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1. 抛物线$y=x^2+3x-1$与$x$轴的交点个数是（
A.0
B.1
C.2
D.无法确定
C
）。A.0
B.1
C.2
D.无法确定
答案
1.C
解析
【分析】
要判断抛物线与x轴的交点个数，首先明确x轴上的点纵坐标均为0，因此求抛物线与x轴的交点等价于求当y=0时对应一元二次方程的实数根个数。而一元二次方程的实根个数可通过判别式Δ判断：Δ＞0对应2个实根、2个交点；Δ=0对应1个实根、1个交点；Δ＜0对应无实根、0个交点，因此只需计算对应方程的判别式即可得出结果。
【解析】
解：令$y=0$，得到一元二次方程：$x^2 + 3x - 1 = 0$
其中$a=1$，$b=3$，$c=-1$，代入根的判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$得：
$\Delta = 3^2 - 4×1×(-1) = 9 + 4 = 13$
∵$\Delta = 13 ＞ 0$
∴该方程有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴有2个交点。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次函数与x轴交点个数和对应一元二次方程判别式的对应关系，熟练掌握判别式取值与交点个数的对应规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要判断抛物线与x轴的交点个数，首先明确x轴上的点纵坐标均为0，因此求抛物线与x轴的交点等价于求当y=0时对应一元二次方程的实数根个数。而一元二次方程的实根个数可通过判别式Δ判断：Δ＞0对应2个实根、2个交点；Δ=0对应1个实根、1个交点；Δ＜0对应无实根、0个交点，因此只需计算对应方程的判别式即可得出结果。
【解析】
解：令$y=0$，得到一元二次方程：$x^2 + 3x - 1 = 0$
其中$a=1$，$b=3$，$c=-1$，代入根的判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$得：
$\Delta = 3^2 - 4×1×(-1) = 9 + 4 = 13$
∵$\Delta = 13 ＞ 0$
∴该方程有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴有2个交点。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次函数与x轴交点个数和对应一元二次方程判别式的对应关系，熟练掌握判别式取值与交点个数的对应规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 抛物线$y=ax^2+bx+c$如图所示，则关于$x$的方程$ax^2+bx+c=4$的根的情况是（
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
C
）。A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
答案
2.C
解析
【分析】
要判断方程$ax^2+bx+c=4$的根的情况，可将问题转化为判断抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=4$的交点个数：交点个数对应方程实根的个数，交点横坐标就是方程的根。首先观察抛物线的开口方向和顶点纵坐标的范围，再对比$y=4$的位置，就能判断交点个数，进而得到根的情况。
【解析】
方程$ax^2+bx+c=4$的根等价于抛物线$y=ax^2+bx+c$上函数值为4的点对应的横坐标，即抛物线与直线$y=4$的交点横坐标。
观察图象可知：抛物线开口向上，顶点的纵坐标在0~1之间，即抛物线的最小值小于1，远小于4。
因此直线$y=4$在抛物线顶点的上方，与开口向上的抛物线有2个不同的交点，对应方程$ax^2+bx+c=4$有两个不相等的实数根。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.二次函数的图象性质
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题的关键是将方程根的个数问题转化为二次函数图象与水平直线的交点个数问题，是二次函数与一元二次方程结合的基础题型。
【难度系数】
0.8
要判断方程$ax^2+bx+c=4$的根的情况，可将问题转化为判断抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=4$的交点个数：交点个数对应方程实根的个数，交点横坐标就是方程的根。首先观察抛物线的开口方向和顶点纵坐标的范围，再对比$y=4$的位置，就能判断交点个数，进而得到根的情况。
【解析】
方程$ax^2+bx+c=4$的根等价于抛物线$y=ax^2+bx+c$上函数值为4的点对应的横坐标，即抛物线与直线$y=4$的交点横坐标。
观察图象可知：抛物线开口向上，顶点的纵坐标在0~1之间，即抛物线的最小值小于1，远小于4。
因此直线$y=4$在抛物线顶点的上方，与开口向上的抛物线有2个不同的交点，对应方程$ax^2+bx+c=4$有两个不相等的实数根。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.二次函数的图象性质
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题的关键是将方程根的个数问题转化为二次函数图象与水平直线的交点个数问题，是二次函数与一元二次方程结合的基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 抛物线$y=x^2+x-6$与x轴正半轴交点的横坐标是（
