登录
1. 下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（
A.$\begin{cases} x - 2 ＞ 0, \\ x ≥ -2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + 1 ＞ 0, \\ y - 1 ＜ 0 \end{cases}$
C.$\begin{cases} 3x - 2 ＞ 0, \\ x^2 - x - 1 ＜ 0 \end{cases}$
D.$\begin{cases} 3x ＞ 0, \\ \dfrac{1}{x} + 1 ＞ 0 \end{cases}$
A
）.A.$\begin{cases} x - 2 ＞ 0, \\ x ≥ -2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + 1 ＞ 0, \\ y - 1 ＜ 0 \end{cases}$
C.$\begin{cases} 3x - 2 ＞ 0, \\ x^2 - x - 1 ＜ 0 \end{cases}$
D.$\begin{cases} 3x ＞ 0, \\ \dfrac{1}{x} + 1 ＞ 0 \end{cases}$
答案
1.A
解析
【分析】
要判断一个不等式组是否为一元一次不等式组，首先要明确判定的三个核心要求：第一，组内所有不等式只含有同一个未知数；第二，每个不等式都属于一元一次不等式（即未知数的最高次数为1，且不等号两边都是整式）。解题时我们可以对照这三个要求，逐一排查每个选项，不符合任意一个要求就直接排除，最终选出完全符合要求的选项即可。
【解析】
一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的组合，叫做一元一次不等式组，需同时满足三个条件：①仅含有1个相同的未知数；②每个不等式都是整式不等式；③未知数的最高次数为1。
我们逐一分析选项：
A选项：两个不等式都只含未知数x，x的次数都是1，且不等号两边都是整式，全部满足条件，符合一元一次不等式组的定义。
B选项：不等式组内含有x、y两个不同的未知数，不符合“同一个未知数”的要求，排除。
C选项：第二个不等式中x的最高次数是2，不属于一次不等式，排除。
D选项：第二个不等式中含有$\frac{1}{x}$，属于分式，不是整式不等式，排除。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1.一元一次不等式组的定义
2.一元一次不等式的识别
3.整式与分式的区分
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对一元一次不等式组定义的掌握，解题时紧扣定义中的关键要素逐一筛选即可，主要考察基础识记和简单辨析能力。
【难度系数】
0.9
要判断一个不等式组是否为一元一次不等式组，首先要明确判定的三个核心要求：第一，组内所有不等式只含有同一个未知数；第二，每个不等式都属于一元一次不等式（即未知数的最高次数为1，且不等号两边都是整式）。解题时我们可以对照这三个要求，逐一排查每个选项，不符合任意一个要求就直接排除，最终选出完全符合要求的选项即可。
【解析】
一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的组合，叫做一元一次不等式组，需同时满足三个条件：①仅含有1个相同的未知数；②每个不等式都是整式不等式；③未知数的最高次数为1。
我们逐一分析选项：
A选项：两个不等式都只含未知数x，x的次数都是1，且不等号两边都是整式，全部满足条件，符合一元一次不等式组的定义。
B选项：不等式组内含有x、y两个不同的未知数，不符合“同一个未知数”的要求，排除。
C选项：第二个不等式中x的最高次数是2，不属于一次不等式，排除。
D选项：第二个不等式中含有$\frac{1}{x}$，属于分式，不是整式不等式，排除。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1.一元一次不等式组的定义
2.一元一次不等式的识别
3.整式与分式的区分
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对一元一次不等式组定义的掌握，解题时紧扣定义中的关键要素逐一筛选即可，主要考察基础识记和简单辨析能力。
【难度系数】
0.9
2. 不等式组$\begin{cases}3x - 1 ＞ 2, \\8 - 4x ≤ 0\end{cases}$的解集在数轴上表示为（ ）。
答案
2.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先按照一元一次不等式组的解题步骤操作：第一步分别求解两个不等式，解不等式时注意不等号的变化规则；第二步取两个不等式解集的公共部分得到不等式组的解集；第三步结合数轴表示解集的规则（大于向右画、小于向左画，包含端点用实心点、不包含端点用空心圈），匹配正确的选项。
