登录
(1)12的因数有(
1,2,3,4,6,12
)，18的因数有(1,2,3,6,9,18
)，20的因数有(1,2,4,5,10,20
)，12、18和20的公因数有(1,2
)，它们的最大公因数是(2
)。答案
(1) 12的因数有(1,2,3,4,6,12)，18的因数有(1,2,3,6,9,18)，20的因数有(1,2,4,5,10,20)，12、18和20的公因数有(1,2)，它们的最大公因数是(2)。
解析
(1) 12的因数：1, 2, 3, 4, 6, 12；
18的因数：1, 2, 3, 6, 9, 18；
20的因数：1, 2, 4, 5, 10, 20；
12、18和20的公因数：1, 2；
最大公因数：2。
(2)7和14的最大公因数是(
7
)，9和15的最大公因数是(3
)，3和5的最大公因数是(1
)。答案
7；3；1
解析
对于7和14，因为14是7的倍数，当两个数为倍数关系时，较小数就是它们的最大公因数，所以7和14的最大公因数是7；对于9和15，先分别找出9的因数1、3、9，15的因数1、3、5、15，对比可得它们公有的因数1、3，其中最大的是3，所以9和15的最大公因数是3；对于3和5，3和5是互质数，互质数的最大公因数是1，所以3和5的最大公因数是1。
2. 在合适的空格中打“√”。
20和30：√；；√ 15和30：；√；√ 12和18：√；√；
答案
20和30：√；；√ 15和30：；√；√ 12和18：√；√；
解析
20和30：个位是0，有公因数2和5；2+0=2，3+0=3，3是3的倍数，2不是，所以无公因数3。15和30：15个位是5，30个位是0，有公因数5；1+5=6，3+0=3，都能被3整除，有公因数3；15是奇数，无公因数2。12和18：个位是2和8，有公因数2；1+2=3，1+8=9，都能被3整除，有公因数3；个位无0或5，无公因数5。
3. 火眼金睛辨对错。
(1)两个数的公因数的个数是有限的。(
(2)两个数的最大公因数一定小于这两个数。(
(3)17和51的最大公因数是1。(
(4)30、15和5的最大公因数是30。(
(1)两个数的公因数的个数是有限的。(
√
)(2)两个数的最大公因数一定小于这两个数。(
×
)(3)17和51的最大公因数是1。(
×
)(4)30、15和5的最大公因数是30。(
×
)答案
(1)√
(2)×
(3)×
(4)×
(2)×
(3)×
(4)×
解析
(1) 两个数的公因数都是它们的因数，因数的个数是有限的，所以公因数的个数也是有限的，该说法正确。
(2) 两个数的最大公因数不一定小于这两个数，例如当两个数成倍数关系时，最大公因数是较小的那个数，该说法错误。
(3) 因为$51÷17 = 3$，即$51$是$17$的倍数，所以$17$和$51$的最大公因数是$17$，不是$1$，该说法错误。
(4) $30$能被$15$整除，$15$能被$5$整除，所以$30$、$15$和$5$的最大公因数是$5$，不是$30$，该说法错误。
(2) 两个数的最大公因数不一定小于这两个数，例如当两个数成倍数关系时，最大公因数是较小的那个数，该说法错误。
(3) 因为$51÷17 = 3$，即$51$是$17$的倍数，所以$17$和$51$的最大公因数是$17$，不是$1$，该说法错误。
(4) $30$能被$15$整除，$15$能被$5$整除，所以$30$、$15$和$5$的最大公因数是$5$，不是$30$，该说法错误。
4. 写出每个分数中分子与分母的最大公因数。
$\frac{24}{16}$(
$\frac{13}{39}$(
$\frac{24}{16}$(
8
) $\frac{30}{35}$(5
) $\frac{44}{88}$(44
)$\frac{13}{39}$(
13
) $\frac{32}{48}$(16
) $\frac{20}{30}$(10
)答案
8；5；44；13；16；10
解析
1. 对于$\frac{24}{16}$，用分解质因数法，$24=2×2×2×3$，$16 = 2×2×2×2$，所以$24$和$16$的最大公因数是$2×2×2 = 8$。
2. 对于$\frac{30}{35}$，$30=2×3×5$，$35 = 5×7$，所以$30$和$35$的最大公因数是$5$。
