登录
8. 解不等式$\frac{2x}{3} - \frac{6x + 1}{6} ≥ 1$，并把解集在
中的数轴上表示出来。
中的数轴上表示出来。答案
8. $x≤-\frac{7}{2}$（图略）
解析
【分析】
本题是一元一次不等式求解问题，可按照解一元一次不等式的常规步骤思考：第一步去分母，给不等式两边同时乘所有分母的最小公倍数，消去分母，注意不要漏乘不含分母的项；第二步去括号，注意括号前是负号时，括号内各项都要变号；第三步移项，把含未知数的项移到不等号左边，常数项移到右边，移项要变号；第四步合并同类项；第五步系数化为1，若未知数的系数为负数，注意不等号方向要改变。最后再按照解集的要求在数轴上表示，小于等于某数时用实心点标记该点，向左延伸表示解集范围。
【解析】
解：去分母，两边同时乘6，得：
$4x - (6x + 1) ≥ 6$
去括号，得：
$4x - 6x - 1 ≥ 6$
移项，得：
$4x - 6x ≥ 6 + 1$
合并同类项，得：
$-2x ≥ 7$
系数化为1（两边同时除以-2，不等号方向改变），得：
$x ≤ -\frac{7}{2}$
数轴表示：在数轴上找到$-\frac{7}{2}$（即-3.5，位于-4和-3中间）的位置，画实心圆点，向左画射线即可（图略）。
【答案】
$x≤-\frac{7}{2}$（图略）
【知识点】
一元一次不等式的解法；不等式的性质；不等式解集的数轴表示
【点评】
本题属于一元一次不等式的基础考查题型，解题时需注意两个易错点：一是去分母时不要漏乘不等式右侧的常数项；二是系数化为1时，若未知数的系数为负数，不等号方向必须改变，数轴表示解集时要注意区分实心点（表示包含该点）和空心圈（表示不包含该点）的使用。
【难度系数】
0.8
本题是一元一次不等式求解问题，可按照解一元一次不等式的常规步骤思考：第一步去分母，给不等式两边同时乘所有分母的最小公倍数，消去分母，注意不要漏乘不含分母的项；第二步去括号，注意括号前是负号时，括号内各项都要变号；第三步移项，把含未知数的项移到不等号左边，常数项移到右边，移项要变号；第四步合并同类项；第五步系数化为1，若未知数的系数为负数，注意不等号方向要改变。最后再按照解集的要求在数轴上表示，小于等于某数时用实心点标记该点，向左延伸表示解集范围。
【解析】
解：去分母，两边同时乘6，得：
$4x - (6x + 1) ≥ 6$
去括号，得：
$4x - 6x - 1 ≥ 6$
移项，得：
$4x - 6x ≥ 6 + 1$
合并同类项，得：
$-2x ≥ 7$
系数化为1（两边同时除以-2，不等号方向改变），得：
$x ≤ -\frac{7}{2}$
数轴表示：在数轴上找到$-\frac{7}{2}$（即-3.5，位于-4和-3中间）的位置，画实心圆点，向左画射线即可（图略）。
【答案】
$x≤-\frac{7}{2}$（图略）
【知识点】
一元一次不等式的解法；不等式的性质；不等式解集的数轴表示
【点评】
本题属于一元一次不等式的基础考查题型，解题时需注意两个易错点：一是去分母时不要漏乘不等式右侧的常数项；二是系数化为1时，若未知数的系数为负数，不等号方向必须改变，数轴表示解集时要注意区分实心点（表示包含该点）和空心圈（表示不包含该点）的使用。
【难度系数】
0.8
9. 在有理数范围内规定新运算“Δ”，其规则是：$aΔb=2a−b$. 已知不等式$xΔk≥1$的解集为$x≥−1$，则k的值是
-3
.答案
9. -3
解析
【分析】
解题时首先要理解新运算“Δ”的规则，先将$xΔk$按照给定的新运算规则转化为常规的代数式，再代入不等式得到关于$x$的一元一次不等式，解出用含$k$的式子表示的$x$的解集后，和题目给出的解集$x≥−1$对应相等，即可求出$k$的值。
【解析】
