登录
10. 同时含有字母$a,b,c$（无其他字母）且系数为1的五次单项式有（
A.1个
B.3个
C.6个
D.9个
C
）A.1个
B.3个
C.6个
D.9个
答案
10. C
解析
【分析】
首先明确解题需要用到的两个核心概念：①单项式的次数是指单项式中所有字母的指数之和；②题目要求同时含有a、b、c三个字母，说明三个字母的指数都必须≥1（指数为0就不含该字母了）。结合系数为1、是五次单项式的要求，我们可以把问题转化为：寻找3个正整数，它们的和为5，再统计这3个正整数分配给a、b、c的指数的所有不同情况数，就是符合条件的单项式个数。解题时可以按指数的不同组合分类枚举，避免重复和遗漏。
【解析】
设单项式中a的指数为m，b的指数为n，c的指数为p，根据题意可得：
1. m、n、p均为正整数（三个字母都存在，指数不能为0）；
2. m+n+p=5（五次单项式，所有字母指数和为5）。
我们分类枚举所有满足条件的指数组合：
第一类：指数组合为3、1、1
把3分别分配给a、b、c的指数，剩下两个字母指数为1，可得3个单项式：$a^3bc$、$ab^3c$、$abc^3$。
第二类：指数组合为2、2、1
把1分别分配给a、b、c的指数，剩下两个字母指数为2，可得3个单项式：$a^2b^2c$、$a^2bc^2$、$ab^2c^2$。
两类合计共有$3+3=6$个符合条件的单项式，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
单项式的次数；分类枚举计数；单项式的定义
【点评】
本题核心是对单项式次数概念的准确理解，解题的易错点是忽略“同时含有a、b、c”的要求，漏掉三个字母指数都≥1的限制条件，只要按指数组合分类、有序枚举，就能不重不漏地得到正确结果。
【难度系数】
0.7
首先明确解题需要用到的两个核心概念：①单项式的次数是指单项式中所有字母的指数之和；②题目要求同时含有a、b、c三个字母，说明三个字母的指数都必须≥1（指数为0就不含该字母了）。结合系数为1、是五次单项式的要求，我们可以把问题转化为：寻找3个正整数，它们的和为5，再统计这3个正整数分配给a、b、c的指数的所有不同情况数，就是符合条件的单项式个数。解题时可以按指数的不同组合分类枚举，避免重复和遗漏。
【解析】
设单项式中a的指数为m，b的指数为n，c的指数为p，根据题意可得：
1. m、n、p均为正整数（三个字母都存在，指数不能为0）；
2. m+n+p=5（五次单项式，所有字母指数和为5）。
我们分类枚举所有满足条件的指数组合：
第一类：指数组合为3、1、1
把3分别分配给a、b、c的指数，剩下两个字母指数为1，可得3个单项式：$a^3bc$、$ab^3c$、$abc^3$。
第二类：指数组合为2、2、1
把1分别分配给a、b、c的指数，剩下两个字母指数为2，可得3个单项式：$a^2b^2c$、$a^2bc^2$、$ab^2c^2$。
两类合计共有$3+3=6$个符合条件的单项式，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
单项式的次数；分类枚举计数；单项式的定义
【点评】
本题核心是对单项式次数概念的准确理解，解题的易错点是忽略“同时含有a、b、c”的要求，漏掉三个字母指数都≥1的限制条件，只要按指数组合分类、有序枚举，就能不重不漏地得到正确结果。
【难度系数】
0.7
11.列出表示下列各题结果的代数式，
并指出这些代数式是单项式还是多
项式。
(1)一件商品的成本价是a元，商场
按成本价提高50%进行标价，因
库存积压，又以八折出售，求该
件商品的实际售价。
(2)一件商品的成本价是a元，商场
按成本价提高50%进行标价，因
库存积压，又降价50元出售，求
该件商品的实际售价。
(3)某市规定，每户居民用水不超过
30吨的，每吨收a元；超过30吨
的，则超过部分每吨收b元。老
王家这个月共用水45吨，求老
王家这个月的水费。
并指出这些代数式是单项式还是多
项式。
(1)一件商品的成本价是a元，商场
按成本价提高50%进行标价，因
