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4. 某商店销售进价为每件20元的某种商品，前$ x $天($ 1 ≤ x ≤ 90 $)的售价与销售量的相关信息如下表。设销售商品每天的利润为$ y $元。
| 时间 | $ 1 ≤ x ＜ 45 $ | $ 45 ≤ x ≤ 90 $ |
| --- | --- | --- |
| 售价/元 |
30 | 70 |
| 每天的销售量/件 | μlticolumn{2}{c}{160−2x} |
(1)求当$ 45 ≤ x ≤ 90 $时，$ y $与$ x $之间的关系式。
(2)商品销售第几天时，当天的销售利润最大？最大利润是多少？
| 时间 | $ 1 ≤ x ＜ 45 $ | $ 45 ≤ x ≤ 90 $ |
| --- | --- | --- |
| 售价/元 |
30 | 70 || 每天的销售量/件 | μlticolumn{2}{c}{160−2x} |
(1)求当$ 45 ≤ x ≤ 90 $时，$ y $与$ x $之间的关系式。
(2)商品销售第几天时，当天的销售利润最大？最大利润是多少？
答案
4.解:(1)当 45≤x≤90 时，y=(160-2x)(70-20)=-100x+8 000，
即 y=-100x+8 000。
(2)当 1≤x＜45 时，y=(160-2x)(30+x-20)=-2(x-35)²+4 050。
∵-2＜0，
∴当 x=35 时，$y_{最大}=4\ 050$。
当 45≤x≤90 时，y=-100x+8 000，y 随 x 的增大而减小，
∴当 x=45 时，$y_{最大}=-100×45+8\ 000=3\ 500$。
∵4 050＞3 500，
∴商品销售第 35 天时，当天的销售利润最大，最大利润是 4 050 元。
即 y=-100x+8 000。
(2)当 1≤x＜45 时，y=(160-2x)(30+x-20)=-2(x-35)²+4 050。
∵-2＜0，
∴当 x=35 时，$y_{最大}=4\ 050$。
当 45≤x≤90 时，y=-100x+8 000，y 随 x 的增大而减小，
∴当 x=45 时，$y_{最大}=-100×45+8\ 000=3\ 500$。
∵4 050＞3 500，
∴商品销售第 35 天时，当天的销售利润最大，最大利润是 4 050 元。
解析
【分析】
本题是分段销售利润问题，核心解题依据为“总利润=单件利润×销售量”。(1)问针对$45≤x≤90$的区间，先计算该区间单件利润（售价减进价），再乘对应销售量即可得到函数关系式；(2)问需分两段求最值：$1≤x＜45$时得到二次函数，结合二次函数开口方向和顶点坐标求最大值；$45≤x≤90$时得到一次函数，结合一次函数增减性求该区间最大值，最后比较两段的最大值即可得到最终结果。
【解析】
(1) 当$45≤x≤90$时，商品售价为70元/件，进价为20元/件，单件利润为$70-20=50$元，销售量为$(160-2x)$件，因此：
$\begin{aligned}y&=(160-2x)×(70-20)\\&=50×(160-2x)\\&=-100x+8000\end{aligned}$
即$y$与$x$的关系式为$y=-100x+8000\ (45≤x≤90)$。
(2) 分两段计算最大利润：
① 当$1≤x＜45$时，售价为$(x+30)$元/件，单件利润为$x+30-20=x+10$元，销售量为$(160-2x)$件，因此：
$\begin{aligned}y&=(160-2x)(x+10)\\&=-2x^2+140x+1600\\&=-2(x-35)^2+4050\end{aligned}$
$\because$二次项系数$-2＜0$，抛物线开口向下
$\therefore$当$x=35$时，$y$取得最大值，$y_{\mathrm{最大}}=4050$元。
② 当$45≤x≤90$时，$y=-100x+8000$，一次项系数$-100＜0$，$y$随$x$的增大而减小
$\therefore$当$x=45$时，$y$取得最大值，$y_{\mathrm{最大}}=-100×45+8000=3500$元。
比较两段最大值：$4050＞3500$，因此销售第35天利润最大。
【答案】
(1) $y=-100x+8000\ (45≤x≤90)$；
(2) 商品销售第35天时，当天的销售利润最大，最大利润是4050元。
【知识点】
销售利润计算；二次函数最值；一次函数性质
【点评】
本题是分段函数实际应用的典型题，解题的关键是根据自变量的取值范围确定对应售价，分别列出正确的函数关系式，再结合函数性质求最值，注意所求最值必须符合对应区间的自变量取值范围，最后通过比较得到最终结果。
【难度系数】
0.6