A.－3
B.3
C.－2
D.2
D
）。A.－3
B.3
C.－2
D.2
答案
3.D
解析
【分析】
要找抛物线与x轴交点的横坐标，首先明确x轴上的点纵坐标为0，因此只需令抛物线解析式中y=0，解所得的一元二次方程，再从解中选出符合“x轴正半轴”（即x＞0）的结果即可。
【解析】
当抛物线与x轴相交时，交点纵坐标y=0，令y=0，可得方程：
$x^2 + x - 6 = 0$
对左边因式分解得：
$(x + 3)(x - 2) = 0$
则$x+3=0$或$x-2=0$，解得：
$x_1=-3$，$x_2=2$
因为要求的是x轴正半轴交点的横坐标，即x＞0，所以符合条件的横坐标是2。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，因式分解法解一元二次方程，坐标轴上点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，核心是理解二次函数与x轴的交点横坐标就是对应一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的解法和坐标轴上点的坐标特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要找抛物线与x轴交点的横坐标，首先明确x轴上的点纵坐标为0，因此只需令抛物线解析式中y=0，解所得的一元二次方程，再从解中选出符合“x轴正半轴”（即x＞0）的结果即可。
【解析】
当抛物线与x轴相交时，交点纵坐标y=0，令y=0，可得方程：
$x^2 + x - 6 = 0$
对左边因式分解得：
$(x + 3)(x - 2) = 0$
则$x+3=0$或$x-2=0$，解得：
$x_1=-3$，$x_2=2$
因为要求的是x轴正半轴交点的横坐标，即x＞0，所以符合条件的横坐标是2。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，因式分解法解一元二次方程，坐标轴上点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，核心是理解二次函数与x轴的交点横坐标就是对应一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的解法和坐标轴上点的坐标特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9
4. 如图，抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$与x轴交于点$A(-2,0)$和$B(4,0)$，则方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根是(
A.$x_1=-4,x_2=2$
B.$x_1=-2,x_2=4$
C.$x_1=-1,x_2=3$
D.$x_1=-3,x_2=1$
B
)。A.$x_1=-4,x_2=2$
B.$x_1=-2,x_2=4$
C.$x_1=-1,x_2=3$
D.$x_1=-3,x_2=1$
答案
4.B
解析
【分析】
解题时先明确一元二次方程根的几何意义：一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根，对应二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交点的横坐标。题干已经给出抛物线和x轴的两个交点坐标，直接提取交点的横坐标，即可得到方程的根，再匹配对应选项即可。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根，就是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交点的横坐标。
已知抛物线与x轴交于点$A(-2,0)$和$B(4,0)$，两个交点的横坐标分别为-2和4，因此方程$ax^2+bx+c=0$的根为$x_1=-2$，$x_2=4$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题属于基础概念应用题，直接考查二次函数图象与x轴交点横坐标和对应一元二次方程根的对应关系，熟练掌握该基础概念即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时先明确一元二次方程根的几何意义：一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根，对应二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交点的横坐标。题干已经给出抛物线和x轴的两个交点坐标，直接提取交点的横坐标，即可得到方程的根，再匹配对应选项即可。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根，就是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交点的横坐标。
已知抛物线与x轴交于点$A(-2,0)$和$B(4,0)$，两个交点的横坐标分别为-2和4，因此方程$ax^2+bx+c=0$的根为$x_1=-2$，$x_2=4$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题属于基础概念应用题，直接考查二次函数图象与x轴交点横坐标和对应一元二次方程根的对应关系，熟练掌握该基础概念即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