第一步，根据新运算规则$aΔb=2a−b$，将$xΔk$转化为常规运算：
$xΔk=2x - k$
第二步，代入不等式$xΔk≥1$，得：
$2x - k ≥ 1$
第三步，解这个一元一次不等式：
移项得$2x ≥ 1 + k$
两边同时除以2得$x ≥ \frac{1 + k}{2}$
第四步，已知不等式的解集为$x≥−1$，因此两个解集对应相等：
$\frac{1 + k}{2} = -1$
解方程得：$1 + k = -2$，$k = -2 - 1 = -3$
【答案】
-3
【知识点】
新定义运算、解一元一次不等式、不等式的解集
【点评】
本题结合新定义运算考查一元一次不等式的相关知识，解题的核心是正确理解新运算的规则，将新运算转化为我们熟悉的代数运算，再根据解集的对应关系求解参数，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先要理解新运算“Δ”的规则，先将$xΔk$按照给定的新运算规则转化为常规的代数式，再代入不等式得到关于$x$的一元一次不等式，解出用含$k$的式子表示的$x$的解集后，和题目给出的解集$x≥−1$对应相等，即可求出$k$的值。
【解析】
第一步，根据新运算规则$aΔb=2a−b$，将$xΔk$转化为常规运算：
$xΔk=2x - k$
第二步，代入不等式$xΔk≥1$，得：
$2x - k ≥ 1$
第三步，解这个一元一次不等式：
移项得$2x ≥ 1 + k$
两边同时除以2得$x ≥ \frac{1 + k}{2}$
第四步，已知不等式的解集为$x≥−1$，因此两个解集对应相等：
$\frac{1 + k}{2} = -1$
解方程得：$1 + k = -2$，$k = -2 - 1 = -3$
【答案】
-3
【知识点】
新定义运算、解一元一次不等式、不等式的解集
【点评】
本题结合新定义运算考查一元一次不等式的相关知识，解题的核心是正确理解新运算的规则，将新运算转化为我们熟悉的代数运算，再根据解集的对应关系求解参数，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
10. 体重指数（BMI）是衡量人体胖瘦程度的常用指标：$BMI=\dfrac{w}{h^2}$，其中$w$为体重（单位：kg），$h$为身高（单位：m）。我国健康成年人的BMI正常范围是$18.5\ \mathrm{kg/m}^2≤ BMI＜24.0\ \mathrm{kg/m}^2$。有一名成年人体重为78 kg，根据公式计算得出他的BMI值为26 kg/m²，属于超重范围。若想要BMI值不超过22 kg/m²，他至少应减重
12
kg。答案
10. 12
解析
【分析】
解题时首先抓住隐含条件：人的身高是固定不变的。第一步先根据已知的当前体重和BMI值，通过BMI公式变形求出身高的平方；第二步设减重的重量为未知数，根据“BMI值不超过22 kg/m²”的限制条件列出一元一次不等式；第三步解不等式即可得到最少减重的重量。
【解析】
解：首先根据当前体重和BMI值计算身高的平方：
由公式$BMI=\dfrac{w}{h^2}$变形得$h^2=\dfrac{w}{BMI}$，
已知当前$w=78\ \mathrm{kg}$，$BMI=26\ \mathrm{kg/m^2}$，代入得：
$h^2=\dfrac{78}{26}=3\ \mathrm{m^2}$。
设他应减重$x$ kg，此时体重为$(78-x)$ kg，根据BMI不超过22可得不等式：
$\dfrac{78-x}{3}≤22$
解不等式：
两边同时乘3得：$78-x≤66$
移项得：$x≥78-66$
解得：$x≥12$
所以他至少应减重12 kg。
【答案】
12
【知识点】