本题是分段销售利润问题，核心解题依据为“总利润=单件利润×销售量”。(1)问针对$45≤x≤90$的区间，先计算该区间单件利润（售价减进价），再乘对应销售量即可得到函数关系式；(2)问需分两段求最值：$1≤x＜45$时得到二次函数，结合二次函数开口方向和顶点坐标求最大值；$45≤x≤90$时得到一次函数，结合一次函数增减性求该区间最大值，最后比较两段的最大值即可得到最终结果。
【解析】
(1) 当$45≤x≤90$时，商品售价为70元/件，进价为20元/件，单件利润为$70-20=50$元，销售量为$(160-2x)$件，因此：
$\begin{aligned}y&=(160-2x)×(70-20)\\&=50×(160-2x)\\&=-100x+8000\end{aligned}$
即$y$与$x$的关系式为$y=-100x+8000\ (45≤x≤90)$。
(2) 分两段计算最大利润：
① 当$1≤x＜45$时，售价为$(x+30)$元/件，单件利润为$x+30-20=x+10$元，销售量为$(160-2x)$件，因此：
$\begin{aligned}y&=(160-2x)(x+10)\\&=-2x^2+140x+1600\\&=-2(x-35)^2+4050\end{aligned}$
$\because$二次项系数$-2＜0$，抛物线开口向下
$\therefore$当$x=35$时，$y$取得最大值，$y_{\mathrm{最大}}=4050$元。
② 当$45≤x≤90$时，$y=-100x+8000$，一次项系数$-100＜0$，$y$随$x$的增大而减小
$\therefore$当$x=45$时，$y$取得最大值，$y_{\mathrm{最大}}=-100×45+8000=3500$元。
比较两段最大值：$4050＞3500$，因此销售第35天利润最大。
【答案】
(1) $y=-100x+8000\ (45≤x≤90)$；
(2) 商品销售第35天时，当天的销售利润最大，最大利润是4050元。
【知识点】
销售利润计算；二次函数最值；一次函数性质
【点评】
本题是分段函数实际应用的典型题，解题的关键是根据自变量的取值范围确定对应售价，分别列出正确的函数关系式，再结合函数性质求最值，注意所求最值必须符合对应区间的自变量取值范围，最后通过比较得到最终结果。
【难度系数】
0.6
5.【数学应用】为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程。要在和谐小区新建一小型活动广场，计划在$360\ \mathrm{m}^2$的绿化带上种植甲、乙两种花卉。市场调查发现：甲种花卉的种植费用$y$(元)与种植面积$x(\mathrm{m}^2)$之间的关系如图所示，乙种花卉的种植费用为15元/$\mathrm{m}^2$。
(1)当$40≤ x≤100$时，求$y$与$x$之间的关系式。
(2)当甲种花卉的种植面积不少于$30\ \mathrm{m}^2$，且乙种花卉的种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时，如何分配甲、乙两种花卉的种植面积，才能使种植的总费用$w$(元)最少？最少是多少元？
(1)当$40≤ x≤100$时，求$y$与$x$之间的关系式。
(2)当甲种花卉的种植面积不少于$30\ \mathrm{m}^2$，且乙种花卉的种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时，如何分配甲、乙两种花卉的种植面积，才能使种植的总费用$w$(元)最少？最少是多少元？
答案
5.解:(1)当 40≤x≤100 时，设 y=kx+b。
将(40,30),(100,15)分别代入，得
$\begin{cases}40k+b=30,\\100k+b=15,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{4},\\b=40,\end{cases}$
∴$y=-\dfrac{1}{4}x+40$。
(2)设甲种花卉的种植面积为 a m²，则乙种花卉的种植面积为(360-a)m²。
∵甲种花卉的种植面积不少于 30 m²，且乙种花卉的种植面积不低于甲种花卉种植面积的 3 倍，
∴$\begin{cases}a≥30,\\360-a≥3a,\end{cases}$ 解得 30≤a≤90。
当 30≤a≤40 时，w=30a+15(360-a)=15a+5 400。
∵15＞0，
∴当 a=30 时，w 取得最小值，$w_{最小}=15×30+5\ 400=5\ 850$。
当 40＜a≤90 时，$w=a(-\dfrac{1}{4}a+40)+15(360-a)=-\dfrac{1}{4}(a-50)^2+6\ 025$。