【解析】
解不等式$3x - 1 ＞ 2$：
移项得$3x ＞ 2 + 1$，合并同类项得$3x ＞ 3$，两边同时除以3，得$x ＞ 1$。
解不等式$8 - 4x ≤ 0$：
移项得$-4x ≤ -8$，两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得$x ≥ 2$。
根据“同大取大”的解集判断原则，两个解集的公共部分为$x ≥ 2$。
对照数轴表示：$x＞1$对应1处为空心圈、向右延伸，$x≥2$对应2处为实心点、向右延伸，重叠的部分就是$x≥2$的区域，和选项A的表示一致。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式组的解法，不等式的性质，解集的数轴表示
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元一次不等式组的求解以及解集的数轴表示，易错点是解第二个不等式时，两边同时除以负数容易忘记改变不等号的方向，另外要注意区分实心点和空心圈的使用场景。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先按照一元一次不等式组的解题步骤操作：第一步分别求解两个不等式，解不等式时注意不等号的变化规则；第二步取两个不等式解集的公共部分得到不等式组的解集；第三步结合数轴表示解集的规则（大于向右画、小于向左画，包含端点用实心点、不包含端点用空心圈），匹配正确的选项。
【解析】
解不等式$3x - 1 ＞ 2$：
移项得$3x ＞ 2 + 1$，合并同类项得$3x ＞ 3$，两边同时除以3，得$x ＞ 1$。
解不等式$8 - 4x ≤ 0$：
移项得$-4x ≤ -8$，两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得$x ≥ 2$。
根据“同大取大”的解集判断原则，两个解集的公共部分为$x ≥ 2$。
对照数轴表示：$x＞1$对应1处为空心圈、向右延伸，$x≥2$对应2处为实心点、向右延伸，重叠的部分就是$x≥2$的区域，和选项A的表示一致。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式组的解法，不等式的性质，解集的数轴表示
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元一次不等式组的求解以及解集的数轴表示，易错点是解第二个不等式时，两边同时除以负数容易忘记改变不等号的方向，另外要注意区分实心点和空心圈的使用场景。
【难度系数】
0.8
3. 不等式组$\begin{cases}\dfrac{x+5}{3} - 3 ＜ 0,\\2(x + 2) ≥ 1\end{cases}$的所有整数解的和是（ ）。
A.9
B.7
C.5
D.3
A.9
B.7
C.5
D.3
答案
3.C
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按三步思考：第一步，分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集；第二步，找出两个解集的公共部分，得到不等式组的总解集；第三步，在总解集范围内筛选出所有整数，将这些整数相加即可得到结果。解不等式时要遵循不等式的基本性质，找整数解时要注意端点是否包含，避免漏解或多解。
【解析】
先解第一个不等式：
$\dfrac{x+5}{3} - 3 ＜ 0$
移项得：$\dfrac{x+5}{3} ＜ 3$
两边同时乘3得：$x + 5 ＜ 9$
移项化简得：$x ＜ 4$
再解第二个不等式：
$2(x + 2) ≥ 1$
两边同时除以2得：$x + 2 ≥ 0.5$
移项化简得：$x ≥ -1.5$
因此不等式组的解集为 $\boldsymbol{-1.5 ≤ x ＜ 4}$
该范围内的整数为：$-1、0、1、2、3$
整数解的和为：$-1 + 0 + 1 + 2 + 3 = 5$
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式组的解法、不等式组的整数解、不等式的基本性质
【点评】
本题是一元一次不等式组的常规题型，重点考查解一元一次不等式的运算能力以及筛选整数解的细心程度，解题时要注意不等号方向是否变化，以及端点值是否在解集范围内，避免因粗心漏算、错算整数解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以按三步思考：第一步，分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集；第二步，找出两个解集的公共部分，得到不等式组的总解集；第三步，在总解集范围内筛选出所有整数，将这些整数相加即可得到结果。解不等式时要遵循不等式的基本性质，找整数解时要注意端点是否包含，避免漏解或多解。
