登录
1.如图,某建筑物有一抛物线形的大门,小强想知道这道门的高度,他先测出门的宽度AB=8 m,然后用一根长为4 m的竹竿CD竖直接触地面和门的内壁,并测得AC=1 m,则门高OE为(
A.9 m
B.$\frac{64}{7}$ m
C.8.7 m
D.9.3 m
B
)。A.9 m
B.$\frac{64}{7}$ m
C.8.7 m
D.9.3 m
答案
1.B
解析
【分析】
遇到抛物线形的实际问题，首先结合题目给出的坐标系分析：该抛物线对称轴为y轴，顶点在y轴上，因此可设解析式为$y=ax^2+c$（无一次项）。接下来需要找到抛物线上两个已知点的坐标：由AB=8m可得A、B两点坐标分别为$(-4,0)$、$(4,0)$；再由AC=1m、CD=4m，可推出D点坐标为$(-3,4)$。将两个点坐标代入解析式联立求解，得到的常数项c就是顶点E的纵坐标，也就是门高OE的长度。
【解析】
解：由题意可知抛物线对称轴为y轴，设抛物线解析式为$\boldsymbol{y=ax^2+c(a≠0)}$。
∵ 门宽$AB=8\mathrm{m}$，O为AB中点，
∴ $OA=OB=4\mathrm{m}$，即点B坐标为$(4,0)$，点A坐标为$(-4,0)$。
∵ $AC=1\mathrm{m}$，
∴ $OC=OA-AC=4-1=3\mathrm{m}$，又$CD=4\mathrm{m}$且CD垂直x轴，
∴ 点D坐标为$(-3,4)$。
将点B$(4,0)$和点D$(-3,4)$代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}16a + c = 0 \\9a + c = 4\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$7a=-4$，解得$a=-\frac{4}{7}$。
将$a=-\frac{4}{7}$代入$16a + c = 0$，得$16×(-\frac{4}{7}) + c =0$，解得$c=\frac{64}{7}$。
抛物线顶点E坐标为$(0,\frac{64}{7})$，因此门高OE为$\frac{64}{7}\mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的基础题型，解题核心是结合坐标系提取抛物线上的已知点坐标，通过待定系数法求出函数解析式，再利用解析式求解对应线段长度，熟练掌握二次函数的性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
遇到抛物线形的实际问题，首先结合题目给出的坐标系分析：该抛物线对称轴为y轴，顶点在y轴上，因此可设解析式为$y=ax^2+c$（无一次项）。接下来需要找到抛物线上两个已知点的坐标：由AB=8m可得A、B两点坐标分别为$(-4,0)$、$(4,0)$；再由AC=1m、CD=4m，可推出D点坐标为$(-3,4)$。将两个点坐标代入解析式联立求解，得到的常数项c就是顶点E的纵坐标，也就是门高OE的长度。
【解析】
解：由题意可知抛物线对称轴为y轴，设抛物线解析式为$\boldsymbol{y=ax^2+c(a≠0)}$。
∵ 门宽$AB=8\mathrm{m}$，O为AB中点，
∴ $OA=OB=4\mathrm{m}$，即点B坐标为$(4,0)$，点A坐标为$(-4,0)$。
∵ $AC=1\mathrm{m}$，
∴ $OC=OA-AC=4-1=3\mathrm{m}$，又$CD=4\mathrm{m}$且CD垂直x轴，
∴ 点D坐标为$(-3,4)$。
将点B$(4,0)$和点D$(-3,4)$代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}16a + c = 0 \\9a + c = 4\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$7a=-4$，解得$a=-\frac{4}{7}$。
将$a=-\frac{4}{7}$代入$16a + c = 0$，得$16×(-\frac{4}{7}) + c =0$，解得$c=\frac{64}{7}$。
抛物线顶点E坐标为$(0,\frac{64}{7})$，因此门高OE为$\frac{64}{7}\mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的基础题型，解题核心是结合坐标系提取抛物线上的已知点坐标，通过待定系数法求出函数解析式，再利用解析式求解对应线段长度，熟练掌握二次函数的性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
2. 如图，在某次篮球训练中，小张投出的球准确经过篮圈中心。已知小张跳起投篮的位置与篮圈中心的水平距离为4 m，球运动的路线是抛物线，当球运动的水平距离为2.5 m时达到最大高度3.5 m，篮圈中心到地面的距离是3.05 m，则抛物线的表达式是(