库存积压，又以八折出售，求该
件商品的实际售价。
(2)一件商品的成本价是a元，商场
按成本价提高50%进行标价，因
库存积压，又降价50元出售，求
该件商品的实际售价。
(3)某市规定，每户居民用水不超过
30吨的，每吨收a元；超过30吨
的，则超过部分每吨收b元。老
王家这个月共用水45吨，求老
王家这个月的水费。
答案
(1)$1.2a$；单项式 (2)$1.5a-50$；多项式 (3)$30a+15b$；多项式
解析
【分析】
解题时先根据每个小题的实际情境梳理数量关系，列出对应的代数式，再结合单项式、多项式的定义判断类型：①单项式是数与字母的乘积组成的代数式，不含加减运算；②多项式是几个单项式的和，含有加减运算。
具体各小问思路：
(1) 先求成本提高50%后的标价，再用标价乘0.8得到实际售价，最后判断代数式类型；
(2) 先求成本提高50%后的标价，再减去降价的50元得到实际售价，再判断类型；
(3) 水费按分段规则计算：30吨以内的费用和超出30吨部分的费用相加得到总水费，再判断类型。
【解析】
(1) 先计算标价：按成本价提高50%后的标价为$a×(1+50\%)=1.5a$元；
再计算实际售价：八折即按标价的80%出售，实际售价为$1.5a×0.8=1.2a$元；
$1.2a$是数与字母的乘积，属于单项式。
(2) 先计算标价：同(1)，标价为$1.5a$元；
再计算实际售价：降价50元后，实际售价为$(1.5a - 50)$元；
该式是$1.5a$和$-50$两个单项式的和，属于多项式。
(3) 先计算分段费用：老王家用水45吨，超过30吨，30吨的费用为$30a$元，超出部分为$45-30=15$吨，费用为$15b$元；
再计算总水费：总水费为两部分费用之和，即$(30a + 15b)$元；
该式是$30a$和$15b$两个单项式的和，属于多项式。
【答案】
(1)$1.2a$；单项式 (2)$1.5a-50$；多项式 (3)$30a+15b$；多项式
【知识点】
列代数式；单项式的定义；多项式的定义
【点评】
本题结合生活实际场景考查代数式的列写与整式的分类，解题的核心是准确梳理题目中的数量关系，牢记单项式与多项式的判定规则，是对基础知识点应用的考查。
【难度系数】
0.85
解题时先根据每个小题的实际情境梳理数量关系，列出对应的代数式，再结合单项式、多项式的定义判断类型：①单项式是数与字母的乘积组成的代数式，不含加减运算；②多项式是几个单项式的和，含有加减运算。
具体各小问思路：
(1) 先求成本提高50%后的标价，再用标价乘0.8得到实际售价，最后判断代数式类型；
(2) 先求成本提高50%后的标价，再减去降价的50元得到实际售价，再判断类型；
(3) 水费按分段规则计算：30吨以内的费用和超出30吨部分的费用相加得到总水费，再判断类型。
【解析】
(1) 先计算标价：按成本价提高50%后的标价为$a×(1+50\%)=1.5a$元；
再计算实际售价：八折即按标价的80%出售，实际售价为$1.5a×0.8=1.2a$元；
$1.2a$是数与字母的乘积，属于单项式。
(2) 先计算标价：同(1)，标价为$1.5a$元；
再计算实际售价：降价50元后，实际售价为$(1.5a - 50)$元；
该式是$1.5a$和$-50$两个单项式的和，属于多项式。
(3) 先计算分段费用：老王家用水45吨，超过30吨，30吨的费用为$30a$元，超出部分为$45-30=15$吨，费用为$15b$元；
再计算总水费：总水费为两部分费用之和，即$(30a + 15b)$元；
该式是$30a$和$15b$两个单项式的和，属于多项式。
【答案】
(1)$1.2a$；单项式 (2)$1.5a-50$；多项式 (3)$30a+15b$；多项式
【知识点】
列代数式；单项式的定义；多项式的定义
【点评】
本题结合生活实际场景考查代数式的列写与整式的分类，解题的核心是准确梳理题目中的数量关系，牢记单项式与多项式的判定规则，是对基础知识点应用的考查。
【难度系数】
0.85
