解题关键是理清图形各部分的长度、面积关系，结合长方形面积公式正确列代数式，注意不要重复计算重叠部分的面积。
【难度系数】
0.7