A.$y=-2x^2+4$
B.$y=-0.2x^2+3.5$
C.$y=-0.2x^2+3.05$
D.$y=-0.2x^2+2.5$
B
)。A.$y=-2x^2+4$
B.$y=-0.2x^2+3.5$
C.$y=-0.2x^2+3.05$
D.$y=-0.2x^2+2.5$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先观察坐标系，发现抛物线的顶点在y轴上，坐标为(0,3.5)，因此可以设抛物线的解析式为顶点式$y=ax^2+k$，代入顶点坐标可直接得到$k=3.5$。接下来需要找到抛物线上另一个已知点的坐标求$a$：已知投篮点距离原点水平距离为2.5m，投篮点和篮圈中心的水平距离为4m，可算出篮圈中心的横坐标为$4-2.5=1.5m$，篮圈高度3.05m即纵坐标为3.05，将该点代入解析式即可求出$a$，最终得到抛物线表达式。
【解析】
1. 设抛物线解析式：由图可知抛物线顶点为$(0,3.5)$，因此设解析式为$y=ax^2+3.5$（$a≠0$）。
2. 确定篮圈中心坐标：投篮点与原点水平距离为2.5m，和篮圈水平距离为4m，因此篮圈横坐标为$4-2.5=1.5$，纵坐标为篮圈高度3.05，即篮圈坐标为$(1.5,3.05)$。
3. 代入求参数：将$(1.5,3.05)$代入解析式得：
$3.05=a×1.5^2+3.5$
计算得$2.25a=-0.45$，解得$a=-0.2$。
因此抛物线表达式为$y=-0.2x^2+3.5$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数顶点式；二次函数实际应用
【点评】
本题结合投篮场景考查二次函数解析式的求解，核心是准确提取顶点和已知点的坐标，再用待定系数法计算即可，是二次函数应用的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察坐标系，发现抛物线的顶点在y轴上，坐标为(0,3.5)，因此可以设抛物线的解析式为顶点式$y=ax^2+k$，代入顶点坐标可直接得到$k=3.5$。接下来需要找到抛物线上另一个已知点的坐标求$a$：已知投篮点距离原点水平距离为2.5m，投篮点和篮圈中心的水平距离为4m，可算出篮圈中心的横坐标为$4-2.5=1.5m$，篮圈高度3.05m即纵坐标为3.05，将该点代入解析式即可求出$a$，最终得到抛物线表达式。
【解析】
1. 设抛物线解析式：由图可知抛物线顶点为$(0,3.5)$，因此设解析式为$y=ax^2+3.5$（$a≠0$）。
2. 确定篮圈中心坐标：投篮点与原点水平距离为2.5m，和篮圈水平距离为4m，因此篮圈横坐标为$4-2.5=1.5$，纵坐标为篮圈高度3.05，即篮圈坐标为$(1.5,3.05)$。
3. 代入求参数：将$(1.5,3.05)$代入解析式得：
$3.05=a×1.5^2+3.5$
计算得$2.25a=-0.45$，解得$a=-0.2$。
因此抛物线表达式为$y=-0.2x^2+3.5$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数顶点式；二次函数实际应用
【点评】
本题结合投篮场景考查二次函数解析式的求解，核心是准确提取顶点和已知点的坐标，再用待定系数法计算即可，是二次函数应用的基础题型。
【难度系数】
0.7
3. 如图①所示的是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化。“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图②，已知其底部宽度AB为80 m，高度为200 m，则离地面150 m处的水平宽度（即CD的长）为（
A.40 m
B.45 m
C.50 m
D.55 m
A
）。A.40 m
B.45 m
C.50 m
D.55 m
答案
3.A
解析
【分析】
本题属于二次函数的实际应用问题，解题思路如下：1. 结合图形特点建立合适的平面直角坐标系，把已知的线段长度转化为抛物线上点的坐标；2. 利用待定系数法求出抛物线的解析式；3. 把离地面高度150m转化为纵坐标y=150，代入解析式求出对应的横坐标，最后计算两个横坐标的差即可得到CD的长度。
【解析】
以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，由题意得：A(-40, 0)，B(40, 0)，抛物线顶点坐标为(0, 200)。
设抛物线的解析式为$ y=ax^2+200(a≠0) $，将B(40, 0)代入解析式得：
$ 0=a×40^2 + 200 $
解得$ a=-\frac{1}{8} $