∵$-\dfrac{1}{4}＜0$，对称轴为直线 a=50，且 50-40＜90-50，
∴当 a=90 时，w 取得最小值，$w_{最小}=-\dfrac{1}{4}×(90-50)^2+6\ 025=5\ 625$。
∵5 625＜5 850，
∴当 a=90 时，w 取得最小值，$w_{最小}$为 5 625 元。
此时 360-90=270。
故甲种花卉的种植面积为 90 m²，乙种花卉的种植面积为 270 m²，才能使种植的总费用最少，最少为 5 625 元。
将(40,30),(100,15)分别代入，得
$\begin{cases}40k+b=30,\\100k+b=15,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{4},\\b=40,\end{cases}$
∴$y=-\dfrac{1}{4}x+40$。
(2)设甲种花卉的种植面积为 a m²，则乙种花卉的种植面积为(360-a)m²。
∵甲种花卉的种植面积不少于 30 m²，且乙种花卉的种植面积不低于甲种花卉种植面积的 3 倍，
∴$\begin{cases}a≥30,\\360-a≥3a,\end{cases}$ 解得 30≤a≤90。
当 30≤a≤40 时，w=30a+15(360-a)=15a+5 400。
∵15＞0，
∴当 a=30 时，w 取得最小值，$w_{最小}=15×30+5\ 400=5\ 850$。
当 40＜a≤90 时，$w=a(-\dfrac{1}{4}a+40)+15(360-a)=-\dfrac{1}{4}(a-50)^2+6\ 025$。
∵$-\dfrac{1}{4}＜0$，对称轴为直线 a=50，且 50-40＜90-50，
∴当 a=90 时，w 取得最小值，$w_{最小}=-\dfrac{1}{4}×(90-50)^2+6\ 025=5\ 625$。
∵5 625＜5 850，
∴当 a=90 时，w 取得最小值，$w_{最小}$为 5 625 元。
此时 360-90=270。
故甲种花卉的种植面积为 90 m²，乙种花卉的种植面积为 270 m²，才能使种植的总费用最少，最少为 5 625 元。
解析
【分析】
(1) 当40≤x≤100时，y与x的关系为一次函数，可采用待定系数法求解：先设函数解析式为y=kx+b，再将图像上两个已知点(40,30)、(100,15)代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出k、b的值，得到函数关系式。
(2) 首先设甲种花卉种植面积为a m²，根据“甲种植面积不少于30 m²”“乙种植面积不低于甲的3倍”两个限制条件列不等式组，求出a的取值范围。由于甲的种植费用是分段函数，因此总费用w需要分30≤a≤40、40＜a≤90两段分别讨论：第一段为一次函数，根据一次函数的增减性求最小值；第二段为二次函数，结合二次函数的开口方向、对称轴以及自变量的取值范围求最小值，最后比较两段的最小值，选择更小的结果，对应求出乙的种植面积即可。
【解析】
(1) 当$40≤ x≤100$时，设$y=kx+b$。
将$(40,30)$，$(100,15)$分别代入，得
$\begin{cases}40k+b=30\\100k+b=15\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{4}\\b=40\end{cases}$
∴$y=-\dfrac{1}{4}x+40\quad(40≤ x≤100)$。
(2) 设甲种花卉的种植面积为$a\ \mathrm{m}^2$，则乙种花卉的种植面积为$(360-a)\mathrm{m}^2$。
根据题意得$\begin{cases}a≥30\\360-a≥3a\end{cases}$，解得$30≤a≤90$。
①当$30≤a≤40$时，甲种花卉种植费用为30元/$\mathrm{m}^2$，总费用：
$w=30a+15(360-a)=15a+5400$
∵$15＞0$，w随a的增大而增大，
∴当$a=30$时，w取得最小值，$w_{最小}=15×30+5400=5850$元。
②当$40＜a≤90$时，甲种花卉种植费用满足$y=-\dfrac{1}{4}a+40$，总费用：
$w=a(-\dfrac{1}{4}a+40)+15(360-a)=-\dfrac{1}{4}a^2+25a+5400=-\dfrac{1}{4}(a-50)^2+6025$
∵$-\dfrac{1}{4}＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$a=50$，在区间$40＜a≤90$内，离对称轴越远函数值越小，
