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1. 计算$(a^{2}-b^{2})÷(a - b)$所得的结果是()
A.$a - b$
B.$a + b$
C.$-a + b$
D.$-a - b$
A.$a - b$
B.$a + b$
C.$-a + b$
D.$-a - b$
答案
B
解析
根据平方差公式，$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，将其代入原式可得$(a^{2}-b^{2})÷(a - b)=\frac{(a + b)(a - b)}{a - b}$，因为$a≠ b$（若$a = b$，原式分母为$0$无意义），分子分母同时约去$a - b$，结果为$a + b$。
2. 计算$(10x^{2}y - 5xy^{2})÷(2x - y)$所得的结果是()
A.$5x + 5y$
B.$5x - 5y$
C.$-5xy$
D.$5xy$
A.$5x + 5y$
B.$5x - 5y$
C.$-5xy$
D.$5xy$
答案
D
解析
将$10x^{2}y - 5xy^{2}$分解因式，可得：
$10x^{2}y - 5xy^{2} = 5xy(2x - y)$，
所以原式可以表示为：
$\frac{5xy(2x - y)}{2x - y}$，
由于$2x - y ≠ 0$，分子分母中的$2x - y$可以约去，得到：
$5xy$。
$10x^{2}y - 5xy^{2} = 5xy(2x - y)$，
所以原式可以表示为：
$\frac{5xy(2x - y)}{2x - y}$，
由于$2x - y ≠ 0$，分子分母中的$2x - y$可以约去，得到：
$5xy$。
3. 下列计算错误的是()
A.$(x^{2}-2xy + y^{2})÷(x - y)=x - y$
B.$(x^{2}-4)÷(x - 2)=x + 2$
C.$(x^{2}-49)÷(7 - x)=7 + x$
D.$(ab^{2}+a^{2}b)÷(a + b)=ab$
A.$(x^{2}-2xy + y^{2})÷(x - y)=x - y$
B.$(x^{2}-4)÷(x - 2)=x + 2$
C.$(x^{2}-49)÷(7 - x)=7 + x$
D.$(ab^{2}+a^{2}b)÷(a + b)=ab$
答案
C
解析
A选项：$(x^{2} - 2xy + y^{2}) ÷ (x - y) = \frac{(x - y)^{2}}{x - y} = x - y$，计算正确。
B选项：$(x^{2} - 4) ÷ (x - 2) = \frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2} = x + 2$，计算正确。
C选项：对于 $\frac{x^{2} - 49}{7 - x}$，可以变形为 $\frac{(x + 7)(x - 7)}{-(x - 7)} = - (x + 7)$（注意这里$x≠7$，因为分母不能为0），与选项给出的 $7 + x$ 不符，计算错误。
D选项：$(ab^{2} + a^{2}b) ÷ (a + b) = \frac{ab(b + a)}{a + b} = ab$，计算正确。
B选项：$(x^{2} - 4) ÷ (x - 2) = \frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2} = x + 2$，计算正确。
C选项：对于 $\frac{x^{2} - 49}{7 - x}$，可以变形为 $\frac{(x + 7)(x - 7)}{-(x - 7)} = - (x + 7)$（注意这里$x≠7$，因为分母不能为0），与选项给出的 $7 + x$ 不符，计算错误。
D选项：$(ab^{2} + a^{2}b) ÷ (a + b) = \frac{ab(b + a)}{a + b} = ab$，计算正确。
4. 若$a = 2b$，则$\frac{a^{2}-ab}{a^{2}-b^{2}}=$()
A.$\frac{2}{3}$
B.$1$
C.$\frac{4}{3}$
D.$2$
A.$\frac{2}{3}$
B.$1$
C.$\frac{4}{3}$
D.$2$
答案
A
解析
已知$a=2b$，将其代入式子$\frac{a^{2}-ab}{a^{2}-b^{2}}$，先对分子分母分别化简，分子$a^{2}-ab = a(a - b)$，分母$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，则原式可化为$\frac{a(a - b)}{(a + b)(a - b)}$，约分可得$\frac{a}{a + b}$，再把$a = 2b$代入$\frac{a}{a + b}$，得到$\frac{2b}{2b + b}=\frac{2b}{3b}=\frac{2}{3}$。
5. 若一个长方形的面积是$(4x^{2}-25)$平方米，其长为$(2x + 5)$米，则长方形的宽为米.