因此抛物线解析式为$ y=-\frac{1}{8}x^2 + 200 $
当离地面高度为150m时，即$ y=150 $，代入解析式得：
$ 150=-\frac{1}{8}x^2 + 200 $
解得$ x^2=400 $，即$ x=\pm20 $
所以C点坐标为(-20, 150)，D点坐标为(20, 150)，则CD的长度为$ 20 - (-20)=40(m) $
【答案】
A
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求解析式；二次函数点坐标特征
【点评】
本题结合建筑实景考查二次函数的实际应用，解题核心是合理建立平面直角坐标系，简化解析式求解过程，掌握二次函数顶点式的使用能有效降低解题难度，是二次函数应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
本题属于二次函数的实际应用问题，解题思路如下：1. 结合图形特点建立合适的平面直角坐标系，把已知的线段长度转化为抛物线上点的坐标；2. 利用待定系数法求出抛物线的解析式；3. 把离地面高度150m转化为纵坐标y=150，代入解析式求出对应的横坐标，最后计算两个横坐标的差即可得到CD的长度。
【解析】
以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，由题意得：A(-40, 0)，B(40, 0)，抛物线顶点坐标为(0, 200)。
设抛物线的解析式为$ y=ax^2+200(a≠0) $，将B(40, 0)代入解析式得：
$ 0=a×40^2 + 200 $
解得$ a=-\frac{1}{8} $
因此抛物线解析式为$ y=-\frac{1}{8}x^2 + 200 $
当离地面高度为150m时，即$ y=150 $，代入解析式得：
$ 150=-\frac{1}{8}x^2 + 200 $
解得$ x^2=400 $，即$ x=\pm20 $
所以C点坐标为(-20, 150)，D点坐标为(20, 150)，则CD的长度为$ 20 - (-20)=40(m) $
【答案】
A
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求解析式；二次函数点坐标特征
【点评】
本题结合建筑实景考查二次函数的实际应用，解题核心是合理建立平面直角坐标系，简化解析式求解过程，掌握二次函数顶点式的使用能有效降低解题难度，是二次函数应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
4. 如图所示的是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，若水面下降2 m，水面宽度增加(
A.$(2\sqrt{2}+2)\mathrm{m}$
B.$(2\sqrt{2}-2)\mathrm{m}$
C.$(4\sqrt{2}-4)\mathrm{m}$
D.$(4\sqrt{2}+4)\mathrm{m}$
C
)。A.$(2\sqrt{2}+2)\mathrm{m}$
B.$(2\sqrt{2}-2)\mathrm{m}$
C.$(4\sqrt{2}-4)\mathrm{m}$
D.$(4\sqrt{2}+4)\mathrm{m}$
答案
4.C
解析
【分析】
要解决抛物线拱桥的实际问题，我们可以利用抛物线的轴对称性建立合适的平面直角坐标系简化计算：第一步，将拱顶设为坐标原点，对称轴设为y轴，抛物线解析式可设为顶点式$y=ax^2$，降低计算难度；第二步，代入已知的水面点坐标求出系数$a$，确定抛物线解析式；第三步，计算水面下降2m时对应的纵坐标，代入解析式求出对应横坐标，得到新的水面宽度；第四步，用新宽度减去原宽度即可得到增加的宽度。
【解析】
解：以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为$y=ax^2(a＜0)$。
由题意可知，拱顶离水面2m时水面宽4m，此时水面上的点坐标为$(2,-2)$，将其代入解析式：
$-2=a×2^2$，解得$a=-\frac{1}{2}$，
因此抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
当水面下降2m时，水面对应的纵坐标为$y=-2-2=-4$，将$y=-4$代入解析式：
$-4=-\frac{1}{2}x^2$，解得$x=\pm2\sqrt{2}$，
此时水面宽度为$2\sqrt{2}-(-2\sqrt{2})=4\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
