12. 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”.例如，方程$2x - 1 = 1$的解是$x=1$，同时$x=1$也是不等式$x + 1 ＞ 0$的解，则称方程$2x - 1 = 1$的解$x=1$是不等式$x + 1 ＞ 0$的“友好解”.
（1）试判断方程$\frac{3}{2}x - 2 = \frac{1}{2}x + 1$的解是不是不等式$\frac{x - 3}{2} ＞ 0$的“友好解”，不必说明理由.
（2）若关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}2x + 3y = 5k + 2, \\5x - y = 4k + 5\end{cases}$的解是不等式$\frac{3}{2}x - 2y ＞ 7$的“友好解”，求$k$的取值范围.
（3）当$k ＜ 3$时，方程$3(x - 1) = k$的解是不等式$4x - 1 ＜ x + 2m$的“友好解”，求$m$的最小整数值.

12. （1）不是 （2）$\begin{cases}2x + 3y = 5k + 2, ①\\5x - y = 4k + 5, ②\end{cases}$ 由②−①，得$3x−4y=3−k$，由$\frac{3}{2}x−2y＞7$，得$3x−4y＞14$，
∴$3−k＞14$，解得$k＜−11$ （3）由$3(x−1)=k$，得$x=\frac{k}{3}+1$.
∵$k＜3$，
∴$\frac{k}{3}＜1$，
∴$\frac{k}{3}+1＜2$，即$x＜2$. 由$4x−1＜x+2m$，得$x＜\frac{2m+1}{3}$.
∵方程$3(x−1)=k$的解是不等式$4x−1＜x+2m$的“友好解”，
∴$\frac{2m+1}{3}≥2$，解得$m≥\frac{5}{2}$，
∴$m$的最小整数值为3

【分析】
（1）第一问先求解一元一次方程得到x的值，再求解一元一次不等式得到解集，判断方程的解是否在不等式解集内即可。
（2）第二问观察方程组和目标不等式的结构特征，将两个方程相减可直接得到不等式中$3x-4y$的含k表达式，无需单独求解x、y，再根据“友好解”的定义列关于k的不等式，求解即可得到k的取值范围。
（3）第三问先把方程的解用含k的代数式表示，结合$k＜3$的条件得到方程解的取值范围，再求解不等式得到x的解集，根据“友好解”的定义，方程的所有解都要满足不等式，因此不等式解集的边界要大于等于方程解的最大值，据此列不等式求解m的范围，再找最小整数解即可。
【解析】
（1）解方程$\frac{3}{2}x - 2 = \frac{1}{2}x + 1$得$x=3$，解不等式$\frac{x-3}{2}＞0$得$x＞3$，$x=3$不在不等式解集中，因此不是友好解。
（2）记$\begin{cases}2x + 3y = 5k + 2, ①\\5x - y = 4k + 5, ②\end{cases}$
由②−①，得$3x−4y=3−k$，
不等式$\frac{3}{2}x−2y＞7$两边同乘2，得$3x−4y＞14$，
根据“友好解”定义可得$3−k＞14$，
解得$k＜−11$。
（3）解方程$3(x−1)=k$，得$x=\frac{k}{3}+1$。
∵$k＜3$，
∴$\frac{k}{3}＜1$，
∴$\frac{k}{3}+1＜2$，即方程的解满足$x＜2$。
解不等式$4x−1＜x+2m$，得$x＜\frac{2m+1}{3}$。
∵方程的解是不等式的“友好解”，即所有$x＜2$都满足$x＜\frac{2m+1}{3}$，
∴$\frac{2m+1}{3}≥2$，
解得$m≥\frac{5}{2}$，
∴$m$的最小整数值为3。
【答案】
（1）不是；（2）$k＜−11$；（3）3
【知识点】
一元一次方程求解、二元一次方程组变形、一元一次不等式应用
【点评】
本题为新定义类题型，核心考查方程与不等式的综合应用，解题的关键是准确理解“友好解”的含义，第二问可通过观察式子结构用整体代换的方法简化计算，第三问要注意解集边界的等号是否成立，避免漏写等号导致出错。
【难度系数】
0.6