5. 如图，二次函数$y=-x^2+2x+3$的图象与x轴分别交于点A和点B，与y轴交于点C。
(1)求AB的长；
(2)求$△ ABC$的面积。
(1)求AB的长；
(2)求$△ ABC$的面积。
答案
5.解:(1)当 y=0 时，$-x^2+2x+3=0$，解得 $x_1=-1,x_2=3$。
∵点 A 在点 B 的左侧，
∴A(-1,0),B(3,0)，
∴AB=3-(-1)=4。
(2)当 x=0 时，y=3，
∴OC=3，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· OC=\frac{1}{2}×4×3=6$。
∵点 A 在点 B 的左侧，
∴A(-1,0),B(3,0)，
∴AB=3-(-1)=4。
(2)当 x=0 时，y=3，
∴OC=3，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· OC=\frac{1}{2}×4×3=6$。
解析
【分析】
本题分两小问，解题思路清晰：
(1)求AB的长时，AB是二次函数与x轴两交点的连线段，首先令函数解析式中y=0，解对应的一元二次方程得到两个根，即为A、B两点的横坐标，结合A在B左侧确定两点坐标，用右侧点横坐标减左侧点横坐标就能得到AB的长度。
(2)求△ABC的面积时，AB在x轴上可作为三角形的底，高是C点到x轴的距离，也就是二次函数与y轴交点C的纵坐标绝对值。因此先令x=0求出C点坐标得到高的长度，再用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)当$y=0$时，代入二次函数解析式得：
$-x^2+2x+3=0$
因式分解得$-(x+1)(x-3)=0$，解得$x_1=-1,x_2=3$
∵点A在点B的左侧
∴$A(-1,0)$，$B(3,0)$
∴$AB=3-(-1)=4$
(2)当$x=0$时，代入二次函数解析式得：
$y=-0^2+2×0+3=3$
∴$C(0,3)$，即AB边上的高$OC=3$
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×OC=\frac{1}{2}×4×3=6$
【答案】
(1)AB的长为4；
(2)$△ ABC$的面积为6。
【知识点】
二次函数与坐标轴交点、解一元二次方程、三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础应用题，重点考察二次函数与坐标轴交点的求解方法，结合基础几何面积公式即可解题，是常规的基础得分题型。
【难度系数】
0.85
本题分两小问，解题思路清晰：
(1)求AB的长时，AB是二次函数与x轴两交点的连线段，首先令函数解析式中y=0，解对应的一元二次方程得到两个根，即为A、B两点的横坐标，结合A在B左侧确定两点坐标，用右侧点横坐标减左侧点横坐标就能得到AB的长度。
(2)求△ABC的面积时，AB在x轴上可作为三角形的底，高是C点到x轴的距离，也就是二次函数与y轴交点C的纵坐标绝对值。因此先令x=0求出C点坐标得到高的长度，再用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)当$y=0$时，代入二次函数解析式得：
$-x^2+2x+3=0$
因式分解得$-(x+1)(x-3)=0$，解得$x_1=-1,x_2=3$
∵点A在点B的左侧
∴$A(-1,0)$，$B(3,0)$
∴$AB=3-(-1)=4$
(2)当$x=0$时，代入二次函数解析式得：
$y=-0^2+2×0+3=3$
∴$C(0,3)$，即AB边上的高$OC=3$
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×OC=\frac{1}{2}×4×3=6$
【答案】
(1)AB的长为4；
(2)$△ ABC$的面积为6。
【知识点】
二次函数与坐标轴交点、解一元二次方程、三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础应用题，重点考察二次函数与坐标轴交点的求解方法，结合基础几何面积公式即可解题，是常规的基础得分题型。
【难度系数】
0.85
1.如图，抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$经过点$(-1,0)$，对称轴是直线$x=1$，则一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解是（
A.$x_1=-1,x_2=3$
B.$x_1=1,x_2=3$
C.$x_1=-1,x_2=-3$
D.$x_1=1,x_2=-3$
A
）。A.$x_1=-1,x_2=3$
B.$x_1=1,x_2=3$
C.$x_1=-1,x_2=-3$
D.$x_1=1,x_2=-3$
答案
1.A
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解就是抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴交点的横坐标。已知抛物线经过点$(-1,0)$，可得方程的一个解是$x=-1$；又因为抛物线是轴对称图形，与$x$轴的两个交点关于对称轴对称，已知对称轴为直线$x=1$，我们只需要求出点$(-1,0)$关于直线$x=1$对称的点的横坐标，就能得到方程的另一个解。
【解析】
1. 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标就是对应一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，已知抛物线过点$(-1,0)$，因此$x_1=-1$是方程的一个解。