因此水面宽度增加了$4\sqrt{2}-4\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用，待定系数法求解析式，二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的典型题型，核心是合理建立平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数的代数问题，结合二次函数的性质即可求解。
【难度系数】
0.7
要解决抛物线拱桥的实际问题，我们可以利用抛物线的轴对称性建立合适的平面直角坐标系简化计算：第一步，将拱顶设为坐标原点，对称轴设为y轴，抛物线解析式可设为顶点式$y=ax^2$，降低计算难度；第二步，代入已知的水面点坐标求出系数$a$，确定抛物线解析式；第三步，计算水面下降2m时对应的纵坐标，代入解析式求出对应横坐标，得到新的水面宽度；第四步，用新宽度减去原宽度即可得到增加的宽度。
【解析】
解：以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为$y=ax^2(a＜0)$。
由题意可知，拱顶离水面2m时水面宽4m，此时水面上的点坐标为$(2,-2)$，将其代入解析式：
$-2=a×2^2$，解得$a=-\frac{1}{2}$，
因此抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
当水面下降2m时，水面对应的纵坐标为$y=-2-2=-4$，将$y=-4$代入解析式：
$-4=-\frac{1}{2}x^2$，解得$x=\pm2\sqrt{2}$，
此时水面宽度为$2\sqrt{2}-(-2\sqrt{2})=4\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
因此水面宽度增加了$4\sqrt{2}-4\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用，待定系数法求解析式，二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的典型题型，核心是合理建立平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数的代数问题，结合二次函数的性质即可求解。
【难度系数】
0.7
5. 如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为$15°$，点B在抛物线$y=ax^2$上，则抛物线的表达式为
（第5题）
$y=-\frac{\sqrt{2}}{3}x^2$
。（第5题）答案
5.$y=-\frac{\sqrt{2}}{3}x^2$
解析
【分析】
要确定抛物线$y=ax^2$的表达式，仅需求出系数$a$的值，因此需先得到抛物线上点$B$的坐标。首先连接正方形对角线$OB$，先根据正方形性质求出$OB$的长度，再结合$OC$与$x$轴的夹角计算出$OB$与$x$轴正方向的夹角，利用三角函数求出点$B$的坐标，最后将坐标代入解析式即可求解$a$。
【解析】
1. 连接对角线$OB$，
∵四边形$OABC$是边长为1的正方形，
∴$OB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，且对角线平分正方形内角，$∠ COB=45°$。
2. 已知$OC$与$x$轴正半轴夹角为$15°$，点$B$在第四象限，因此$OB$与$x$轴正方向的夹角为$15°-45°=-30°$。
3. 利用三角函数求点$B$坐标：
$x=OB·\cos(-30°)=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$
$y=OB·\sin(-30°)=\sqrt{2}×(-\frac{1}{2})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
即$B(\frac{\sqrt{6}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$。
4. 将点$B$坐标代入$y=ax^2$：
$-\frac{\sqrt{2}}{2}=a×(\frac{\sqrt{6}}{2})^2$
计算得$(\frac{\sqrt{6}}{2})^2=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，代入得：
$-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{2}a$，解得$a=-\frac{\sqrt{2}}{3}$。
【答案】
$y=-\frac{\sqrt{2}}{3}x^2$
【知识点】
二次函数解析式求解，正方形的性质，三角函数的应用
【点评】
本题是代数与几何结合的典型题型，解题核心是通过正方形性质和三角函数求出抛物线上点的坐标，再代入解析式求解，考查学生的综合应用能力。
