1. 若式子$\sqrt{x - 2}$有意义，则实数$x$的值可能是()。

A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$

1. D

【解析】
要使二次根式$\sqrt{x - 2}$有意义，需满足被开方数非负，即$x - 2 ≥ 0$，解得$x ≥ 2$。
观察选项，只有D选项的$2$满足$x ≥ 2$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件
【点评】
本题考查二次根式有意义的条件，属于基础题型，只需掌握“二次根式的被开方数为非负数”这一核心点即可快速求解。
【难度系数】
0.9

2. 计算：$(2\sqrt{5})^2 = $()。

A.$10$
B.$20$
C.$4\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{5}$

2. B

【解析】
根据积的乘方法则：$(ab)^2=a^2b^2$，可得：
$(2\sqrt{5})^2=2^2×(\sqrt{5})^2=4×5=20$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的乘方、积的乘方法则
【点评】
本题主要考查二次根式的乘方运算，直接运用积的乘方法则和二次根式的性质即可求解，属于基础题。
【难度系数】
0.9

3. 已知$\sqrt{18 - n}$是整数，则自然数$n$有可能是()。

A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$

3. A

【解析】
要使$\sqrt{18 - n}$是整数，则$18 - n$需为非负的完全平方数，且$n$为自然数。分别代入选项验证：
当$n=2$时，$18-2=16$，$\sqrt{16}=4$，是整数，符合条件；
当$n=3$时，$18-3=15$，$\sqrt{15}$不是整数，不符合；
当$n=4$时，$18-4=14$，$\sqrt{14}$不是整数，不符合；
当$n=5$时，$18-5=13$，$\sqrt{13}$不是整数，不符合。
因此自然数$n$可能是2，选A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质，完全平方数
【点评】
本题考查二次根式的相关知识，解题关键是明确若二次根式的值为整数，则被开方数为非负完全平方数，通过代入选项验证即可快速得出答案，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

4. 设长方形的面积为$S$，相邻两边分别为$a$，$b$。已知$S = 16$，$b = \sqrt{10}$，则$a =$()。

A.$\frac{8}{5}\sqrt{10}$
B.$\frac{4}{5}\sqrt{10}$
C.$\frac{8}{5}\sqrt{5}$
D.$\frac{4}{5}\sqrt{5}$

4. A

【解析】
根据长方形面积公式$S = ab$，可得$a = \frac{S}{b}$。
将$S = 16$，$b = \sqrt{10}$代入得：
$a = \frac{16}{\sqrt{10}} = \frac{16\sqrt{10}}{\sqrt{10} × \sqrt{10}} = \frac{16\sqrt{10}}{10} = \frac{8}{5}\sqrt{10}$。
【答案】
A
【知识点】
长方形面积公式、二次根式分母有理化
【点评】
本题主要考查长方形面积公式的应用及二次根式的化简运算，需熟练掌握分母有理化的方法，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

5. 已知$x = \sqrt{3} + 1$，$y = \sqrt{3} - 1$，则$x^2 - y^2 =$()。

A.$12$
B.$4$
C.$4\sqrt{3}$
D.$5\sqrt{3}$

5. C

【解析】
本题可利用平方差公式进行简便计算：
1. 根据平方差公式$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$；
2. 计算$x+y$：$x+y=(\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}-1)=2\sqrt{3}$；
3. 计算$x-y$：$x-y=(\sqrt{3}+1)-(\sqrt{3}-1)=2$；
4. 代入公式得：$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)=2\sqrt{3}×2=4\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题考查平方差公式的应用与二次根式的运算，利用平方差公式可简化计算过程，避免直接计算平方的繁琐，提升解题效率。
【难度系数】
0.7