1. 一元一次不等式的应用
2. 公式的变形应用
【点评】
本题结合生活中BMI指数的实际场景命题，既考查了学生对公式变形的掌握，也考查了学生运用一元一次不等式解决实际最值问题的能力，解题的关键是明确身高不变的隐含条件，准确根据限制要求列不等式。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住隐含条件：人的身高是固定不变的。第一步先根据已知的当前体重和BMI值，通过BMI公式变形求出身高的平方；第二步设减重的重量为未知数，根据“BMI值不超过22 kg/m²”的限制条件列出一元一次不等式；第三步解不等式即可得到最少减重的重量。
【解析】
解：首先根据当前体重和BMI值计算身高的平方：
由公式$BMI=\dfrac{w}{h^2}$变形得$h^2=\dfrac{w}{BMI}$，
已知当前$w=78\ \mathrm{kg}$，$BMI=26\ \mathrm{kg/m^2}$，代入得：
$h^2=\dfrac{78}{26}=3\ \mathrm{m^2}$。
设他应减重$x$ kg，此时体重为$(78-x)$ kg，根据BMI不超过22可得不等式：
$\dfrac{78-x}{3}≤22$
解不等式：
两边同时乘3得：$78-x≤66$
移项得：$x≥78-66$
解得：$x≥12$
所以他至少应减重12 kg。
【答案】
12
【知识点】
1. 一元一次不等式的应用
2. 公式的变形应用
【点评】
本题结合生活中BMI指数的实际场景命题，既考查了学生对公式变形的掌握，也考查了学生运用一元一次不等式解决实际最值问题的能力，解题的关键是明确身高不变的隐含条件，准确根据限制要求列不等式。
【难度系数】
0.7
11. 某文体中心提供围棋、观影、球类、游泳、绘画等多种文体活动，现有三种收费方式，详情见下表：
（注：不足1小时的按1小时计算）
（1）小明打算这周六去文体中心活动6小时，最少需要花费
（2）小明打算暑假中的一个月（30天）都去文体中心活动，每天活动的时间为x小时（x为正整数，且x≥2）.
①如果小明选择办会员卡一个月需要花费
②对于会员卡和普通卡两种不同的收费方式，哪种更划算？
（注：不足1小时的按1小时计算）
（1）小明打算这周六去文体中心活动6小时，最少需要花费
30
元.（2）小明打算暑假中的一个月（30天）都去文体中心活动，每天活动的时间为x小时（x为正整数，且x≥2）.
①如果小明选择办会员卡一个月需要花费
$210+120x$
元；选择办普通卡一个月需要花费$150x$
元.（用含x的代数式表示）②对于会员卡和普通卡两种不同的收费方式，哪种更划算？
答案
11. （1）30 （2）①$210+120x$ $150x$ ②当$210+120x=150x$时，$x=7$. 当$210+120x＜150x$时，$x＞7$. 当$210+120x＞150x$时，$x＜7$. 当$x=2$时，办会员卡需要花费$210+120x=210+120×2=450$（元），办普通卡需要花费$150x=150×2=300$（元），
∵$450＞300$，
∴选择普通卡更划算. 综上所述，当$2≤x＜7$时，选择普通卡更划算；当$x=7$时，选择普通卡或会员卡都一样；当$x＞7$时，选择会员卡更划算
∵$450＞300$，
∴选择普通卡更划算. 综上所述，当$2≤x＜7$时，选择普通卡更划算；当$x=7$时，选择普通卡或会员卡都一样；当$x＞7$时，选择会员卡更划算
解析
【分析】
（1）要计算活动6小时的最少花费，只需分别求出三种收费方式对应的费用，再比较大小取最小值即可。（2）①先分别理清会员卡、普通卡的费用构成：会员卡总费用=办卡固定费用+30天的计时收费；普通卡先算单日费用，再乘30得到一个月总费用，据此列代数式即可。②要判断哪种收费方式更划算，只需通过列方程、不等式比较两个代数式的大小，结合x≥2的取值范围分情况讨论即可得到结论。