【解析】
先解第一个不等式：
$\dfrac{x+5}{3} - 3 ＜ 0$
移项得：$\dfrac{x+5}{3} ＜ 3$
两边同时乘3得：$x + 5 ＜ 9$
移项化简得：$x ＜ 4$
再解第二个不等式：
$2(x + 2) ≥ 1$
两边同时除以2得：$x + 2 ≥ 0.5$
移项化简得：$x ≥ -1.5$
因此不等式组的解集为 $\boldsymbol{-1.5 ≤ x ＜ 4}$
该范围内的整数为：$-1、0、1、2、3$
整数解的和为：$-1 + 0 + 1 + 2 + 3 = 5$
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式组的解法、不等式组的整数解、不等式的基本性质
【点评】
本题是一元一次不等式组的常规题型，重点考查解一元一次不等式的运算能力以及筛选整数解的细心程度，解题时要注意不等号方向是否变化，以及端点值是否在解集范围内，避免因粗心漏算、错算整数解。
【难度系数】
0.7
4. 使不等式$x-1≥2$与$3x-7＜8$同时成立的$x$的整数值是（
A.3，4
B.4，5
C.3，4，5
D.不存在
A
）.A.3，4
B.4，5
C.3，4，5
D.不存在
答案
4.A
解析
【分析】
要解决本题，首先需要分别求出两个一元一次不等式的解集，再找到两个解集的公共部分，即同时满足两个不等式的x的取值范围，最后在该范围内提取整数值，对应选项即可得到答案。解题核心是正确解一元一次不等式，准确判定两个解集的公共区间。
【解析】
1. 解不等式$x-1≥2$：
移项计算得$x≥2+1$，即$x≥3$。
2. 解不等式$3x-7＜8$：
先移项得$3x＜8+7$，计算得$3x＜15$，两边同时除以3，得$x＜5$。
3. 确定公共解集：
同时满足两个不等式的x的取值范围是$3≤x＜5$。
4. 提取整数解：
在$3≤x＜5$范围内的整数为3、4。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式解法，不等式组解集确定，整数解求解
【点评】
本题是基础题型，主要考查一元一次不等式的求解及不等式组整数解的提取，只要掌握解不等式的基本步骤，准确找到两个不等式解集的公共部分，即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需要分别求出两个一元一次不等式的解集，再找到两个解集的公共部分，即同时满足两个不等式的x的取值范围，最后在该范围内提取整数值，对应选项即可得到答案。解题核心是正确解一元一次不等式，准确判定两个解集的公共区间。
【解析】
1. 解不等式$x-1≥2$：
移项计算得$x≥2+1$，即$x≥3$。
2. 解不等式$3x-7＜8$：
先移项得$3x＜8+7$，计算得$3x＜15$，两边同时除以3，得$x＜5$。
3. 确定公共解集：
同时满足两个不等式的x的取值范围是$3≤x＜5$。
4. 提取整数解：
在$3≤x＜5$范围内的整数为3、4。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式解法，不等式组解集确定，整数解求解
【点评】
本题是基础题型，主要考查一元一次不等式的求解及不等式组整数解的提取，只要掌握解不等式的基本步骤，准确找到两个不等式解集的公共部分，即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
5. 如果不等式组$\begin{cases}x＜8, \\ x＞m\end{cases}$无解，那么$m$的取值范围是（ ）。
A.$m＞8$
B.$m≥8$
C.$m＜8$
D.$m≤8$
A.$m＞8$
B.$m≥8$
C.$m＜8$
D.$m≤8$
答案
5.B
解析
【分析】
要判断不等式组无解时m的取值范围，首先回忆一元一次不等式组解集的判定口诀：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”。本题中不等式组为“x小于8，x大于m”，要满足无解，就属于“大大小小”的情况，即大于的数比小于的数更大或相等，此时两个解集没有公共部分，同时要重点验证端点值m=8时是否满足无解的条件，避免漏解。
【解析】
已知不等式组$\begin{cases}x＜8 \\ x＞m\end{cases}$，若该不等式组无解，说明两个不等式的解集没有公共部分：
1. 当$m＞8$时，$x$需要同时满足大于一个比8大的数、且小于8，不存在符合条件的$x$，不等式组无解；