【难度系数】
0.65
要确定抛物线$y=ax^2$的表达式，仅需求出系数$a$的值，因此需先得到抛物线上点$B$的坐标。首先连接正方形对角线$OB$，先根据正方形性质求出$OB$的长度，再结合$OC$与$x$轴的夹角计算出$OB$与$x$轴正方向的夹角，利用三角函数求出点$B$的坐标，最后将坐标代入解析式即可求解$a$。
【解析】
1. 连接对角线$OB$，
∵四边形$OABC$是边长为1的正方形，
∴$OB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，且对角线平分正方形内角，$∠ COB=45°$。
2. 已知$OC$与$x$轴正半轴夹角为$15°$，点$B$在第四象限，因此$OB$与$x$轴正方向的夹角为$15°-45°=-30°$。
3. 利用三角函数求点$B$坐标：
$x=OB·\cos(-30°)=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$
$y=OB·\sin(-30°)=\sqrt{2}×(-\frac{1}{2})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
即$B(\frac{\sqrt{6}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$。
4. 将点$B$坐标代入$y=ax^2$：
$-\frac{\sqrt{2}}{2}=a×(\frac{\sqrt{6}}{2})^2$
计算得$(\frac{\sqrt{6}}{2})^2=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，代入得：
$-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{2}a$，解得$a=-\frac{\sqrt{2}}{3}$。
【答案】
$y=-\frac{\sqrt{2}}{3}x^2$
【知识点】
二次函数解析式求解，正方形的性质，三角函数的应用
【点评】
本题是代数与几何结合的典型题型，解题核心是通过正方形性质和三角函数求出抛物线上点的坐标，再代入解析式求解，考查学生的综合应用能力。
【难度系数】
0.65
6. 如图①所示的是某公园一圆形喷水池的示意图，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，建立如图②所示的平面直角坐标系。如果喷头所在处A的坐标为$(0,1.25)$，水流路线最高处M的坐标为$(1,2.25)$，则该抛物线的表达式为
$y=-x^2+2x+1.25$
。答案
6.$y=-x^2+2x+1.25$
解析
【分析】
已知抛物线的顶点坐标，选择顶点式求解解析式最为简便。首先根据顶点M的坐标写出二次函数的顶点式，仅含有未知参数a，再将点A的坐标代入顶点式求出a的值，最后将顶点式整理为一般式即可得到结果。
【解析】
∵ 抛物线的顶点为$M(1,2.25)$
∴ 设该抛物线的解析式为 $y=a(x-1)^2+2.25$（$a≠0$）
将点$A(0,1.25)$代入解析式，得：
$1.25 = a×(0-1)^2 + 2.25$
解得 $a = 1.25 - 2.25 = -1$
将$a=-1$代入顶点式，展开整理得：
$y=-(x-1)^2+2.25 = -x^2+2x-1+2.25 = -x^2+2x+1.25$
【答案】
$y=-x^2+2x+1.25$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题核心是根据已知条件选择合适的解析式形式，已知顶点坐标时选用顶点式可大幅简化计算，需要熟练掌握顶点式的用法。
【难度系数】
0.8
已知抛物线的顶点坐标，选择顶点式求解解析式最为简便。首先根据顶点M的坐标写出二次函数的顶点式，仅含有未知参数a，再将点A的坐标代入顶点式求出a的值，最后将顶点式整理为一般式即可得到结果。
【解析】
∵ 抛物线的顶点为$M(1,2.25)$
∴ 设该抛物线的解析式为 $y=a(x-1)^2+2.25$（$a≠0$）
将点$A(0,1.25)$代入解析式，得：
$1.25 = a×(0-1)^2 + 2.25$
解得 $a = 1.25 - 2.25 = -1$
将$a=-1$代入顶点式，展开整理得：
$y=-(x-1)^2+2.25 = -x^2+2x-1+2.25 = -x^2+2x+1.25$
【答案】
$y=-x^2+2x+1.25$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题核心是根据已知条件选择合适的解析式形式，已知顶点坐标时选用顶点式可大幅简化计算，需要熟练掌握顶点式的用法。
【难度系数】
0.8