6. 已知$a + \frac{1}{a} = \sqrt{10}$，则$a - \frac{1}{a} =$()。

A.$-\sqrt{6}$
B.$\sqrt{6}$
C.$\pm\sqrt{6}$
D.无法确定

6. C

【解析】
已知$a + \frac{1}{a} = \sqrt{10}$，对其两边平方：
$(a + \frac{1}{a})^2 = (\sqrt{10})^2$
展开得：$a^2 + 2 · a · \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = 10$
化简得：$a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 10$，即$a^2 + \frac{1}{a^2} = 8$。
再计算$(a - \frac{1}{a})^2$：
$(a - \frac{1}{a})^2 = a^2 - 2 · a · \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = a^2 + \frac{1}{a^2} - 2$
将$a^2 + \frac{1}{a^2} = 8$代入得：$8 - 2 = 6$。
对$(a - \frac{1}{a})^2 = 6$开平方，得$a - \frac{1}{a} = \pm\sqrt{6}$。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式的变形应用
【点评】
本题主要考查完全平方公式的灵活运用，解题关键是通过对已知等式平方求出$a^2 + \frac{1}{a^2}$的值，再利用完全平方公式的变形求解目标代数式，需注意开平方后结果有正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6

7. 使二次根式$\sqrt{\frac{1}{2 - 3x}}$有意义的$x$的取值范围是。

7. $ x ＜ \frac{2}{3} $

【解析】
要使二次根式$\sqrt{\frac{1}{2 - 3x}}$有意义，需满足被开方数$\frac{1}{2 - 3x} ＞ 0$。
因为分子$1＞0$，所以分母$2 - 3x ＞ 0$，
解不等式$2 - 3x ＞ 0$：
移项得$-3x ＞ -2$，
两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得$x ＜ \frac{2}{3}$。
【答案】
$x ＜ \frac{2}{3}$
【知识点】
二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、一元一次不等式解法
【点评】
本题综合考查二次根式和分式有意义的条件及一元一次不等式的解法，解题时需注意分母不能为0，解不等式时不等号方向的变化。
【难度系数】
0.8

8. 化简：$\sqrt{2x^2y^3} =$($x ≥ 0$)。

8. $ xy\sqrt{2y} $

【解析】
因为$ x ≥ 0 $，且二次根式$ \sqrt{2x^2y^3} $有意义，所以$ y ≥ 0 $。
将被开方数分解为平方项与非平方项的乘积：
$ \sqrt{2x^2y^3} = \sqrt{2 · x^2 · y^2 · y} $
根据积的算术平方根性质$ \sqrt{ab} = \sqrt{a} · \sqrt{b} $（$ a≥0,b≥0 $），可得：
$ \sqrt{x^2} · \sqrt{y^2} · \sqrt{2y} = x · y · \sqrt{2y} = xy\sqrt{2y} $
【答案】
$ xy\sqrt{2y} $
【知识点】
二次根式化简、积的算术平方根性质
【点评】
本题考查二次根式的化简，需结合字母的取值范围确定开方后的符号，关键是掌握积的算术平方根的运算性质，注意被开方数需为非负数。
【难度系数】
0.8

9. 已知$\sqrt{a - 3} + \sqrt{b - 8} = 0$，则$(a - b)^2$的平方根是。

9. $ \pm 5 $

【解析】
因为算术平方根具有非负性，即$\sqrt{a - 3} ≥ 0$，$\sqrt{b - 8} ≥ 0$，且$\sqrt{a - 3} + \sqrt{b - 8} = 0$，根据“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”，可得：
$\begin{cases}a - 3 = 0 \\b - 8 = 0\end{cases}$
解得$a = 3$，$b = 8$。
则$(a - b)^2 = (3 - 8)^2 = 25$，
又因为25的平方根是$\pm 5$，所以$(a - b)^2$的平方根是$\pm 5$。
【答案】
$\pm 5$
【知识点】
算术平方根的非负性、平方根的定义
【点评】
本题主要考查非负数的性质与平方根的计算，解题关键是利用算术平方根的非负性求出a、b的值，注意一个正数的平方根有两个，避免漏解。
【难度系数】
0.8