2. 当$m=8$时，不等式组变为$\begin{cases}x＜8 \\ x＞8\end{cases}$，同样不存在既大于8又小于8的数，不等式组无解；
3. 当$m＜8$时，不等式组的解集为$m＜x＜8$，有解，不符合要求。
综上，$m$的取值范围是$m≥8$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次不等式组的解集判定
2. 不等式组无解的条件
【点评】
本题核心考查一元一次不等式组无解的判断，解题的关键是正确理解解集的规律，易错点是容易忽略端点值$m=8$的情况，判断端点时可单独代入验证是否符合题意，避免错选。
【难度系数】
0.7
要判断不等式组无解时m的取值范围，首先回忆一元一次不等式组解集的判定口诀：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”。本题中不等式组为“x小于8，x大于m”，要满足无解，就属于“大大小小”的情况，即大于的数比小于的数更大或相等，此时两个解集没有公共部分，同时要重点验证端点值m=8时是否满足无解的条件，避免漏解。
【解析】
已知不等式组$\begin{cases}x＜8 \\ x＞m\end{cases}$，若该不等式组无解，说明两个不等式的解集没有公共部分：
1. 当$m＞8$时，$x$需要同时满足大于一个比8大的数、且小于8，不存在符合条件的$x$，不等式组无解；
2. 当$m=8$时，不等式组变为$\begin{cases}x＜8 \\ x＞8\end{cases}$，同样不存在既大于8又小于8的数，不等式组无解；
3. 当$m＜8$时，不等式组的解集为$m＜x＜8$，有解，不符合要求。
综上，$m$的取值范围是$m≥8$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次不等式组的解集判定
2. 不等式组无解的条件
【点评】
本题核心考查一元一次不等式组无解的判断，解题的关键是正确理解解集的规律，易错点是容易忽略端点值$m=8$的情况，判断端点时可单独代入验证是否符合题意，避免错选。
【难度系数】
0.7
6. 若关于$x$的不等式组$\begin{cases}5x＞3x+2a, \\4(x-1)＞3x-1\end{cases}$的解集为$x＞3$，则$a$的取值范围是________。
答案
6.$a≤3$
解析
【分析】
解决此类含参数的一元一次不等式组问题，首先要分别求解不等式组中的两个不等式，得到各自的解集，再结合题目给出的不等式组的最终解集，利用“同大取大”的解集判定规则，推导参数的取值范围，最后要验证等号是否成立。
【解析】
解：先分别求解两个不等式：
1. 解不等式 $5x ＞ 3x + 2a$
移项得：$5x - 3x ＞ 2a$
合并同类项得：$2x ＞ 2a$
系数化为1得：$x ＞ a$
2. 解不等式 $4(x-1) ＞ 3x - 1$
去括号得：$4x - 4 ＞ 3x - 1$
移项得：$4x - 3x ＞ 4 - 1$
合并同类项得：$x ＞ 3$
已知该不等式组的解集为 $x ＞ 3$，根据不等式组“同大取大”的解集规则，可得 $a ≤ 3$（若$a＞3$，则不等式组解集将变为$x＞a$，不符合题意）。
【答案】
$a ≤ 3$
【知识点】
一元一次不等式解法，不等式组解集判定，含参不等式组求解
【点评】
本题属于一元一次不等式组的基础常考题型，核心考查对不等式组解集判定规则的掌握，解题时需注意验证等号是否可取，避免因忽略等号导致取值范围错误。
【难度系数】
0.7
解决此类含参数的一元一次不等式组问题，首先要分别求解不等式组中的两个不等式，得到各自的解集，再结合题目给出的不等式组的最终解集，利用“同大取大”的解集判定规则，推导参数的取值范围，最后要验证等号是否成立。
【解析】
解：先分别求解两个不等式：
1. 解不等式 $5x ＞ 3x + 2a$
移项得：$5x - 3x ＞ 2a$
合并同类项得：$2x ＞ 2a$
系数化为1得：$x ＞ a$
2. 解不等式 $4(x-1) ＞ 3x - 1$
去括号得：$4x - 4 ＞ 3x - 1$
移项得：$4x - 3x ＞ 4 - 1$
合并同类项得：$x ＞ 3$
已知该不等式组的解集为 $x ＞ 3$，根据不等式组“同大取大”的解集规则，可得 $a ≤ 3$（若$a＞3$，则不等式组解集将变为$x＞a$，不符合题意）。
【答案】
$a ≤ 3$
【知识点】
一元一次不等式解法，不等式组解集判定，含参不等式组求解
【点评】
本题属于一元一次不等式组的基础常考题型，核心考查对不等式组解集判定规则的掌握，解题时需注意验证等号是否可取，避免因忽略等号导致取值范围错误。
【难度系数】
0.7
7. 如图1是测量一颗玻璃球体积的过程：
（1）将300 mL的水倒进一个容量为500 mL的杯子中.
