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7.【数学文化】投壶起源于射礼，是中国古代宴会时的一种娱乐游戏。投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分。箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线。同学们将箭抽象为一个动点，建立如图所示的平面直角坐标系(单位长度为1 m)。某同学将箭从A(0,1.5)处投出，箭的飞行轨迹为抛物线$L:y=ax^2+bx+c$的一部分，箭飞行的最大高度为2 m，此时箭距离投出点的水平距离为1 m，求抛物线L的表达式。
答案
7.解:
∵箭飞行的最大高度为 2 m,此时箭距离投出点的水平距离为 1 m,
∴抛物线的顶点坐标为$(-1,2)$。
设抛物线 L 的表达式为 $y=a(x+1)^2+2$。
∵抛物线经过点 $A(0,1.5)$,
∴$a+2=1.5$,解得 $a=-\frac{1}{2}$,
∴$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2+2$,
即抛物线 L 的表达式为 $y=-\frac{1}{2}(x+1)^2+2$。
∵箭飞行的最大高度为 2 m,此时箭距离投出点的水平距离为 1 m,
∴抛物线的顶点坐标为$(-1,2)$。
设抛物线 L 的表达式为 $y=a(x+1)^2+2$。
∵抛物线经过点 $A(0,1.5)$,
∴$a+2=1.5$,解得 $a=-\frac{1}{2}$,
∴$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2+2$,
即抛物线 L 的表达式为 $y=-\frac{1}{2}(x+1)^2+2$。
解析
【分析】
求解抛物线表达式首先要选择合适的解析式形式，题中明确给出了抛物线的最大高度即顶点纵坐标，以及顶点到投出点的水平距离，结合投出点A的横坐标为0，可确定抛物线顶点坐标为$(-1,2)$，因此选择顶点式求解更简便，后续只需将已知点A代入顶点式求出未知参数$a$，就能得到抛物线的完整表达式。
【解析】
解：由题意可知，箭飞行到最大高度的位置为抛物线的顶点，该点与投出点$A(0,1.5)$的水平距离为1 m，最大高度为2 m，因此抛物线的顶点坐标为$(-1,2)$。
设抛物线L的顶点式表达式为$y=a(x+1)^2+2$（$a\ne0$）。
将点$A(0,1.5)$代入上述表达式得：
$a×(0+1)^2 +2=1.5$
解得$a=-\frac{1}{2}$。
因此抛物线L的表达式为$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2+2$。
【答案】
$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2+2$
【知识点】
二次函数顶点式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质
【点评】
本题结合中国传统投壶文化考查二次函数的实际应用，解题核心是准确提取题中条件确定抛物线的顶点坐标，选择顶点式可大幅简化计算，属于二次函数应用的基础常规题型。
【难度系数】
0.75
求解抛物线表达式首先要选择合适的解析式形式，题中明确给出了抛物线的最大高度即顶点纵坐标，以及顶点到投出点的水平距离，结合投出点A的横坐标为0，可确定抛物线顶点坐标为$(-1,2)$，因此选择顶点式求解更简便，后续只需将已知点A代入顶点式求出未知参数$a$，就能得到抛物线的完整表达式。
【解析】
解：由题意可知，箭飞行到最大高度的位置为抛物线的顶点，该点与投出点$A(0,1.5)$的水平距离为1 m，最大高度为2 m，因此抛物线的顶点坐标为$(-1,2)$。
设抛物线L的顶点式表达式为$y=a(x+1)^2+2$（$a\ne0$）。
将点$A(0,1.5)$代入上述表达式得：
$a×(0+1)^2 +2=1.5$
解得$a=-\frac{1}{2}$。
因此抛物线L的表达式为$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2+2$。
【答案】
$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2+2$
【知识点】
二次函数顶点式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质
【点评】
本题结合中国传统投壶文化考查二次函数的实际应用，解题核心是准确提取题中条件确定抛物线的顶点坐标，选择顶点式可大幅简化计算，属于二次函数应用的基础常规题型。