12. 七年级新学期，两摞规格相同准备发放的数学课本按如图所示方式整齐地叠放在课桌桌面上，请根据图中给出的数据信息，解答下列问题：
(1)若将m本这种规格的数学课本整齐地叠放在桌面上，求数学课本(最上面一页)距离地面的高度(用含m的代数式表示)；
(2)现课桌桌面上有60本这种规格的数学课本整齐叠放成一摞，若从中取出18本，求余下的数学课本(最上面一页)距离地面的高度。
(1)若将m本这种规格的数学课本整齐地叠放在桌面上，求数学课本(最上面一页)距离地面的高度(用含m的代数式表示)；
(2)现课桌桌面上有60本这种规格的数学课本整齐叠放成一摞，若从中取出18本，求余下的数学课本(最上面一页)距离地面的高度。
答案
(1)$(85+0.5m)$厘米 (2)$85+0.5×(60-18)=106$(厘米)
解析
【分析】
解题时首先从图中提取信息：3本叠放时总高度为86.5cm，6本叠放时总高度为88cm。第一步先通过两个高度的差值计算每本课本的厚度：高度差对应6-3=3本书的总厚度，相除可得单本书厚度；第二步计算课桌的高度：用3本叠放的总高度减去3本书的总厚度即可得到课桌高度；第三步，m本课本叠放时，总高度为课桌高度加m本书的总厚度，即可列出代数式。第二问先求出剩余课本的数量，再代入第一问的代数式求值即可。
【解析】
(1) 先计算每本数学课本的厚度：
$(88 - 86.5)÷(6 - 3)=1.5÷3=0.5(\mathrm{cm})$
再计算课桌的高度：
$86.5 - 3×0.5=86.5 - 1.5=85(\mathrm{cm})$
m本课本的总厚度为$0.5m$ cm，因此最上面一页距离地面的高度为$(85 + 0.5m)\mathrm{cm}$。
(2) 取出18本后，剩余课本数量为：$60 - 18=42$（本）
将$m=42$代入$85+0.5m$得：
$85 + 0.5×42=85 + 21=106(\mathrm{cm})$
【答案】
(1) $\boxed{(85+0.5m)}$厘米
(2) $\boxed{106}$厘米
【知识点】
列代数式；代数式求值；数量关系分析
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是从图示信息中推导单本书厚度和课桌高度两个关键量，再结合题意列代数式、代入计算即可，能有效考查学生提取信息、分析实际问题数量关系的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先从图中提取信息：3本叠放时总高度为86.5cm，6本叠放时总高度为88cm。第一步先通过两个高度的差值计算每本课本的厚度：高度差对应6-3=3本书的总厚度，相除可得单本书厚度；第二步计算课桌的高度：用3本叠放的总高度减去3本书的总厚度即可得到课桌高度；第三步，m本课本叠放时，总高度为课桌高度加m本书的总厚度，即可列出代数式。第二问先求出剩余课本的数量，再代入第一问的代数式求值即可。
【解析】
(1) 先计算每本数学课本的厚度：
$(88 - 86.5)÷(6 - 3)=1.5÷3=0.5(\mathrm{cm})$
再计算课桌的高度：
$86.5 - 3×0.5=86.5 - 1.5=85(\mathrm{cm})$
m本课本的总厚度为$0.5m$ cm，因此最上面一页距离地面的高度为$(85 + 0.5m)\mathrm{cm}$。
(2) 取出18本后，剩余课本数量为：$60 - 18=42$（本）
将$m=42$代入$85+0.5m$得：
$85 + 0.5×42=85 + 21=106(\mathrm{cm})$
【答案】
(1) $\boxed{(85+0.5m)}$厘米
(2) $\boxed{106}$厘米
【知识点】
列代数式；代数式求值；数量关系分析
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是从图示信息中推导单本书厚度和课桌高度两个关键量，再结合题意列代数式、代入计算即可，能有效考查学生提取信息、分析实际问题数量关系的能力。
【难度系数】
0.7