（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满.
（3）再将一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出.
根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是
（1）将300 mL的水倒进一个容量为500 mL的杯子中.
（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满.
（3）再将一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出.
根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是
$40\ \mathrm{cm^3}＜a＜50\ \mathrm{cm^3}$
.答案
7.$40\ \mathrm{cm^3}＜a＜50\ \mathrm{cm^3}$
解析
【分析】
解题时首先计算出杯子中还能容纳的体积：杯子总容量500mL，原有300mL水，剩余可容纳体积为$500-300=200\mathrm{mL}$（即$200\mathrm{cm^3}$）。再根据两个操作的结果提取不等关系：①放入4颗玻璃球水未满，说明4颗玻璃球的总体积小于剩余可容纳体积；②放入5颗玻璃球水满溢出，说明5颗玻璃球的总体积大于剩余可容纳体积。设一颗玻璃球体积为$a$，根据这两个不等关系列不等式组，求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
解：首先计算杯子剩余可容纳的体积：
$500 - 300 = 200\ \mathrm{mL} = 200\ \mathrm{cm^3}$
设一颗玻璃球的体积为$a\ \mathrm{cm^3}$，根据题意列不等式：
1. 放入4颗玻璃球水未满，可得：$4a ＜ 200$，解得$a ＜ 50$；
2. 放入5颗玻璃球水满溢出，可得：$5a ＞ 200$，解得$a ＞ 40$。
综合两个不等式的解，可得$40\ \mathrm{cm^3} ＜ a ＜ 50\ \mathrm{cm^3}$。
【答案】
$40\ \mathrm{cm^3}＜a＜50\ \mathrm{cm^3}$
【知识点】
不等式组应用，体积单位换算，不等关系提取
【点评】
本题属于实际应用类题目，解题的核心是准确理解“水未满”“水满溢出”对应的不等含义，将生活场景转化为数学中的不等式关系，再通过解不等式组得到结果，能有效考查学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先计算出杯子中还能容纳的体积：杯子总容量500mL，原有300mL水，剩余可容纳体积为$500-300=200\mathrm{mL}$（即$200\mathrm{cm^3}$）。再根据两个操作的结果提取不等关系：①放入4颗玻璃球水未满，说明4颗玻璃球的总体积小于剩余可容纳体积；②放入5颗玻璃球水满溢出，说明5颗玻璃球的总体积大于剩余可容纳体积。设一颗玻璃球体积为$a$，根据这两个不等关系列不等式组，求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
解：首先计算杯子剩余可容纳的体积：
$500 - 300 = 200\ \mathrm{mL} = 200\ \mathrm{cm^3}$
设一颗玻璃球的体积为$a\ \mathrm{cm^3}$，根据题意列不等式：
1. 放入4颗玻璃球水未满，可得：$4a ＜ 200$，解得$a ＜ 50$；
2. 放入5颗玻璃球水满溢出，可得：$5a ＞ 200$，解得$a ＞ 40$。
综合两个不等式的解，可得$40\ \mathrm{cm^3} ＜ a ＜ 50\ \mathrm{cm^3}$。
【答案】
$40\ \mathrm{cm^3}＜a＜50\ \mathrm{cm^3}$
【知识点】
不等式组应用，体积单位换算，不等关系提取
【点评】
本题属于实际应用类题目，解题的核心是准确理解“水未满”“水满溢出”对应的不等含义，将生活场景转化为数学中的不等式关系，再通过解不等式组得到结果，能有效考查学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