10. 若$a = -2 - \sqrt{5}$，$b = -2 + \sqrt{5}$，则$a + ab + b$的值为。

10. $ -5 $

【解析】
先将原式变形：$a + ab + b=(a + b) + ab$
计算$a + b$：
$a + b=(-2 - \sqrt{5})+(-2 + \sqrt{5})=-4$
计算$ab$：
$ab=(-2 - \sqrt{5})(-2 + \sqrt{5})=(-2)^2 - (\sqrt{5})^2=4 - 5=-1$
代入得：$(a + b) + ab=-4 + (-1)=-5$
【答案】
$-5$
【知识点】
代数式求值，平方差公式
【点评】
本题通过对代数式变形，采用整体代入法简化运算，考查了平方差公式的灵活运用，可有效提升计算效率。
【难度系数】
0.6

11. 已知$a + b = -8$，$ab = 8$，则式子$\sqrt{\frac{b}{a}} + \sqrt{\frac{a}{b}}$的值为。

11. $ 2\sqrt{2} $

【解析】
因为$a + b = -8$，$ab = 8$，所以$a ＜ 0$，$b ＜ 0$。
先计算$(\sqrt{\frac{b}{a}} + \sqrt{\frac{a}{b}})^2$：
$(\sqrt{\frac{b}{a}} + \sqrt{\frac{a}{b}})^2 = \frac{b}{a} + \frac{a}{b} + 2 = \frac{a^2 + b^2}{ab} + 2$
由完全平方公式得$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = (-8)^2 - 2×8 = 64 - 16 = 48$，
代入得：$\frac{48}{8} + 2 = 6 + 2 = 8$。
因为$\sqrt{\frac{b}{a}} + \sqrt{\frac{a}{b}} ＞ 0$，所以$\sqrt{\frac{b}{a}} + \sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式化简求值，完全平方公式应用
【点评】
本题需先根据已知条件判断$a$、$b$的符号，避免化简时出现符号错误，通过先平方再开方的方法简化计算，体现了整体代入思想的运用。
【难度系数】
0.6

12. 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$D$为斜边$AB$上一点，将$△ ABC$沿$CD$折叠，使点$B$落在直线$AC$上的点$B'$处。若$∠ ADB' = 30°$，$AB' = 1$，则折痕$CD =$。

12. $ \frac{\sqrt{6}}{2} $

【解析】
1. 根据折叠的性质，可得$CB'=CB$，$∠ CB'D=∠ B$，$∠ B'CD=∠ BCD$；
2. 因为$∠ CB'D$是$△ ADB'$的外角，所以$∠ CB'D=∠ A+∠ ADB'$，即$∠ B=∠ A+30°$；
3. 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，则$∠ A+∠ B=90°$，联立$∠ B=∠ A+30°$，解得$∠ A=30°$，$∠ B=60°$；
4. 在$△ ADB'$中，$∠ A=∠ ADB'=30°$，故$B'D=AB'=1$，由正弦定理得$AD=\frac{AB'·\sin120°}{\sin30°}=\sqrt{3}$；
5. 由折叠性质知$BD=B'D=1$，因此$AB=AD+BD=\sqrt{3}+1$；在$Rt△ ABC$中，$BC=AB·\sin30°=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$；
6. 在$△ BCD$中，根据余弦定理：
$CD^2=BC^2+BD^2-2· BC· BD·\cos60°$
代入计算：
$BC^2=(\frac{\sqrt{3}+1}{2})^2=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$，$2· BC· BD·\cos60°=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
则$CD^2=\frac{2+\sqrt{3}}{2}+1-\frac{\sqrt{3}+1}{2}=\frac{3}{2}$，故$CD=\frac{\sqrt{6}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
折叠的性质，直角三角形的性质，余弦定理
【点评】
本题考查折叠变换与直角三角形的综合应用，需利用折叠性质转化角度和线段等量关系，结合三角形外角性质、正弦定理、余弦定理求解，对几何转化能力和定理应用能力要求较高。
【难度系数】
0.3

13. 计算：
(1)$\sqrt{8} - \sqrt{\frac{1}{8}} + \sqrt{18}$。
(2)$6\sqrt{2} × \frac{1}{3}\sqrt{6}$。
(3)$(-4\sqrt{5}) ÷ (5\sqrt{1\frac{4}{5}})$。
(4)$(2\sqrt{5} + \sqrt{3})(2\sqrt{5} - \sqrt{3})$。