3. 对于$\frac{44}{88}$，因为$88÷44 = 2$，即$88$是$44$的倍数，所以$44$和$88$的最大公因数是$44$。
4. 对于$\frac{13}{39}$，因为$39÷13 = 3$，即$39$是$13$的倍数，所以$13$和$39$的最大公因数是$13$。
5. 对于$\frac{32}{48}$，$32=2×2×2×2×2$，$48 = 2×2×2×2×3$，所以$32$和$48$的最大公因数是$2×2×2×2 = 16$。
6. 对于$\frac{20}{30}$，$20=2×2×5$，$30 = 2×3×5$，所以$20$和$30$的最大公因数是$2×5 = 10$。
2. 对于$\frac{30}{35}$，$30=2×3×5$，$35 = 5×7$，所以$30$和$35$的最大公因数是$5$。
3. 对于$\frac{44}{88}$，因为$88÷44 = 2$，即$88$是$44$的倍数，所以$44$和$88$的最大公因数是$44$。
4. 对于$\frac{13}{39}$，因为$39÷13 = 3$，即$39$是$13$的倍数，所以$13$和$39$的最大公因数是$13$。
5. 对于$\frac{32}{48}$，$32=2×2×2×2×2$，$48 = 2×2×2×2×3$，所以$32$和$48$的最大公因数是$2×2×2×2 = 16$。
6. 对于$\frac{20}{30}$，$20=2×2×5$，$30 = 2×3×5$，所以$20$和$30$的最大公因数是$2×5 = 10$。
(1)如果$a = 2×2×3$，$b = 2×3×5$，$a$和$b$的最大公因数是(
A.2
B.4
C.6
D.12
C
)。A.2
B.4
C.6
D.12
答案
C
解析
$a$的质因数分解为$2 × 2 × 3$，$b$的质因数分解为$2 × 3 × 5$。
最大公因数为各相同质因数的最低幂相乘，即$2^1 × 3^1 = 6$。
最大公因数为各相同质因数的最低幂相乘，即$2^1 × 3^1 = 6$。
(2)$a$和$b$是两个非0自然数，$a$是$b$的3倍，$a$和$b$的最大公因数是(
A.1
B.$a$
C.$b$
D.3
C
)。A.1
B.$a$
C.$b$
D.3
答案
C
解析
已知$a$是$b$的3倍，即$a$和$b$是倍数关系。
当两个数是倍数关系时，最大公因数为较小的数，因为$b$是较小的数，所以$a$和$b$的最大公因数是$b$。
当两个数是倍数关系时，最大公因数为较小的数，因为$b$是较小的数，所以$a$和$b$的最大公因数是$b$。
(3)34和51的最大公因数是(
A.1
B.17
C.34
D.51
B
)。A.1
B.17
C.34
D.51
答案
B
解析
本题可使用分解质因数的方法求34和51的最大公因数。
先将34分解质因数：$34 = 2×17$；
再将51分解质因数：$51 = 3×17$。
两个数公有的质因数的乘积就是这两个数的最大公因数，34和51公有的质因数是17，所以34和51的最大公因数是17。
先将34分解质因数：$34 = 2×17$；
再将51分解质因数：$51 = 3×17$。
两个数公有的质因数的乘积就是这两个数的最大公因数，34和51公有的质因数是17，所以34和51的最大公因数是17。
6. 用短除法求下列每组数的最大公因数。
9和12 38和56
14和22 26和91
35和50 36和48
9和12 38和56
14和22 26和91
35和50 36和48
答案
3,2,2,13,5,12
解析
9和12：短除式用3除，商3和4，最大公因数是3。
38和56：短除式用2除，商19和28，最大公因数是2。
14和22：短除式用2除，商7和11，最大公因数是2。
26和91：短除式用13除，商2和7，最大公因数是13。
35和50：短除式用5除，商7和10，最大公因数是5。
36和48：短除式先用2除商18和24，再用2除商9和12，再用3除商3和4，最大公因数是2×2×3=12。
38和56：短除式用2除，商19和28，最大公因数是2。
14和22：短除式用2除，商7和11，最大公因数是2。
26和91：短除式用13除，商2和7，最大公因数是13。
35和50：短除式用5除，商7和10，最大公因数是5。
36和48：短除式先用2除商18和24，再用2除商9和12，再用3除商3和4，最大公因数是2×2×3=12。
