2. 已知$a = 3 + 2\sqrt{5}$，$b = 3 - 2\sqrt{5}$，求$a^2b - ab^2$的值。

解：
首先对$a^{2}b - ab^{2}$因式分解：
$a^{2}b - ab^{2}=ab(a - b)$
已知$a = 3 + 2\sqrt{5}$，$b = 3 - 2\sqrt{5}$。
计算$ab$的值：
$ab=(3 + 2\sqrt{5})(3 - 2\sqrt{5})$
根据平方差公式$(m+n)(m - n)=m^{2}-n^{2}$，这里$m = 3$，$n = 2\sqrt{5}$，则$ab=3^{2}-(2\sqrt{5})^{2}=9 - 20=- 11$。
计算$a - b$的值：
$a - b=(3 + 2\sqrt{5})-(3 - 2\sqrt{5})=3 + 2\sqrt{5}-3 + 2\sqrt{5}=4\sqrt{5}$。
把$ab=-11$，$a - b = 4\sqrt{5}$代入$ab(a - b)$得：
$ab(a - b)=-11×4\sqrt{5}=-44\sqrt{5}$。
所以$a^{2}b - ab^{2}$的值为$-44\sqrt{5}$。

3. 一个直角三角形的一边长为$(\sqrt{5} + 2)$，斜边上的中线长为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，求这个直角三角形的面积。

解：
因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，已知斜边上的中线长为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，所以斜边$c = 2×\frac{3\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$。
设直角三角形的两直角边分别为$a$，$b$。
根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，这里$c = 3\sqrt{2}$，所以$a^{2}+b^{2}=(3\sqrt{2})^{2}=18$。
已知一边长为$a=\sqrt{5} + 2$。
则$b^{2}=18-(\sqrt{5} + 2)^{2}$
$\begin{aligned}b^{2}&=18-(5 + 4\sqrt{5}+4)\\&=18-(9 + 4\sqrt{5})\\&=9-4\sqrt{5}\\&=(\sqrt{5}-2)^{2}\end{aligned}$
所以$b=\sqrt{5}-2$（$b＞0$）。
直角三角形面积$S=\frac{1}{2}ab$
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}×(\sqrt{5} + 2)×(\sqrt{5}-2)\\&=\frac{1}{2}×(5-4)\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
所以这个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}$。

4. 不求近似值，比较$\sqrt{6} - \sqrt{5}$，$\sqrt{7} - \sqrt{6}$，$\sqrt{7} - 2$的大小，并说明理由。
知识链接：

比较两个实数大小的方法有：①利用法则比较；②利用数轴比较；③近似估算法；④作差法；⑤法；⑥法；⑦法。

4. $\sqrt{7} - 2 ＞ \sqrt{6} - \sqrt{5} ＞ \sqrt{7} - \sqrt{6}$，理由：$(\sqrt{7} - 2)^{2} = 11 - 4\sqrt{7} = 11 - 2\sqrt{28}$，$(\sqrt{6} - \sqrt{5})^{2} = 11 - 2\sqrt{30}$，$11 - 2\sqrt{28} ＞ 11 - 2\sqrt{30}$（平方法）；$\sqrt{6} - \sqrt{5} = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}}$，$\sqrt{7} - \sqrt{6} = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}}$，$\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} ＞ \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}}$（倒数法）