4. 用短除法找出每组数的最大公因数。
16和26 30和42
45和54 25和50

各题答案依次为$2$；$6$；$9$；$25$（按题目顺序横向排列）。

1. $16$和$26$：
用短除法，先用$2$除，$16÷2 = 8$，$26÷2 = 13$，$8$和$13$互质，所以最大公因数是$2$。
2. $30$和$42$：
先用$2$除，$30÷2 = 15$，$42÷2 = 21$；再用$3$除，$15÷3 = 5$，$21÷3 = 7$，$5$和$7$互质，所以最大公因数是$2×3 = 6$。
3. $45$和$54$：
先用$3$除，$45÷3 = 15$，$54÷3 = 18$；再用$3$除，$15÷3 = 5$，$18÷3 = 6$，$5$和$6$互质，所以最大公因数是$3×3 = 9$。
4. $25$和$50$：
先用$5$除，$25÷5 = 5$，$50÷5 = 10$；再用$5$除，$5÷5 = 1$，$10÷5 = 2$，$1$和$2$互质，所以最大公因数是$5×5 = 25$。

5. 把下列分数的分子和分母同时除以它们的最大公因数，写出所得的分数。
$\frac{6}{28}$ $\frac{7}{35}$ $\frac{24}{45}$

$\frac{3}{14}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{8}{15}$

1. 对于$\frac{6}{28}$：
先求$6$和$28$的最大公因数，$6$的因数有$1,2,3,6$，$28$的因数有$1,2,4,7,14,28$，所以$6$和$28$的最大公因数是$2$，分子分母同时除以$2$，$\frac{6÷2}{28÷2}=\frac{3}{14}$。
2. 对于$\frac{7}{35}$：
$7$的因数有$1,7$，$35$的因数有$1,5,7,35$，$7$和$35$的最大公因数是$7$，分子分母同时除以$7$，$\frac{7÷7}{35÷7}=\frac{1}{5}$。
3. 对于$\frac{24}{45}$：
$24$的因数有$1,2,3,4,6,8,12,24$，$45$的因数有$1,3,5,9,15,45$，$24$和$45$的最大公因数是$3$，分子分母同时除以$3$，$\frac{24÷3}{45÷3}=\frac{8}{15}$。

6. 按要求写出两个数，使它们的最大公因数是1。
(1)都是质数：()和()。
(2)都是合数：()和()。
(3)都是奇数：()和()。
(4)一个是奇数，一个是偶数：()和()。
(5)一个是质数，一个是合数：()和()。

(1)2；3 (2)8；9 (3)3；5 (4)3；4 (5)5；6

(1)质数是只有1和自身两个因数的数，2和3都是质数，它们的最大公因数是1。
(2)合数是除了1和自身还有其他因数的数，8和9都是合数，8的因数有1、2、4、8，9的因数有1、3、9，最大公因数是1。
(3)奇数是不能被2整除的数，3和5都是奇数，它们的最大公因数是1。
(4)奇数3和偶数4，3的因数是1、3，4的因数是1、2、4，最大公因数是1。
(5)质数5和合数6，5的因数是1、5，6的因数是1、2、3、6，最大公因数是1。

7. 手工课上，王老师要将一张长方形卡纸（如图）剪成若干张面积相等的正方形卡片。要求卡纸不能浪费，且还要使每个正方形的卡纸面积最大，王老师剪成的卡纸能有多少张？写出思考过程。

10

要使剪成的正方形面积最大且不浪费卡纸，正方形的边长应是30和12的最大公因数。30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30；12的因数有1、2、3、4、6、12。它们的公因数有1、2、3、6，最大公因数是6。所以正方形边长为6厘米。长方形卡纸的长边可以剪30÷6=5（张），宽边可以剪12÷6=2（张），一共能剪5×2=10（张）。

8. 有3根木棍（如图），要把它们截成同样长的几段，且没有剩余。截成的每段最长是多少厘米？写出思考过程。

3

要把3根木棍截成同样长的几段且无剩余，每段长度需是12、15、24的公因数。分别列出各数因数：12的因数有1、2、3、4、6、12；15的因数有1、3、5、15；24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24。它们的公因数为1、3，最大公因数是3。所以截成的每段最长是3厘米。