答案
$2x - 5$
解析
根据长方形的面积公式，面积等于长乘以宽，所以宽等于面积除以长。
已知面积是 $(4x^{2} - 25)$ 平方米，长是 $(2x + 5)$ 米，则宽为：
$\frac{4x^{2} - 25}{2x + 5}$
对 $4x^{2} - 25$ 进行因式分解，利用平方差公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，得：
$4x^{2} - 25 = (2x + 5)(2x - 5)$
将因式分解后的表达式代入宽的计算中，得：
$\frac{(2x + 5)(2x - 5)}{2x + 5}$
由于分子和分母都含有公因式 $(2x + 5)$，进行约分，得：
$2x - 5$
所以，长方形的宽为 $(2x - 5)$ 米。
已知面积是 $(4x^{2} - 25)$ 平方米，长是 $(2x + 5)$ 米，则宽为：
$\frac{4x^{2} - 25}{2x + 5}$
对 $4x^{2} - 25$ 进行因式分解，利用平方差公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，得：
$4x^{2} - 25 = (2x + 5)(2x - 5)$
将因式分解后的表达式代入宽的计算中，得：
$\frac{(2x + 5)(2x - 5)}{2x + 5}$
由于分子和分母都含有公因式 $(2x + 5)$，进行约分，得：
$2x - 5$
所以，长方形的宽为 $(2x - 5)$ 米。
6. 计算：
(1) $(21m^{2}n + 14mn^{2})÷(3m + 2n)$.
(2) $(mn + n^{2})÷(m^{2}-n^{2})$.
(1) $(21m^{2}n + 14mn^{2})÷(3m + 2n)$.
(2) $(mn + n^{2})÷(m^{2}-n^{2})$.
答案
(1)
$\begin{aligned}&(21m^{2}n + 14mn^{2})÷(3m + 2n)\\=&7mn(3m + 2n)÷(3m + 2n)\\=&7mn\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(mn + n^{2})÷(m^{2}-n^{2})\\=&n(m + n)÷[(m + n)(m - n)]\\=&\frac{n}{m - n}\end{aligned}$
$\begin{aligned}&(21m^{2}n + 14mn^{2})÷(3m + 2n)\\=&7mn(3m + 2n)÷(3m + 2n)\\=&7mn\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(mn + n^{2})÷(m^{2}-n^{2})\\=&n(m + n)÷[(m + n)(m - n)]\\=&\frac{n}{m - n}\end{aligned}$
7. 先化简，再求值：$\frac{m^{2}-9}{m^{2}+6m + 9}$，其中$m = 5$.
答案
化简过程：
$\begin{aligned}\frac{m^{2}-9}{m^{2}+6m + 9}&=\frac{(m+3)(m-3)}{(m+3)^2}\\&=\frac{m-3}{m+3}\end{aligned}$
代入求值：
当$m = 5$时，
$\frac{m-3}{m+3}=\frac{5-3}{5+3}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$
结论：
$\frac{1}{4}$
$\begin{aligned}\frac{m^{2}-9}{m^{2}+6m + 9}&=\frac{(m+3)(m-3)}{(m+3)^2}\\&=\frac{m-3}{m+3}\end{aligned}$
代入求值：
当$m = 5$时，
$\frac{m-3}{m+3}=\frac{5-3}{5+3}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$
结论：
$\frac{1}{4}$
8. 已知$a^{2}-a - 2 = 0$，则$(a^{2}-a)^{2}+\frac{2}{a^{2}-a}$的值为()
A.$4$
B.$5$
C.$6$
D.$8$
A.$4$
B.$5$
C.$6$
D.$8$
答案
B
解析
由$a^{2}-a - 2 = 0$得$a^{2}-a=2$，代入原式得$2^{2}+\frac{2}{2}=4 + 1=5$