2. 抛物线的对称轴为直线$x=1$，抛物线与$x$轴的两个交点关于对称轴对称，设另一个交点的横坐标为$x_2$，根据对称点的性质，两个对称点的横坐标的平均数等于对称轴的横坐标，即：
$\frac{-1+x_2}{2}=1$
解得：$x_2=2×1 - (-1)=3$
因此一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解为$x_1=-1,x_2=3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；二次函数的对称性；对称轴的应用
【点评】
本题是二次函数相关的基础题型，将一元二次方程的解和二次函数图象的性质结合起来考察，熟练掌握二次函数图象和对应一元二次方程的关系、二次函数的对称性，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先要明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解就是抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴交点的横坐标。已知抛物线经过点$(-1,0)$，可得方程的一个解是$x=-1$；又因为抛物线是轴对称图形，与$x$轴的两个交点关于对称轴对称，已知对称轴为直线$x=1$，我们只需要求出点$(-1,0)$关于直线$x=1$对称的点的横坐标，就能得到方程的另一个解。
【解析】
1. 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标就是对应一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，已知抛物线过点$(-1,0)$，因此$x_1=-1$是方程的一个解。
2. 抛物线的对称轴为直线$x=1$，抛物线与$x$轴的两个交点关于对称轴对称，设另一个交点的横坐标为$x_2$，根据对称点的性质，两个对称点的横坐标的平均数等于对称轴的横坐标，即：
$\frac{-1+x_2}{2}=1$
解得：$x_2=2×1 - (-1)=3$
因此一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解为$x_1=-1,x_2=3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；二次函数的对称性；对称轴的应用
【点评】
本题是二次函数相关的基础题型，将一元二次方程的解和二次函数图象的性质结合起来考察，熟练掌握二次函数图象和对应一元二次方程的关系、二次函数的对称性，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
2. 如图所示的是二次函数$y=3x^2+bx+c$的部分图象，关于$x$的一元二次方程$3x^2+bx+c=0$的一个解为$x_1=3$，则另一个解为$x_2=$
-1
。答案
2.-1
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与x轴交点的横坐标。再观察图象可知该二次函数的对称轴为直线$x=1$，抛物线是轴对称图形，因此它与x轴的两个交点关于对称轴对称，即两个交点横坐标的平均值等于对称轴对应的横坐标，结合已知的一个根即可求出另一个根。
【解析】
由二次函数的性质可知，一元二次方程$3x^2+bx+c=0$的两个解就是二次函数$y=3x^2+bx+c$图象与x轴两个交点的横坐标。
观察图象可得该抛物线的对称轴为直线$x=1$，根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴$x=1$对称。
设方程的另一个解为$x_2$，则两个解的中点在对称轴上，即：
$\frac{x_1+x_2}{2}=1$
将$x_1=3$代入上式：
$\frac{3+x_2}{2}=1$
解得$x_2=2×1 -3=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数图象的对称性和二次函数与对应一元二次方程的联系，解题关键是利用抛物线与x轴交点关于对称轴对称的性质，通过中点关系快速计算未知根，是二次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与x轴交点的横坐标。再观察图象可知该二次函数的对称轴为直线$x=1$，抛物线是轴对称图形，因此它与x轴的两个交点关于对称轴对称，即两个交点横坐标的平均值等于对称轴对应的横坐标，结合已知的一个根即可求出另一个根。
【解析】
由二次函数的性质可知，一元二次方程$3x^2+bx+c=0$的两个解就是二次函数$y=3x^2+bx+c$图象与x轴两个交点的横坐标。
观察图象可得该抛物线的对称轴为直线$x=1$，根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴$x=1$对称。
设方程的另一个解为$x_2$，则两个解的中点在对称轴上，即：
$\frac{x_1+x_2}{2}=1$
将$x_1=3$代入上式：
$\frac{3+x_2}{2}=1$
解得$x_2=2×1 -3=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数图象的对称性和二次函数与对应一元二次方程的联系，解题关键是利用抛物线与x轴交点关于对称轴对称的性质，通过中点关系快速计算未知根，是二次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