∴当$a=90$时，w取得最小值，$w_{最小}=-\dfrac{1}{4}×(90-50)^2+6025=5625$元。
∵$5625＜5850$，
∴总费用的最小值为5625元，此时甲的种植面积为90 $\mathrm{m}^2$，乙的种植面积为$360-90=270$ $\mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{4}x+40\quad(40≤ x≤100)$；
(2) 甲种花卉种植面积为$90\ \mathrm{m}^2$，乙种花卉种植面积为$270\ \mathrm{m}^2$时总费用最少，最少为5625元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，二次函数最值应用，一元一次不等式组应用
【点评】
本题结合民生实际场景命题，综合考查了分段函数的处理、一次函数与二次函数的最值求解，以及不等式组的应用，解题的核心是准确确定自变量的取值范围，分段讨论时不要遗漏情况，求函数最值时要结合自变量的区间判断，避免脱离范围直接取顶点值的错误。
【难度系数】
0.6
(1) 当40≤x≤100时，y与x的关系为一次函数，可采用待定系数法求解：先设函数解析式为y=kx+b，再将图像上两个已知点(40,30)、(100,15)代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出k、b的值，得到函数关系式。
(2) 首先设甲种花卉种植面积为a m²，根据“甲种植面积不少于30 m²”“乙种植面积不低于甲的3倍”两个限制条件列不等式组，求出a的取值范围。由于甲的种植费用是分段函数，因此总费用w需要分30≤a≤40、40＜a≤90两段分别讨论：第一段为一次函数，根据一次函数的增减性求最小值；第二段为二次函数，结合二次函数的开口方向、对称轴以及自变量的取值范围求最小值，最后比较两段的最小值，选择更小的结果，对应求出乙的种植面积即可。
【解析】
(1) 当$40≤ x≤100$时，设$y=kx+b$。
将$(40,30)$，$(100,15)$分别代入，得
$\begin{cases}40k+b=30\\100k+b=15\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{4}\\b=40\end{cases}$
∴$y=-\dfrac{1}{4}x+40\quad(40≤ x≤100)$。
(2) 设甲种花卉的种植面积为$a\ \mathrm{m}^2$，则乙种花卉的种植面积为$(360-a)\mathrm{m}^2$。
根据题意得$\begin{cases}a≥30\\360-a≥3a\end{cases}$，解得$30≤a≤90$。
①当$30≤a≤40$时，甲种花卉种植费用为30元/$\mathrm{m}^2$，总费用：
$w=30a+15(360-a)=15a+5400$
∵$15＞0$，w随a的增大而增大，
∴当$a=30$时，w取得最小值，$w_{最小}=15×30+5400=5850$元。
②当$40＜a≤90$时，甲种花卉种植费用满足$y=-\dfrac{1}{4}a+40$，总费用：
$w=a(-\dfrac{1}{4}a+40)+15(360-a)=-\dfrac{1}{4}a^2+25a+5400=-\dfrac{1}{4}(a-50)^2+6025$
∵$-\dfrac{1}{4}＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$a=50$，在区间$40＜a≤90$内，离对称轴越远函数值越小，
∴当$a=90$时，w取得最小值，$w_{最小}=-\dfrac{1}{4}×(90-50)^2+6025=5625$元。
∵$5625＜5850$，
∴总费用的最小值为5625元，此时甲的种植面积为90 $\mathrm{m}^2$，乙的种植面积为$360-90=270$ $\mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{4}x+40\quad(40≤ x≤100)$；
(2) 甲种花卉种植面积为$90\ \mathrm{m}^2$，乙种花卉种植面积为$270\ \mathrm{m}^2$时总费用最少，最少为5625元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，二次函数最值应用，一元一次不等式组应用
【点评】
本题结合民生实际场景命题，综合考查了分段函数的处理、一次函数与二次函数的最值求解，以及不等式组的应用，解题的核心是准确确定自变量的取值范围，分段讨论时不要遗漏情况，求函数最值时要结合自变量的区间判断，避免脱离范围直接取顶点值的错误。
【难度系数】
0.6