【解析】
（1）分别计算三种收费方式活动6小时的费用：
选择日卡：花费30元；
选择会员卡：总费用=办卡费+计时费=210+4×6=234元；
选择普通卡：免费2小时，超出时长为6-2=4小时，总费用=入场费+超出部分费用=10+5×4=30元。
比较得最少花费为30元。
（2）①办会员卡的费用：固定办卡费210元，30天总活动时长为30x小时，计时费为4×30x=120x元，因此总花费为$(210+120x)$元；
办普通卡的单日费用：x≥2，超出免费2小时的时长为(x-2)小时，单日费用=10+5(x-2)=5x元，30天总花费为30×5x=150x元。
②比较两种收费方式的费用：
当费用相等时，$210+120x=150x$，解得$x=7$；
当会员卡更便宜时，$210+120x＜150x$，解得$x＞7$；
当普通卡更便宜时，$210+120x＞150x$，解得$x＜7$。
结合题中x为正整数且x≥2的条件，即可得到最终结论。
【答案】
（1）$\boldsymbol{30}$
（2）①$\boldsymbol{210+120x}$；$\boldsymbol{150x}$
②当$2≤x＜7$时，选择普通卡更划算；当$x=7$时，两种收费方式费用相同；当$x＞7$时，选择会员卡更划算。
【知识点】
列代数式，一元一次方程应用，一元一次不等式应用
【点评】
本题属于生活中常见的方案选择类问题，核心是理清不同收费方案的费用组成，通过代数式、方程、不等式的相关知识比较不同方案的优劣，考查对基础知识的应用能力和分类讨论思想。
【难度系数】
0.7
（1）要计算活动6小时的最少花费，只需分别求出三种收费方式对应的费用，再比较大小取最小值即可。（2）①先分别理清会员卡、普通卡的费用构成：会员卡总费用=办卡固定费用+30天的计时收费；普通卡先算单日费用，再乘30得到一个月总费用，据此列代数式即可。②要判断哪种收费方式更划算，只需通过列方程、不等式比较两个代数式的大小，结合x≥2的取值范围分情况讨论即可得到结论。
【解析】
（1）分别计算三种收费方式活动6小时的费用：
选择日卡：花费30元；
选择会员卡：总费用=办卡费+计时费=210+4×6=234元；
选择普通卡：免费2小时，超出时长为6-2=4小时，总费用=入场费+超出部分费用=10+5×4=30元。
比较得最少花费为30元。
（2）①办会员卡的费用：固定办卡费210元，30天总活动时长为30x小时，计时费为4×30x=120x元，因此总花费为$(210+120x)$元；
办普通卡的单日费用：x≥2，超出免费2小时的时长为(x-2)小时，单日费用=10+5(x-2)=5x元，30天总花费为30×5x=150x元。
②比较两种收费方式的费用：
当费用相等时，$210+120x=150x$，解得$x=7$；
当会员卡更便宜时，$210+120x＜150x$，解得$x＞7$；
当普通卡更便宜时，$210+120x＞150x$，解得$x＜7$。
结合题中x为正整数且x≥2的条件，即可得到最终结论。
【答案】
（1）$\boldsymbol{30}$
（2）①$\boldsymbol{210+120x}$；$\boldsymbol{150x}$
②当$2≤x＜7$时，选择普通卡更划算；当$x=7$时，两种收费方式费用相同；当$x＞7$时，选择会员卡更划算。
【知识点】
列代数式，一元一次方程应用，一元一次不等式应用
【点评】
本题属于生活中常见的方案选择类问题，核心是理清不同收费方案的费用组成，通过代数式、方程、不等式的相关知识比较不同方案的优劣，考查对基础知识的应用能力和分类讨论思想。
【难度系数】
0.7