【难度系数】
0.75
8.【综合与实践】刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚,如图所示的是其横截面的示意图,其中AB,CD为两段垂直于地面的墙体,两段墙体之间的水平距离为9 m,大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑。已知骨架的一端固定在离地面3.5 m的墙体A处,另一端固定在墙体D处,骨架最高点P到墙体AB的水平距离为2 m,离地面的高度为3.75 m。以B为原点,水平直线BC为x轴,AB所在直线为y轴,建立平面直角坐标系。设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为y(m),该处离墙体AB的水平距离为x(m),求y与x之间的关系式。
答案
8.解:根据题意得抛物线的顶点 P 的坐标为(2,3.75)。
设 y 与 x 之间的关系式为 $y=a(x-2)^2+3.75$。
将$(0,3.5)$代入 $y=a(x-2)^2+3.75$,得
$4a+3.75=3.5$,解得 $a=-\frac{1}{16}$,
∴$y=-\frac{1}{16}(x-2)^2+\frac{15}{4}$,
即 y 与 x 之间的关系式为 $y=-\frac{1}{16}(x-2)^2+\frac{15}{4}$。
设 y 与 x 之间的关系式为 $y=a(x-2)^2+3.75$。
将$(0,3.5)$代入 $y=a(x-2)^2+3.75$,得
$4a+3.75=3.5$,解得 $a=-\frac{1}{16}$,
∴$y=-\frac{1}{16}(x-2)^2+\frac{15}{4}$,
即 y 与 x 之间的关系式为 $y=-\frac{1}{16}(x-2)^2+\frac{15}{4}$。
解析
【分析】
要确定抛物线对应的y与x的函数关系式，首先观察已知条件：题目明确给出了抛物线的最高点（即顶点）P的坐标，因此优先选择二次函数的顶点式来设解析式，可简化计算。接下来只需找到抛物线上除顶点外的另一个已知点的坐标，代入所设解析式求出未知系数a，即可得到完整的函数关系式。
【解析】
根据题意可知，抛物线的顶点P的坐标为(2, 3.75)，因此设y与x的函数关系式为顶点式：
$y=a(x-2)^2+3.75$（$a\ne0$）
已知点A在抛物线上，A点离地面高度为3.5m，离AB的水平距离为0，因此A点坐标为(0, 3.5)，将其代入上述解析式得：
$a×(0-2)^2+3.75=3.5$
化简得$4a+3.75=3.5$，解得$a=-\frac{1}{16}$。
将$a=-\frac{1}{16}$代入顶点式，整理得：
$y=-\frac{1}{16}(x-2)^2+\frac{15}{4}$
【答案】
$y=-\frac{1}{16}(x-2)^2+\frac{15}{4}$
【知识点】
二次函数顶点式、待定系数法求解析式、二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的基础应用题型，解题关键是根据给定的顶点条件选择顶点式设解析式，再代入已知点求解系数，计算难度较低，掌握二次函数解析式的常见求法即可完成解答。
【难度系数】
0.8
要确定抛物线对应的y与x的函数关系式，首先观察已知条件：题目明确给出了抛物线的最高点（即顶点）P的坐标，因此优先选择二次函数的顶点式来设解析式，可简化计算。接下来只需找到抛物线上除顶点外的另一个已知点的坐标，代入所设解析式求出未知系数a，即可得到完整的函数关系式。
【解析】
根据题意可知，抛物线的顶点P的坐标为(2, 3.75)，因此设y与x的函数关系式为顶点式：
$y=a(x-2)^2+3.75$（$a\ne0$）
已知点A在抛物线上，A点离地面高度为3.5m，离AB的水平距离为0，因此A点坐标为(0, 3.5)，将其代入上述解析式得：
$a×(0-2)^2+3.75=3.5$
化简得$4a+3.75=3.5$，解得$a=-\frac{1}{16}$。
将$a=-\frac{1}{16}$代入顶点式，整理得：
$y=-\frac{1}{16}(x-2)^2+\frac{15}{4}$
【答案】
$y=-\frac{1}{16}(x-2)^2+\frac{15}{4}$
【知识点】
二次函数顶点式、待定系数法求解析式、二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的基础应用题型，解题关键是根据给定的顶点条件选择顶点式设解析式，再代入已知点求解系数，计算难度较低，掌握二次函数解析式的常见求法即可完成解答。
【难度系数】
0.8
